Suites et séries de fonctions.

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1 Suites et séries de fonctions Suites de fonctions Exercice 1 Etudier la convergence simple et la convergence uniforme sur R de la suite de fonctions (f n ) dans chacun des cas suivants : 1 f n (x) = e x sin nx + n + e x 2 f n (x) = x (n 1) n Dans le deuxième cas étudier aussi la convergence uniforme sur un segment borné [a, b] Exercice 2 Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (f n ) n définie par 1 Sur l intervalle [0, + [ f n (x) = 2 Sur l intervalle [a, + [ (a > 0) 2nx 1 + n 2 x 2 Exercice 3 Soit (f n ) n 1 la suite de fonctions définies sur R par f n (x) = ne x + x 2 n + x 2 2 Montrer qu elle est uniformément convergente sur tout segment borné [a, b] 3 Montrer qu elle ne converge pas uniformément sur [a, + [ 4 Calculer la limite, lorsque n de I n = 1 0 f n (x) dx Exercice 4 Soit (f n ) n 1 la suite de fonctions définies sur R par f n (x) = x 2 sin 1 nx si x 0 et f n(0) = 0 1

2 2 Montrer qu elle converge uniformément sur tout intervalle borné de R 3 Montrer qu elle n est pas uniformément convergente sur R Exercice 5 1 Déterminer la limite simple des fonctions f n : x > xn e x sur R + et n! montrer qu il y a convergence uniforme (On admettra la formule de Stirling : n! n n e n 2πn) 2 Calculer lim n + t=0 f n (t) dt Quel commentaire cela vous inspire t il? Exercice 6 Soit (f n ) n 1 la suite de fonctions définies sur [0, 1] par f n (x) = (x 3 + 1) nex + x x n + x 2 Montrer que cette suite est uniformément convergente 1 3 En déduire lim n I n avec I n = (x 3 + 1) nex + x x n + x 0 Exercice 7 2 n x Soit (f n ) n la suite de fonctions définies sur [0, 1] par f n (x) = n nx 2 2 Calculer I n = 1 0 f n(t)dt et lim n I n En déduire que la suite (f n ) n n est pas uniformément convergente sur [0,1] 3 Donner une démonstration directe de ce que la suite (f n ) n n est pas uniformément convergente sur [0,1] Exercice 8 Donner un exemple d une suite de fonctions continues (f n ) n définies sur [0,1], convergeant simplement vers la fonction nulle, telle que lim n 1 0 f n(t)dt = Exercice 9 On définit la suite f n : R + R + par : f 0 (x) = x, f n+1 (x) = 1 2 ( f n (x) + x ) f n (x) 1 Montrer que, pour tout n 1, et tout x > 0, f n+1 (x) x = 1 (f n (x) x) 2 2 2f n (x) 2 En déduire que, pour chaque valeur fixée de x, la suite numérique (f n (x)) n 1 est décroissante, puis que (f n ) converge simplement vers f = x x Exercices d analyse 2 M Deléglise

3 3 Montrer que (f n ) converge uniformément sur chaque fermé [0, A] 4 Demontrer que (f n ) ne converge pas uniformément sur R + (on pourra expliciter, par récurrence sur n, un minorant simple de f n (x) qui est un monôme de degré 1 en x) Exercice 10 (Limite de f n (x n )) Soit I un intervalle réel, et (f n ) une suite de fonctions continues à valeurs complexes, qui converge simplement vers une fonction f, et (x n ) une suite de points de I qui converge vers un point x I 1 Si les fonctions f n convergent uniformément, montrer que f n (x n ) n + f(x) 2 Donner un contre-exemple lorsqu il y a seulement convergence simple Exercice 11 Soit p N, [a, b] un intervalle fermé borné, et (f n ) une suite de fonctions polynômes sur [a, b], de degrés p, qui converge simplement vers f Soit a a 0 < a 1 < < a p b une suite de points distincts de [a, b] 1 On rappelle la définition des polynômes d interpolation de Lagrange (L i ) 0 i p associés à la suite (a i ), (X a j ) L i (X) = p j=0 j i p j=0 j i (a i a j ) Démontrer que si g est une fonction polynôme de degré p sur [a, b], alors g(t) = p g(a i )L i (t) i=0 2 Montrer que f est encore une fonction polynôme de degré p Pour toute fonction polynôme complexe g, on note A k (g) le coefficient de x k dans g (ceci est un abus de langage, pourquoi?) Prouver que, pour 0 k p, A k (f) = lim n A k (f n ) 3 Montrer que la suite (f n ) est uniformément convergente Exercice 12 (Centrale MP 2002) Soit f : R R continue et 2π-périodique Pour n N, on pose F n (x) = 1 n n t=0 f(x + t)f(t) dt 1 Montrer que la suite (F n ) converge vers une fonction F que l on précisera 2 Nature de la convergence? 3 Prouver F = F (0) (Indication : Utiliser l inégalité de Cauchy-Schwarz) Exercices d analyse 3 M Deléglise

