INTRODUCTION A L OPTIMISATION

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "INTRODUCTION A L OPTIMISATION"

Transcription

1 INTRODUCTION A L OPTIMISATION Les domaines d application L optimisation est essentiellement un outil d aide à la décision au sein de l entreprise, mais aussi pour des individus. Le terme optimal est souvent trompeur. Ce n est pas un jugement de valeur absolu. C est plutôt une information sur l approche méthodologique utilisée. Voici quelques domaines dans lesquels la prise de décision fait couramment appel à la résolution de problèmes d optimisation : CONCEPTION DE NOUVEAUX SYSTEMES dimensionnement, localisation ORGANISATION D ACTIVITES Gestion de ressources Gammes et procédures Rentabilisation des investissements COMMANDE DE SYSTEMES Stabilisation, Suivi de trajectoires SURVEILLANCE, SUPERVISION Detection de dysfonctionnements, diagnostics, réparation, maintenance, remplacement préventif. 1

2 La formulation d un problème d optimisation L analyse Il s agit tout d abord d identifier un problème par ses composantes, ses enjeux, ses limites. Exemple : un problème de transport Une entreprise de mécanique achète de l acier dans les ports de Marseille et du Havre et le transforme dans ses usines de Paris, Toulouse et Bordeaux. Elle souhaite produire au maximum dans ses trois usines avec un coût minimum. Tel qu il est défini, le problème a 2 objectifs (ou critères) qui peuvent se révéler antagonistes : production maximale vs coût minimal. D autre part, le problème est spécifié de façon incomplète : sur quelle période de production porte le problème? Cette question est liée à la politique et à l organisation de l entreprise : fabrication à la demande, flux tendus, ou production planifiée. Une meilleure spécification du problème doit permettre d identifier les données nécessaires à la résolution du problème. 2

3 La modélisation L optimisation repose toujours sur des modèles mathématiques. Mais ces modèles sont rarement des modèles physiques complexes. Ils sont généralement simples et partiels. Dans l exemple de transport, on s intéresse uniquement à l aspect achat et utilisation d acier. Quelles sont les quantités d acier nécessaires à la fabrication? Ayant choisi la période de production, on en déduit les quantités d acier nécessaires pour chaque usine. On connait les quantités d acier disponibles à Marseille et au Havre et leur prix. On connait aussi les coûts de transport par tonne d acier. On peut représenter le système par un graphe. 3

4 QUANTITES DEMANDEES QUANTITES DISPONIBLES PARIS 1 d 1 MARSEILLE c 11 c 21 s 1 1 c 12 TOULOUSE c 13 c 22 2 d 2 LE HAVRE s 2 2 c 23 BORDEAUX 3 d 3 Pour définir le modèle du système, on définit ses variables. Elles caractérisent les décisions à prendre, elles doivent être liées aux données jugées pertinentes du problème. Ici, les variables x ij, représentent les quantités d acier achetées au port i, i = 1, 2 et transformées dans l usine j, j = 1, 2, 3. 4

5 Les objets mathématiques qui lient les variables entre elles et qui les lient aux données du problème sont appelées contraintes. Le modèle du système s écrit alors : x 11 + x 12 + x 13 s 1 x 21 + x 22 + x 23 s 2 x 11 + x 21 d 1 x 12 + x 22 d 2 x 13 + x 23 d 3 On note ces équations de la façon suivante : 2 i=1 3 j=1 x ij s i pour i = 1, 2 x ij d j pour j = 1,.., 3 Comme l industriel n achètera pas plus que nécessaire, on peut remplacer les contraintes de satisfaction de la demande par : 2 i=1 x ij = d j pour j = 1,.., 3. 5

6 Le critère à optimiser On connait le prix de la tonne d acier à Marseille et au Havre. On suppose ici que le prix est proportionnel à la quantité achetée, ce qui n est pas toujours vrai. On connait aussi les coûts de transport par tonne d acier sur les différents itinéraires. Le coût unitaire c ij représente la somme du prix de la tonne d acier achetée au port i et du coût de transport par tonne du port i à l usine j. L objectif du problème est de minimiser le coût total tout en assurant l approvisionnement. Il s agit donc du problème de minimisation de la fonction de coût suivante : J = 2 3 i=1 j=1 c ij x ij. 6

7 La formulation du problème d optimisation Le problème prend la forme suivante : Minimiser J = 2 3 i=1 j=1 c ij x ij sous les contraintes 3j=1 x ij s i pour i = 1, 2 2i=1 x ij = d j pour j = 1,.., 3 x ij 0. Ainsi, la démarche d optimisation consiste à isoler un problème de décision et les données relatives à ce problème. Le problème ainsi abstrait de son contexte est souvent représenté par la théorie des graphes. On cherche ensuite à le formuler comme un problème standard d optimisation et à le résoudre par une technique standard, optimale si possible. 7

