f(x) = x3 3 x2 2 2x g(x) = x x2 + 6x h(x) = (2x 1) 2 x 3

Transcription

1 Exercice Les trois fonctions suivantes sont définie et dérivable sur R. Pour chacune de ces fonctions, calculez la dérivée, étudiez le signe de cette dérivée et dresser le tableau de variation de la fonction.. 2. f(x) = x3 3 x2 2 2x g(x) = x x2 + 6x h(x) = (2x ) 2 x 3 Exercice 2 Les trois fonctions suivantes sont définie et dérivable sur R +. Pour chacune de ces fonctions, calculez la dérivée, étudiez le signe de cette dérivée et dresser le tableau de variation de la fonction.. f(x) = x 2 + x 2. g(x) = x 2x 3. h(x) = x 3 x

2 2 Exercice 3 f est la fonction définie sur R par : f(x) = x 3 + 2x + 3 Dans un repère, C est la courbe représentant f.. Dresser le tableau de variation de f. 2. Donner une équation de la tangente T à la courbe C au point d abscisse Etudier la position relative de C par rapport à T 4. Tracer C et T sur l écran d une calculatrice et vérifier les résultats obtenus précédemment. Exercice 4 f est la fonction définie sur R par : f(x) = 2x 3 3x 2 2x + Dans un repère, C est la courbe représentant f.. Dresser le tableau de variation de f. 2. Construire dans un repère la courbe représentative de f. 3. Graphiquement, discuter suivant les valeurs du réel m, le nombre de solution de l équation : f(x) = m

3 3 Exercice 5 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x. Etude numérique (a) Démontrer que pour tout x > 0, x ] 0, ; 0, [. (b) Déterminer une valeur x 0 telle que pour tout x > x 0, x 2. Généralisation. Soit e un réel strictement positif. ] 0, 0; 0, 0[ (a) Démontrer que pour x > e, on a x < e. (b) Recopier et compléter la phrase suivante : "On peut en déduire que pour tout intervalle ] e; e[ contient toutes les valeurs... pour x >...". (c) Que peut-on en déduire? Exercice 6 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x 2. Etude numérique (a) Démontrer que pour tout x > 0, ] 0, 0; 0, 0[. x2 (b) Déterminer une valeur x 0 telle que pour tout x > x 0, ] 0, 000; 0, 000[ x2 2. Généralisation. Soit e un réel strictement positif. (a) Démontrer que pour tout x supérieur à une certaine valeur x 0 à déterminer en fonction de e, on a x 2 < e. (b) Que peut-on en déduire?

4 4 Exercice 7 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 2x2 + x 2. calculer f(0), f(00), f(000) et en donner des valeurs approchées à Observer la représentation graphique de f sur une calculatrice. Quelle conjecture peut-on alors faire sur sa limite en +? 3. Montrer que pour tout x R,f(x) = 2 + x On considère l intervalle ], 99; 2, 0[. Monter que pour x supérieur à une certaine valeur x 0 à déterminer, on a f(x) ], 99; 2, 0[. 5. Soit r un réel strictement positif. On considère alors l intervalle ]2 r, 2+r[. Monter que pour x supérieur à une certaine valeur x 0 à déterminer, on a f(x) ]2 r; 2 + r[ 6. Justifier que lim x f(x) = 2 en utilisant la définition de la limite finie en +. Exercice 8 Déterminer les limites suivantes :. lim x + 3x2 + 2x + 3x 2 2x + 2. lim x 2x 2 7x 3 5x lim x 37x 2 2x + 24

5 5 Exercice 9 Le graphique ci-dessous donne les courbes représentatives C f, C g et C h de trois fonctions f, g et h définies sur R L axe des abscisses est une asymptote à la courbe C f en + et à la courbe C g en + et en. De plus lim f(x) = + et C h est une droite. x Donner si possible les limites en + et en des fonctions f + g, f g, fg, fh, g + h, f g, f h et g h.