4 Exercice 13 (Convergence uniforme et composition) Soient I et J deux intervalles réels (non nécessairement bornés), et (g n ) une suite de fonctions de I dans J qui converge uniformémént vers une fonction g Soit f C 0 (J, R) et soit (h n ) la suite définie par h n = f g n 1 Montrer que si J est borné, la suite (h n ) est uniformément convergente 2 Montrer que si J n est pas borné la suite h n n est pas nécessairement uniformément convergente Séries de fonctions Exercice 14 Étudier la convergence simple, la convergence normale, et enfin la convergence uniforme de la série de fonctions n 1 u n dans les cas suivants : 1 u n (x) = 1, sur ]1, + [ et sur [a, + [ avec a > xn x 2 u n (x) = n 2, sur [0, + [ et sur [0, a] + x2 x 3 u n (x) = n 2, sur [0, + [ + x2 Exercice 15 1 Étudier la convergence de la série f(x) = x n 2 Montrer que f est de classe C 1 sur son domaine de définition 3 Tracer la courbe représentative de f sur ]1, + [ Exercice 16 Montrer que la série de fonctions + n=1 u n où u n (x) = log n 1 + n + 1 x + n converge sur [0, + [ vers une fonction de classe C 1 dont la dérivée est < 0 Exercice 17 Donner un exemple simple d une série de fonctions qui est uniformément convergente, sans être normalement convergente (on pourra penser à une suite (u n ) n N telle que, en tout x donné, il existe au plus une valeur de n telle que u n (x) 0) Exercice 18 On considère la série de fonctions u n avec u n (x) = xe nx ln n n 2 pour x [0, + [ Exercices d analyse 4 M Deléglise

5 1 Etudier la convergence simple de cette série 2 Montrer qu elle n est pas normalement convergente 3 Donner un majorant du reste d ordre n, R n = k=n+1 u n(x) et en déduire qu elle est uniformément convergente Exercice 19 Soit (λ n ) une suite croissante de réels strictement positifs telle que lim(λ n ) = + On considère la série n 0 u n avec u n (x) = ( 1) n e λnx 1 Etudier la convergence simple de cette série 2 Pour tout x > 0 on note S(x) la somme de cette série Monter que 0 S(x) e λ 0x 3 Soit R n (x) = k>n u k(x) le reste d ordre n de cette série Montrer que pour x > 0 on a R n (x) e λ n+1x Quel est le signe de R n (x)? 4 En déduire que pour tout a > 0 la série u n est uniformément convergente sur [a, + [ et que sa somme est continue sur ]0, + [ Exercice 20 Soit α 0 On considère la suite u n de fonctions définies sur [0, + [ par { 0 si x = 0 u n (x) = x α e nx pour x > 0 1 Démontrer que la série de terme général u n converge simplement et calculer sa somme 2 Démontrer que cette série converge uniformément sur tout intervalle de la forme [a, + [, avec a > 0 3 Etudier selon les valeurs de α la convergence uniforme sur [0, + [ ( ) Exercice 21 Soit u n (x) = ( 1) n x ln 1 + n(1 + x) 1 Montrer que la série u n converge simplement sur R + vers une fonction que l on notera f 2 Majorer convenablement le reste de la série, et montrer qu il y a convergence uniforme sur R + 3 Y a-t-il convergence normale? Exercice 22 Soit u n : [0, 1] R définie par u n (x) = ( 1)n x n n 1 + x 1 Montrer que la série + u n est simplement convergente 2 Majorer le reste d ordre R n (x) = k=n+1 u n(x) par le théorème des séries alternées 3 En déduire que la série + u n est uniformément convergente Exercices d analyse 5 M Deléglise

6 Exercice 23 Soit u n (x) = ( 1)n arctan x Montrer que + n n n=1 u n converge uniformément sur R vers une fonction impaire continue et bornée Exercice 24 1 Montrer que la série n 2 u n, où u n (x) = sur tout intervalle [α, π α], avec 0 < α < π/2 sin(nx) n + cos(nx), converge uniformément 2 En minorant la somme 2n 1 k=n u k(π/4n), montrer que cette série n est pas uniformément convergente sur [0, π/2] Exercice 25 Pour n N et x [ 1, 1] on pose u n (x) = xn sin(nx) n 1 Montrer que u n converge simplement sur [ 1, 1] vers une fonction f n=1 2 Plus précisément, montrer que la convergence est uniforme 3 Justifier la dérivabilité de( f sur ] 1, ) 1[ et calculer f (x) En déduire f(x) x sin x Réponse : f(x) = arctan 1 x cos x 4 En déduire la valeur de sin n n (Réponse : π 2 ) 2 n=1 Exercice 26 Soit f n (x) = ( 1)n cos n x n Étudier la convergence de f(x) = f n (x) 2 Montrer la convergence de la série de terme général u n = π/2 x=0 f n(x) dx 3 En déduire u n sous forme d une intégrale (Réponse : π/2 x=0 ln(1 cos x) dx) Exercice 27 1 Étudier la convergence simple et uniforme, de ( ) arctan(x + n) arctan(n) 2 On note f(x) = ( ) arctan(x + n) arctan(n) Montrer que f est de classe C 1 sur R 3 Expliciter une relation simple entre f(x) et f(x + 1) (Réponse : f(x + 1) = f(x) + π arctan x) 2 4 Expliciter lim x + f(x) Exercices d analyse 6 M Deléglise