8 Définitions mathématiques Problème d optimisation : c est un problème d analyse fonctionnelle. On cherche l extrêmum d une fonction de n variables sur un domaine appartenant à une variété de R n : Minimiser J = f(x) sous les contraintes g i (x) 0 pour i = 1,.., m x S R n. Les composantes x 1,..., x n de x sont les variables ou inconnues du problème. Critère La fonction objectif et chaque fonction g i définissant une contrainte sont des fonctions de R n sur R. Minimiser f(x) est équivalent à maximiser f(x). On pourra donc toujours se restreindre au cas de la minimisation. 8

9 Contraintes Toute contrainte{ égalité h(x) = 0 est h(x) 0 équivalente à :. La formulation avec seulement des contraintes h(x) 0 inégalités est donc suffisante. Solutions d un problème: On appelle solution admissible (ou solution) d un problème tout vecteur x S qui satisfait toutes les contraintes du problème. On appelle solution optimale, x, une solution admissible qui minimise f(x) : { x S R n, g i (x ) 0; x S R n, g i (x) 0 pour i = 1,.., m, f(x ) f(x). x 0 est un optimum local du problème s il existe un voisinage V (x 0 ) tel que: x S V (x 0 ), g i (x) 0 pour i = 1,.., m, f(x 0 ) f(x). 9

10 Elements d Analyse Convexe Combinaison convexe x R n est une combinaison convexe de p points x 1,..., x p de R n s il existe des coefficients k 1,..., k p p p 0, avec k i = 1, tels que x = k i x i. i=1 i=1 Ensembles convexes Un ensemble S R n est convexe si et seulement si: λx + (1 λ)y S x S, y S, λ, 0 λ 1. x x x x x x Ensemble convexe Polyèdre convexe Ensemble non convexe Enveloppe convexe conv(s) Soit S R n. L enveloppe convexe conv(s) est l ensemble des points qui sont combinaisons convexes de points de S Donc, par définition, S R n est convexe si et seulement si: S conv(s). 10

11 Fonctions convexes Définition Une fonction f, de R n dans R, définie sur S R n convexe est convexe si elle vérifie l inégalité de Jensen : f((1 λ)x + λy) (1 λ)f(x) + λf(y) x S, y S, λ [0, 1]. Théorème Si f est deux fois continûment différentiable, les 3 conditions ci-dessous sont équivalentes: - f est convexe - x S, y S f(y) f(x)+(y x) T f(x) - x S, le hessien 2 f(x) est une matrice semi-définie positive: y S, y T 2 f(x)y 0. 11

12 Exemple : fonction linéaire f(x) = 2x 1 + x 2 x 3 Gradient : f(x 0 ) = f x 1 (x 0 ) = 2 f x 2 (x 0 ) = 1 f x 3 (x 0 ) = 1. Le gradient est constant. Il est identique en tout point. Hessien : C est la matrice nulle. Une fonction linéaire est convexe et concave au sens large. La minimisation d une fonction linéaire sans contraintes n a pas de sens. Ou plutôt elle donne toujours. 12

13 Complexité des Algorithmes Notion de Complexité Pour tout algorithme d optimisation globalement convergent, il est toujours possible de trouver une valeur ɛ-approchante de la solution optimale en un nombre fini d itérations. Mais ce nombre peut être extrêmement grand. L étude de la complexité des algorithmes vise à exprimer le nombre d opérations, T (ou le temps d exécution sur ordinateur) et l encombrement mémoire, E, nécessaires en fonction du nombre de variables, n, et du nombre de contraintes, m, du problème. On parle de complexité expérimentale liée à la machine et au langage de programmation utilisés et de complexité théorique, qui caractérise uniquement l algorithme. Définition de la Complexité Si pour un algorithme donné, k, h R, f, gn 2 N, n 0, m 0 N ; { T (n, m) kf(n, m) n n 0, m m 0, E(n, m) hg(n, m) alors cet algorithme est dit de complexité O(f(n,m)) en temps de calcul et O(g(n,m)) en encombrement mémoire., 13

14 Complexité des Algorithmes Note: En général, on s intéresse principalement à l effet du nombre de variables, n, sur la taille du problème, et l on considère les performances asymptotiques des algorithmes, en négligeant le termes de degré inférieur. Exemple: Temps de calcul fonction du type n n C est une complexité du type O(n 2 ), même si le terme en n 2 n est prépondérant que pour n > Complexités courantes : en O(nlog(n)), polynomiale en O(n k ), exponentielle en O(2 n ). 14

15 Problèmes NP-complets On distingue habituellement: Les problèmes dits faciles, qui peuvent être résolus par des algorithmes de complexité polynomiale Les problèmes dits ardus ou difficiles qui ne peuvent pas être résolus par des algorithmes de complexité polynomiale. La classe des problèmes dits N P-complets qui sont de complexité équivalente et non polynomiale. A tout problème d optimisation, on associe le problème de décision (DE), d existence d une solution, plus facile à résoudre a priori. On classe les problèmes ardus selon la complexité de leur problème de décision (DE) associé: Le problème est de classe P si (DE) est de complexité polynomiale Le problème est de classe N P si (DE) est ardu. La classe des problèmes N P-complets est incluse dans la classe N P. Le problème est de classe N P-ardu si (DE) est N P-complet. La plupart des problèmes combinatoires, même l un des plus simples, le problème du sac à dos, sont N P- ardus. 15