6 6 Exercice 0. soit f la fonction définie sur R par f(x) = 3x2 2. Déterminer les limites de f en x et en. 2. soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2 3x. Déterminer les limites de f x 2 + x + en + et en. 3. soit f la fonction définie sur R par f(x) = x2 + 3x + 2. Déterminer les limites de x f en 0, en + et en. Exercice Déterminer les limites suivantes : lim x,x< lim x,x> lim x,x< 2 x x 2 2 x x 2 2 x x 2 x 2 lim x 2,x>2 2 x x 2 5x lim x + x + lim x + x2 + (x + )(x 2 2) lim x + x + 2 x +

7 7 Exercice 2 Déterminer les limites suivantes : lim x2 3x x lim x + x 2 3x x + x lim x,x> + x x lim x + + x Exercice 3 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x + x 2 et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i, j).. Démontrer que pour tout x R, f( x) = f(x). 2. Déterminer la limite de f en limite en 0 (a) Démontrer que pour tout x ]0; + [, f(x) = x 2 + (b) En déduire lim f(x). x 0;x>0 4. Démontrer que f est croissante sur ]0; + [. 5. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur R.

8 8 Exercice 4 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x2 + 3x x et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i, j).. Déterminer les variations de f sur son ensemble de définition. 2. Soit A le point de C d abscisse. Déterminer une équation de la tangente T à C en A. 3. Étudier les limites de f aux bornes de son intervalle de définition. 4. Donner le tableau de variation complet de f. Exercice 5 Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par : f(x) = + 2 sin(x) + x. Démontrer que si x > 0, alors x f(x) 3 x. 2. En déduire que f admet une limite en + dont on précisera la valeur. Exercice 6 Soit f la fonction définie sur R {} par : f(x) = 3x + sin(x) x. Démontrer que pour tout x 2, alors 0 f(x) 3 4 x. 2. En déduire la limite de f en +.

9 9 Exercice 7 Calculer les dérivées des fonctions suivantes.. La fonction f définie sur R par f(x) = 2x La fonction f définie sur R par f(x) = 3x 2 6x La fonction f définie sur R + par f(x) = 2 x 3 x + π. 4. La fonction f définie sur R par f(x) = 3x x La fonction f définie sur R + par f(x) = x x. 6. La fonction f définie sur R par f(x) = (x + )(2 x). 7. La fonction f définie sur R par f(x) = x 2 (2x 5). { } La fonction f définie sur R 2 ; par f(x) = 2 x 9. La fonction f définie sur R + par f(x) = x La fonction f définie sur R + par f(x) = 2 x( + x). 2x La fonction f définie sur R {4} par f(x) = 3x2 + 7x. x 4 2. La fonction f définie sur R par f(x) = 4 x La fonction f définie sur R par f(x) = 3x 2 6x La fonction f(x) = 2x + 3 étant une fonction polynôme, elle est dérivable sur R. f (x) = La fonction f(x) = 3x 2 6x + 2 étant une fonction polynôme, elle est dérivable sur R. f (x) = 6x La fonction f(x) = 2 x 3 x + π est définie sur R + mais dérivable sur R + car la fonction racine carré n est pas dérivable en 0 et on a :

10 0 4. La fonction f(x) = 3x x 8 dérivable sur cet ensemble et on a : Donc f (x) = 2 x x = 4 x 2x 2 x 3x2 2x 2 x = 4 x 3x 2 2x 2 x est dérivable sur R en tant que somme de fonctions f(x) = 3 5 x x 8 f (x) = 3 5 4x3 4 ( 8)x 9 = 2 5 x3 + 32x 9 5. La fonction f(x) = x x est dérivable sur R + en tant que produit de fonction dérivables sur cet ensemble et on a : f(x) = x x 2 = x + 2 = x 3 2 D où f (x) = 3 2 x 3 2 = 3 2 x 2 = 3 2 x 6. La fonction f(x) = (x + )(2 x) étant une fonction polynôme, elle est dérivable sur R. f(x) = (x + )(2 x) = x 2 + 3x + 2 D où f (x) = 2x + 3

11 7. La fonction f(x) = x 2 (2x 5) étant une fonction polynôme, elle est dérivable sur R. D où f(x) = x 2 (2x 5) = 2x 3 5x 2 f (x) = 6x 2 0x 8. La fonction f(x) = étant une fonction rationnelle, elle est dérivable sur son ensemble 2x 2 5 { } 5 5 de définition, c est à dire sur R 2 ; 2 f (x) = 4x (2x 2 5) 2 9. La fonction f(x) = x x 5 est dérivable sur R + en tant que quotient de fonction dérivables sur cet ensemble et dont le dénominateur ne s annule pas. D où : f(x) = x x 5 = x 2 x 5 = x 2 5 = x 9 2 f (x) = 9 2 x 9 2 = 9 2 x 2 = La fonction f(x) = 2 x(+ x) est dérivable sur R + en tant que produit de fonction dérivables sur cet ensemble et on a : x f 2 (x) = 2 x ( + x) + 2 x 2 x = + 2 x x 6

