1. Traduire les données de l'énoncé sur un arbre de probabilité.

Transcription

1 Pondichéry Avril Exercice Une agence de voyages roose exclusivement trois destinations : la destination A, la destination G et la destination M. 50 % des clients choisissent la destination A. 0 % des clients choisissent la destination G. 20 % des clients choisissent la destination M. Au retour de leur voyage, tous les clients de l'agence réondent à une enquête de satisfaction. Le déouillement des réonses à ce questionnaire ermet de dire que 90 % des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits, de même que 80 % des clients ayant choisi la destination G. On rélève au hasard un questionnaire dans la ile des questionnaires recueillis. On note les évènements : A : " le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination A " ; G : " le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination G " ; M : " le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination M " ; : " le questionnaire est celui d'un client satisfait " ; : " le questionnaire est celui d'un client insatisfait ". 1. Traduire les données de l'énoncé sur un arbre de robabilité. 2. a) Traduire ar une hrase les événements G et M uis G M ; calculer les robabilités ( ) et b) L enquête montre que 72% des clients de l agence sont satisfaits. A ; En utilisant la formule des robabilités totales, calculer, robabilité de l événement sachant que l événement A est réalisé ; c) En déduire A ( ) PanaMaths [ 1-5 ] Juin 2008

2 . Le questionnaire rélevé est celui d'un client qui est satisfait. Le client a omis de réciser quelle destination il avait choisie. Déterminer la robabilité qu'il ait choisi la destination G (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible). 4. On rélève successivement au hasard trois questionnaires dans la ile d'enquêtes. On suose que le nombre de questionnaires est suffisamment élevé our considérer que les tirages successifs sont indéendants. Calculer la robabilité de l'évènement : " les trois questionnaires sont ceux de clients insatisfaits " (on donnera le résultat arrondi au millième). PanaMaths [ 2-5 ] Juin 2008

3 Analyse Un exercice de robabilité classique qui asse en revue les rinciaux thèmes du rogramme : robabilité conditionnelle, formule des robabilités totales, loi binomiale il ne résente as de difficulté articulière, il mérite un certain soin dans la rédaction our ne as ressembler à une simle accumulation de formules de cours. Résolution Question 1. Les trois remiers ourcentages fournis nous ermettent d écrire : 1 2 G 0% 0, 10 ( A) = 50% = 0,5 =, = = = et On récise ensuite que : 90% des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits. D où :. 80% des clients ayant choisi la destination G sont satisfaits. 8 4 D où : G ( ) = 80% = 0,8 = = M = 20% = 0,2 = = 10 5 On en tire alors l arbre suivant : Question 2.a. L événement G eut être traduit ar la hrase «Le questionnaire est celui d un client qui a choisi la destination G et en est revenu satisfait». PanaMaths [ - 5 ] Juin 2008

4 De façon similaire, l événement M eut être traduit ar la hrase «Le questionnaire est celui d un client qui a choisi la destination M et en est revenu satisfait». Pour ce qui est des robabilités corresondantes, on a : ( G ) = G ( ) ( G) = = 0, = 25 = ( M ) = M ( ) ( M) = = = 0, ( M ) = 0,24 et M = 0,18 Question 2.b. On nous donne ( ) = 72% = 0,72. Les clients ont choisi une et une seule destination et seules les destinations A, G et M sont roosées. On eut donc affirmer que les événements A, G et M forment une artition de l univers. Le formule des robabilités totales nous ermets alors d écrire : oit : oit, numériquement : ( ) = ( A ) + ( G ) + ( M ) ( A ) = ( ) ( G ) ( M ) ( A ) = 0, 72 0, 24 0,18 = 0, ( A ) = 0, Question 2.c. On tire de ce qui récède : A ( ) A 0, = = = = 0,6 A 0,5 5 A ( ) = = 0,6 5 PanaMaths [ 4-5 ] Juin 2008

5 Question. On sait ici que le client est satisfait et, la destination ayant été omise dans le questionnaire, on G. cherche : On a, ar définition de la robabilité conditionnelle : ( G) oit, numériquement : ( G) ( ) G 0, = = = =. 0, ( G) = ( G ) ( ) =. Question 4. Raisonnons, our commencer, au niveau d un seul dossier. La robabilité qu il s agisse du dossier d un client insatisfait est ( ) = 1 ( ) = 1 0, 72 = 0, 28. i on considère qu obtenir un tel dossier corresond à un «succès». La robabilité de cet événement vaut 0,28. i, classiquement nous associons la valeur 1 à cet événement et la valeur 0 à l événement contraire («échec»), nous avons affaire à une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de aramètre = 0, 28. Dans ces conditions, si on note X le nombre de dossiers de clients insatisfaits comtabilisés à l issue des trois tirages indéendants, X est une variable aléatoire ouvant rendre les valeurs 0, 1, 2 ou et suit une loi binomiale de aramètre et 0,28 : X B ( ;0,28) La robabilité cherchée dans cette question corresond à la seule issue et vaut alors X =. On a simlement : X = = 0,28 0,022 (valeur arrondie au millième) La robabilité de tirer trois dossiers de clients insatisfaits vaut 0,022 au millième rès. PanaMaths [ 5-5 ] Juin 2008