Seconde 3 DS2 vecteurs Sujet 1

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1 Seconde DS vecteurs Sujet 1 Exercice 1 : (5 points) ABC est un triangle. 1) Construire le point M tel que : AM = 1 AB AC ) Exprimer BM en fonction de BC. Que peut-on en déduire pour les points B, M et C? Exercice : (7 points) ABCD est un parallélogramme ; E et F sont les points définis par : 1 BE = AB et AF = AD On munit le plan du repère (A; AB, AD) 1) Donner les coordonnées des points A, B et D ) Déterminer les coordonnées des points C, E et F, puis démontrer que ces trois points sont alignés. Exercice : (8 points) Dans le plan muni d un repère, on donne les points : A(- ;1) B(4 ;4) et C(,5 ;-) 1) Calculer les coordonnées du point G, centre de gravité du triangle ABC et vérifier l abscisse de G est 1,5 et l ordonnée de G est 1. ) G est le symétrique de G par rapport au milieu de [AC]. Calculer les coordonnées du point G (vérifier que G (-1 ;-)) et démontrer que G est le milieu de [BG ]. ) M est le point défini par 4 MA + MB - MC = 0 Calculer les coordonnées de M et démontrer que M est le symétrique de G par rapport à A. 1

2 Seconde DS repérage dans le plan - vecteurs Sujet Exercice 1 : (5 points) ABC est un triangle. 1) Construire les points E et F tels que : AE = - AB et AF = - AC ) Exprimer EF en fonction de BC puis interpréter géométriquement ce résultat. Exercice : (7 points) ABC est un triangle, A est le milieu de [BC], D et E sont les points tels que : 1 1 CD = AB et BE = AC On appelle I le milieu de [DE]. On se propose de démontrer que les points A, A et I sont alignés. Pour cela, on munit le plan du repère (A; AB, AC). 1) Donner les coordonnées des points A, B et C. ) Déterminer les coordonnées des points A, D, E et I. ) Conclure Exercice : (8 points) Dans le plan muni d un repère, on donne les points : A( ;4) B(4 ;-1) C(- ;-) D(-4;) 1) Faire une figure Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier la réponse. ) Calculer les coordonnées du point E tel que ABEC soit un parallélogramme. ) Que peut-on dire des points D, C et E? Justifier la réponse. 4) Placer le point F tel que BF = - BC. Calculer les coordonnées du point F. 5) La droite (FD) coupe la droite (AB) en H. Calculer les coordonnées du point H.

3 Seconde DS vecteurs Sujet 1 Exercice 1 : ABC est un triangle. 1) Construire le point M tel que : AM = 1 AB AC ) Exprimer BM en fonction de BC. Que peut-on en déduire pour les points B, M et C? 1) ) En utilisant la relation de Chasles on a : 1 1 BM = BA + AM= - AB + AM = - AB+ AB AC = 1 BM = ( CA + AB ) = 1 1 CB = - BC AB 1 1 AC = ( AB AC ) Les vecteurs BM et CB sont colinéaires; donc les points B, M et C sont colinéaires. Exercice : ABCD est un parallélogramme ; E et F sont les points définis par : 1 BE = AB et AF = AD On munit le plan du repère (A; AB, AD)

4 Seconde DS vecteurs Sujet 1 1) Donner les coordonnées des points A, B et D ) Déterminer les coordonnées des points C, E et F, puis démontrer que ces trois points sont alignés. 1) A(0;0) B(1;0) D(0;1) ) C(1;1) E(1,5;0) F(0;) EC x C - x E = 1-1,5=-0,5 y C - y E = 1-0=1 EF x F - x E = 0-1,5=-1,5 y F - y E = -0= EF = EC Les vecteurs EF et EC sont colinéaires. Donc les points C, E et F sont alignés. Exercice : (8 points) Dans le plan muni d un repère, on donne les points : A(- ;1) B(4 ;4) et C(,5 ;-) 1) Calculer les coordonnées du point G, centre de gravité du triangle ABC et vérifier l abscisse de G est 1,5 et l ordonnée de G est 1. ) G est le symétrique de G par rapport au milieu de [AC]. Calculer les coordonnées du point G (vérifier que G (-1 ;-)) et démontrer que G est le milieu de [BG ]. ) M est le point défini par 4 MA + MB - MC = 0 Calculer les coordonnées de M et démontrer que M est le symétrique de G par rapport à A. 4

5 Seconde DS vecteurs Sujet 1 1) On a la relation AG + BG + CG = 0 Cette relation peut se transformer en : OG = OA + OB + OC Soit OG = 1 ( OA + OB + OC) Donc x G = -+4+,5 G(1,5 ;1) ) Soit B le milieu de [AC]. Calculons les coordonnées de B B ( -+,5 ; 1- ) B (0,5 ;-0,5) = 4,5 = et y G = 1+4- = 1 5