12 2. La fonction f(x) = 3x2 + 7x étant une fonction rationnelle, elle est dérivable sur son x 4 ensemble de définition, c est à dire sur R {4} f (x) = ( 6x + 7) (x 4) ( 3x2 + 7x ) (x 4) 2 = 3x2 + 24x 27 (x 4) 2 2. La fonction f définie sur R par f(x) = 4 x La fonction f définie sur R par f(x) = 3x 2 6x + 2. Exercice 8 Calculer les dérivées des fonctions suivantes.. La fonction f définie sur [; + [ par f(x) = x. ] ] [ [ La fonction f définie sur ; 2 2 ; + par f(x) = 2x 2 5. [ [ 9 3. La fonction f définie sur 4 ; + par f(x) = 3 4x La fonction f définie sur R par f(x) = 4 x [ [ 3 5. La fonction f définie sur 2 ; + par f(x) = 2x La fonction f définie sur [; + [ par f(x) = 7x 4 2x. 7. La fonction f définie sur R + par f(x) = 8 x. [ [ 8. La fonction f définie sur 3 ; + par f(x) = 2x 3x.. f est définie sur [; + [ mais dérivable sur ]; + [ car la fonction racine carré n est pas dérivable en 0. f (x) = 2 x = 2 x.

13 ] ] [ [ ] [ La fonction est f définie sur ; 2 2 ; + mais dérivable sur ; 2 ] [ 5 2 ; + car la fonction racine carré n est pas dérivable en La fonction f est définie sur n est pas dérivable en 0.. f (x) = = 4x 2 2x 2 5 2x = 2x2 5 [ [ ] [ ; + mais dérivable sur 4 ; + car la fonction racine carré f (x) = x 9 6 = 4x 9 4. La fonction f est définie et dérivable sur R en tant que composée de fonctions dérivables sur R f (x) = 4 2x 2 x x = x2 + 6 [ [ ] [ La fonction f est définie sur 2 ; + mais dérivable sur 2 ; + car la fonction racine carré n est pas dérivable en 0. f (x) = 2 2 2x + 3 = 2x La fonction f est définie et dérivable sur [; + [ car pour tout réel x, on a 7x 4 2x > 0 et la fonction racine carré est dérivable sur R +. f (x) = (28x 3 2) 2 7x 4 2x = 4x 3 7x4 2x

14 4 7. La fonction f est définie et dérivable sur R + en tant que composée de fonctions définie et dérivables de R + dans R + f (x) = 8 x 2 2 x 4 = x 2 x 4 = x 2 x = 4 x x. 8. La fonction f définie sur n est pas dérivable en 0. [ [ 3 ; + mais dérivable sur ] [ 3 ; + car la fonction racine carré f (x) = 2 3x + 2x 3 2 (3x ) + 3x = 3x = 9x 2 3x 2 3x.

15 5 Exercice 9 Calculer les dérivées des fonctions suivantes.. La fonction f définie sur R par f(x) = (8 x) 4. ] 2. La fonction f définie sur ; [ ] [ 2 2 ; + par f(x) = (2x ) La fonction f définie sur R par f(x) = (x 2 3x) La fonction f définie sur [2; + [ par f(x) = (6 3x 2 ) La fonction f définie sur R par f(x) = (x 2 + x + ) 7. ] 6. La fonction f définie sur ; [ ] [ 2 2 ; + par f(x = (8x 4) La fonction f définie sur R { ; } par f(x) = (x 2 ). 7 ( ) 2 x 8. La fonction f définie sur R { } par f(x) =. x + (a) La fonction f étant une fonction polynôme, elle est dérivable sur R f (x) = ( ) 4 (8 x) 3 = 4 (8 x) 3 (b) La fonction f étant une ] fonction rationnelle, elle est dérivable sur son ensemble de définition, c est à dire sur ; [ ] [ 2 2 ; + f (x) = 2 ( 2) (2x ) 3 = 4 (2x ) 3 (c) La fonction f étant une fonction polynôme, elle est dérivable sur R f (x) = (2x 3) 2 (x 2 3x) = 2 (2x 3) (x 2 3x) (d) La fonction f étant une fonction rationnelle, elle est dérivable sur son ensemble de définition, c est à dire sur [2; + [ par f(x) = (6 3x 2 ) 0 f (x) = ( 6x) ( 0) (6 3x 2 ) = 60x (6 3x 2 )

