PROBLÈME 2 - PSI - CCP

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1 Corrgé du DM 8 PROBLÈME - PSI - CCP 08 Q3 O [,] ( Ω s f ou déobrbl Ds l prr cs, d u spérc qu s l so f Ds l scod cs, o pu écrr { x } xp( = x ( Ω =, N [,] d u spérc s s sul s l sér xp( = x covrg bsolu Or, o pour ou N, xp( = x P( = x P( = x covrg (d so, doc l sér xp( = x covrg d u spérc Fl, ds ls dux cs : d u spérc Q3 Vor l cours Q33 Co [,], o [0,] O prouv doc co ds l quso 3 qu d u spérc D plus, s posv O pu doc pplqur l églé d Mrov, so pour ou rél α > 0 : P α E ( α Q34 So ds réls > 0 > 0, As : N O > 0, doc pour ou ω Ω : S ω S ω ( S S = x x Co [,], o pour ou x ( Ω, P( = x = P( = x P( = x P ( = x covrg (d so spérc Ls ( E = E( covrg s,, doc x P ( = x suv ous l ê lo qu, doc pour ou N, d u d u spérc

2 S Ef, = = co ls vrbls so uull S dépds, ls vrbls l so uss doc d u spérc vc : S ( ( ( E = E E E = E S As, co s posv d u spérc, o pu pplqur l églé d Mrov, so, pour ou rél α > 0 : Avc ( S S S E ( E S P ( α = α = α = > 0, o ob : S ( P S = P α ( E ( Q35 O prd > L foco g : x ( x ( x foco ff ( ( ( xl x x x d u foco xpoll ( x vc pour ou x R : xl g '( x = (l xl s dérvbl sur R qu dfférc d u Co >, doc l > 0, l foco x doc g ' so décrosss sur R As : L foco g s dérvbl sur R xl s cross sur R Alors, g ' s décross sur R x l (l x O b g = = ( 0 Rrquos qu l foco g sg cos Cc plqur lors qu = = ( 0 g ' s cou doc s ll s ul ps sur [,], ll y grd u g sr src ooo sur [,], c qu s bsurd vc g ( = g ( As, g ' s ul u os u fos u rél α d [,], co ll s décross, ll s posv sur [, α ] égv sur [ α,] As : g s cross sur [, α ] vc g ( = 0, doc g s posv sur [, α ] ; g s décross sur [ α,] vc g ( = 0, doc g s posv sur [ α,] Fl : Pour ou x [,], g ( x 0

3 Q36 D près l quso précéd, o pour ou x [,] ou rél > : xl xl g ( x = ( x ( x 0 ( x ( x Avc = l > 0, o ob pour ou x [,] ou rél > 0 : x ( x ( x Q37 So u rél 0 > Pr l héorè du rsfr, o x E = P( = x Or, o [,], doc pour ou x ( Ω, o pu écrr vc l résul d l quso précéd P( = x 0 : E : Doc : x E ( = P( = x ( x ( x P( = x ( x ( x P( = x = (ch P( = x (sh xp( = x Or, s cré, doc E( = 0 s : = ch P( = x sh xp( = x = ch sh E( ch sh E E ch E Q38 So N R O vu : = (!!! Co 0, (! > 0! > 0, cc rv à prouvr qu! (! Or, pour = 0, o 0 0! = ( 0! = pour ou 3 N : (! ( ( ( = = 3 5 (! 4 ( ( Doc,! (! fl, o b pour ous N R : (!!

4 O pour ou R, Alors : ch E s, pour ou rél > 0 : = = 0 (! =, doc = 0! / / = 0 (! = 0! ch = = E / = = 0! Q39 O N R Pour ou R, o : vc églé qud = Doc, pour ou R : vc églé qud = As : = ( xp xp L foco d pour u sur R = Q40 Pour ou rél > 0, o : P ( S E ( ( E ( (d près l quso 34 ; / (d près l quso 38 Doc : E d près l quso précéd, P S / ( =, doc : P S O ( S ( S ( S = co > 0, l uo s dsjo, doc : ( ( ( ( ( P S = P S P S = P S P S 4

5 ( ( O S = : As, s à vlurs ds [,], doc uss ; ls ls so uull dépds, doc ls suv l lo d, doc ls E( = 0 doc E( = E( = 0 uss ; suv l lo d ; S vérf ls ês hypohèss qu S doc o pu lu pplqur l résul précéd, so So : P S O ob lors : ( ( ( P S = P S P S ( P S Q4 Pour ou N, o ( S ( S >, doc : Or, pour ou R, o ( ( 0 P S > P S 0 < <, doc l sér géoérqu Pr coprso d sérs à rs posfs, o pu lors coclur qu : L sér d r géérl P ( S ( / covrg > covrg Q4 So Pour ou R N, o { ; S } ( S ω Ω ω > = >, doc pour ou B ( S = > Pr défo d u vrbl léor, o ( S x Or, o pu écrr ( S > = ( S = x = A pour ou 5 N : N ou x S Ω pr défo d u rbu, ou réuo f ou x S ( Ω x> déobrbl d élés d A ppr cor à A Co S ( Ω s f ou déobrbl (cr ls Ef, so ds vrbls dscrès, o ( S B s u réuo déobrbl d ( > A pour ou N S >, doc B A, ur d : B s u évé

6 Pour ou N : B = S > = S > S S B > = > Doc B B pr coué décross : Or, pour ou N : ( P B = l P( B N ( 0 P( B = P S > P S > Co l sér P ( S > covrg, so rs d vrs 0 doc P( S = l héorè ds gdrs, o ob lors l P( B = 0 s : P ( B = 0 N l > = 0 Pr = Q43 Pour ou N, Avc l quso précéd pos Doc : Ω = ω Ω ; N,, S ( ω = B = B (, o : B ( = ω Ω ; S( ω > = ω Ω ; S( ω = ω Ω ;, S( ω Ω = B ( N Or, o vu qu pour ou N, B A, doc B ( A Ω = B ( A, so : N Pour ou N, Ω s u évé O A = { ω Ω ; l S( ω = 0 }, o pu écrr : ( l S 0 (, ω = R N,, S( ω Doc : N, N,, S( ω A = ω Ω ; N, N,, S( ω = { ω Ω ; N, ω Ω } = Ω N 6

7 Or, o v d vor d qu ous ls Ω so ds évès Co l rsco d u fll déobrbl d évès s u évè : A s u évè Q44 D près ls ux qusos précéds, o pour ou E, pour ous Doc, pour ou N : ( ( ( P B ( = 0 P B ( = P B ( = P( Ω = N N N N N : N, o : S ( ω S( ω Ω Ω A ouvu pr coué décross, o ob vc P( Ω = pour ou ( P Ω = l P ( Ω = N N : Avc, o ob fl : N A = Ω P( A = 7

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