6 Seconde DS vecteurs Sujet 1 Calculons les coordonnées de G. G est le symétrique de G par rapport à B. donc GB = B'G' soit 0,5-1,5=x G'-0,5-0,5-1=y G' +0,5 x G = -1 et y G = - G (-1 ;-) Soit H le milieu de [BG ] : x H = 4-1 =1,5 et y H = = 1 H(1,5 ;1) On constate que H et G ont les mêmes coordonnées. Donc H=G et G est bien le milieu de [BG ]. Autre démonstration sans calcul de coordonnées : Par propriété du centre de gravité, on a BG = GB'(car le centre de gravité est situé au sur la médiane en partant du sommet.) OrGG' = GB' (car B est le milieu de [GG ]) On en déduit que : BG = GG' Donc G est bien le milieu de [BG ]. ) 4 MA + MB - MC = 0 se transforme en utilisant la relation de Chasles : 4MO + MO MO + 4 OA + OB OC = 0 OM = 1 (4 OA + OB OC) x M = =- et y M = = 4 M(- ;4) Si M est le symétrique de G par rapport à A, alors A est le milieu de [G M]. Calculons les cooordonnées du milieu (x,y) de [G M] x = -1- = - et y = = 1 On retrouve bien les coordonnées de A. Donc A est bien le milieu de [G M] et M est bien le symétrique de G par rapport à A. 6

7 Seconde DS vecteurs Sujet Exercice 1 : (5 points) ABC est un triangle. ) Construire les points E et F tels que : AE = - AB et AF = - AC 4) Exprimer EF en fonction de BC puis interpréter géométriquement ce résultat. 1) 1) En utilisant la relation de Chasles, on a : EF = EA + AF = - AE + AF = AB BC Les vecteurs EF et BC sont colinéaires. Donc les droites (EF) et (BC) sont parallèles. (BCEF est un trapèze) AC = ( AB AC ) = ( CA + AB) = Exercice : (7 points) ABC est un triangle, A est le milieu de [BC], D et E sont les points tels que : 1 1 CD = AB et BE = AC On appelle I le milieu de [DE]. On se propose de démontrer que les points A, A et I sont alignés. Pour cela, on munit le plan du repère (A; AB, AC). CB = - 7

8 Seconde DS vecteurs Sujet 1) Donner les coordonnées des points A, B et C. ) Déterminer les coordonnées des points A, D, E et I. ) Conclure 1) A(0,0) B(1,0) C(0,1) ) x A = x B+x C = 1 et y A = y B+y C = 1 AD = AC + CD = 1 AB + AC donc D 1 ;1 1 AE = AB + BE = AB + AC donc E 1 ; 1 x I = x D+x E ) AA' = 1 +1 xa' -x A = 1-0 =1 y A' -y A = 1-0=1 AI = 4 AA' Les vecteurs = et y I= y D+y E = 1 +1 = donc A ( 1 ;1 ) AI x I -x A = donc I( ; ) - 0 = y I -y A = - 0= AI et AA'sont colinéaires donc les points A, A et I sont alignés. Exercice : (8 points) Dans le plan muni d un repère, on donne les points : A( ;4) B(4 ;-1) C(- ;-) D(-4;) 1) Faire une figure Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier la réponse. ) Calculer les coordonnées du point E tel que ABEC soit un parallélogramme. 8

9 Seconde DS vecteurs Sujet ) Que peut-on dire des points D, C et E? Justifier la réponse. 4) Placer le point F tel que BF = - BC. Calculer les coordonnées du point F. 5) La droite (FD) coupe la droite (AB) en H. Calculer les coordonnées du point H. 1) -4 - = -6 AD - 4 = = -6 BC = -1 AD = BC donc ABCD est un parallélogramme. ) ABEC est un parallélogramme si AB = CE AB 4 - = -1-4 = -5 CE x E + y E + AB = CE x E + = y E + = -5 x E = 0 et y E = -7 E(0 ;-7) 9

10 Seconde DS vecteurs Sujet = - EC = 5 ) -4-0 = -4 ED + 7 = 10 On a ED = EC Les vecteurs EC et ED sont colinéaires donc les points D, C et E sont alignés. 4) BF x F - 4 et BC -6 y F BF = - BC x F - 4 = - (-6) y F + 1 = - (-1) x F = = 8 y F = -1 + = - 1 F 8 ; - 1 5) Les vecteurs FH et FD sont colinéaires. x H Donc y H + 1 et + 1 Soit 10 (x H 8) = -1(y H + 1 ) Soit : 10x H 80 = -6y H -1 10x H + 6y H = x H + 6y H = 68 5x H + 18y H = 4 sont colinéaires. Les vecteurs AH et AB sont colinéaires. Donc x H y H - 4 et -5 sont colinéaires. Soit -5(x H ) = (y H - 4) Soit : -5x H + 10 = y H - 8-5x H - y H = x H + y H = 18 Les coordonnées du point H sont solutions du système : 10

11 Seconde DS vecteurs Sujet 5x H + 18y H = 4 5x H + y H = 18 16y H = 4 18 = 16 5x H + y H = 18 H 16 5 ;1 y H =1 x H =