16 6 (e) La fonction f étant une fonction polynôme, elle est dérivable sur R f (x) = (2x + ) 7 (x 2 + x + ) 6 = 7 (2x + ) (x 2 + x + ) 6 (f) La fonction f étant une ] fonction rationnelle, elle est dérivable sur son ensemble de définition, c est à dire sur ; [ ] [ 2 2 ; + f(x) = (8x 4) 3 = (8x 4) 3 Donc f (x) = 8 ( 3) (8x 4) 4 = 24 (8x 4) 4 (g) La fonction f étant une fonction rationnelle, elle est dérivable sur son ensemble de définition, c est à dire sur R { ; }. f(x) = 3 (x 2 ) 7 = 3 (x 2 ) 7 Donc f (x) = 3 (2x) ( 7) (x 2 ) 8 = 42x (x 2 ) 8 (h) La fonction x x 2 étant dérivable sur R et x x étant dérivable de R { } dans x + R, on peut conclure que f est dérivable sur R { } en tant que composée de fonctions dérivables. f(x) = (u v)(x) avec u(x) = x 2, v(x) = x x + u (x) = 2x et v (x + ) (x ) 2 (x) = = (x + ) 2 (x + ) 2 Donc : f (x) = v (x) (u v)(x) = 2 (x + ) 2 2 = 4(x ) (x + ) 3 ( x x + )

17 7 Exercice 20 Une fonction f dérivable sur R admet pour dérivée f telle que : f (x) = Calculer la dérivée des fonctions suivantes :. g : x f(2x 3) 2. h : x f( x) x 2 2x + 5. g = f u avec u(x) = 2x 3 g est donc dérivable sur R en tant que composée de fonctions dérivables sur R et on a : g (x) = u (x) (f u)(x) = 2 (2x 3) 2 2 (2x 3) = 4x 2 6x + 20 = 2x 2 8x h = f v avec v(x) = x g est donc dérivable sur R en tant que composée de fonctions dérivables sur R et on a : g (x) = v (x) (f v)(x) = ( ) ( x) 2 2 ( x) + 5 = x 2 + 2x + 5 Exercice 2 Une fonction f la fonction défine sur R par : Soit C sa courbe représentative. f(x) = x Déterminer une équation de la tangente à C en son point d abscisse a, a étant un réel 2. Existe-t-il une tangente à C parallèle à la droite d équation y = 2 x? 3. Existe-t-il une tangente à C passant par le point M(0; )?

18 8 Exercice 22 Etudier les variations des fonctions suivantes :. f(x) = (x 2 + ) 4 2. g(x) = ( 4x + 7) 5

19 9 Exercice 23 On cherche le point H tel que le trajet A H B soit le plus rapide possible. Le trajet [AH] en mer est parcouru en canot à une vitesse de 4km.h et le trajet [HB] sur la terre est parcouru à une vitesse de 5km.h. OA = km, OB = 6km et OH = x km.. Soit f(x) la durée totale du parcours de A à B, en heures. Montrer que pour 0 x 6, f(x) = x2 + 4 (x 6) 5 2. Calculer f et établir le sens de variation de f. 3. A quelle endroit de la côte le canot doit-il accoster?

20 20 Exercice 24 The graphs of function f, its first derivative f and second derivative f are shown below. Identify the graph of function f, the graph of its first derivative f and the graph of its second derivative f.

21 2 Exercice 25 Les courbes tracées ci-dessous en trait plein représentent une f donnée par f(x) = mx + p pour différentes valeurs des réels m et p.. Quel semble être le sens de variation de f dans chaque cas. Que peut-on en déduire sur m? 2. Toutes les courbes passent par le point de coordonnées (2; 0). Que peut-on en déduire? 3. Quelle propriété des tangentes à ces courbes au point d abscisse 0 peut-on conjecturer. Démontrer cette conjecture.