16 PROGRAMMATION LINEAIRE Définitions et Propriétés de base Forme générale La forme générale d un problème d optimisation est la suivante: Minimiser f(x) sous g i (x) = 0 i I 0 contraintes égalité g i (x) 0 i I contraintes inégalité g i (x) 0 i I + contraintes inégalité x = [x 1,..., x n ] T 0 Dans le cas d un problème linéaire, f, g i sont des fonctions linéaires des variables x 1,..., x n. Les fonctions linéaires sont convexe au sens large. Si le domaine des contraintes est convexe, le problème de minimisation d une fonction linéaire est convexe, et le problème de minimisation de la fonction opposée est lui aussi convexe. 16.

17 Forme standard Il est à noter qu en l absence de contraintes, la solution d un problème linéaire est nonbornée. C est s il s agit d une minimisation. Il n est pas restrictif de supposer les variables non-négatives. Toute variable réelle, r, peut en effet se décomposer en : r = r + r avec r + et r non-négatives. Un problème linéaire est sous forme standard si toutes les contraintes, à l exception de contraintes de non-négativité, sont des contraintes égalité. Cette forme standard est obtenue en introduisant des variables d écart dans toutes les contraintes inégalité. 17

18 La forme standard est donc la suivante : Minimiser z = cx sous Ax = b x 0. avec n = nombre de variables, m = nombre de contraintes, A = matrice réelle m n (matrice des contraintes) c = [c 1,..., c n ] =vecteur-ligne des coûts, b = [b 1,..., b m ] T =vecteur-colonne des seconds membres, z = cx est la fonction objectif, ou critère à minimiser. On peut toujours supposer rang(a) = m, car sinon il y a soit des contraintes redondantes soit des contraintes incompatibles. 18

19 Exemple de problème linéaire: Constitution d une flotte d avions Une compagnie aérienne cherche à se constituer une nouvelle flotte d avions pour couvrir de nouvelles destinations. Des voyages long courrier, pour lesquels la demande estimée est D L, Des voyages à distance moyenne, pour lesquels la demande estimée est D M, Des voyages courte distance, pour lesquels la demande estimée est D C. Pour satisfaire ces demandes, la compagnie envisage d acquérir Des gros porteurs en quantité x 1, au coût unitaire c 1, Des moyens porteurs en quantité x 2, au coût unitaire c 2, Des petits avions en quantité x 3, au coût unitaire c 3. L objectif de la compagnie est de satisfaire la demande estimée en minimisant les coûts totaux d investissement et d exploitation, en valeur actualisée, sous une contrainte budgétaire. 19

20 Le problème peut être formulé ainsi: Minimiser 3 i=1 c i x i 3i=1 a i x i D L sous 3i=1 b i x i D M. 3i=1 d i x i D C a i, b i, d i sont les contributions unitaires des trois types d avions aux trois types de besoin. La contrainte budgétaire s écrit: 3 i=1 c i x i B Pour chaque type d avions, il existe une borne supérieure aux nombres disponibles: 0 x i L i, i = 1, 2, 3. Ce problème a des contraintes supplémentaires : ses variables x 1, x 2, x 3 doivent être entières. On parle de problème linéaire en variables entières. 20

21 Mise sous forme standard On introduit les variables d écart pour transformer les contraintes inégalité en contraintes égalité : Minimiser 3 i=1 c i x i 3i=1 a i x i y L = D L 3i=1 b i x i y M = D M sous 3i=1 d i x i y C = D C 3i=1 c i x i + Y B = B x i + y i = L i, i = 1, 2, 3 y L, y M, y C, y B, y i, x i 0, i = 1, 2,

22 Polyèdres convexes Définition Un ensemble de la forme X = {x Ax = b, x 0} est un polyèdre convexe de R n. Un polyèdre borné est appelé un polytope. Définition : face Une face du polyèdre convexe X est définie comme l ensemble des points qui minimisent une fonction linéaire sur X :{x f x f X, cx f = max X (cx). Définition : point extrême Un point extrême d un polyèdre convexe est un point que l on ne peut pas exprimer comme combinaison convexe des autres points. C est une face minimale du polyèdre, c est à dire une face qui ne contient aucune autre face. 22

23 Bases Définition On appelle base toute sous-matrice carrée m m régulière de A. Soit B une base. En permutant les colonnes de A, on peut mettre A sous la forme : A = [B, N] De même, on partitionne x = [x T B, xt N ]T et c = [c B, c N ]. Les variables de x B sont dites variables de base, celles de x N variables horsbase. Une solution admissible du problème linéaire satisfait : Ax = b avec x 0, ce que l on réécrit : Bx B + Nx N = b. 23

24 Solution de base On appelle solution de base la solution particulière obtenue en faisant x N = 0.. x B est alors déterminé de façon unique par : x B = B 1 b. Une solution de base est admissible si x B 0, c est à dire si : B 1 b 0. Une base est dite dégénérée si le vecteur x B = B 1 b a des composantes nulles. 24

25 Caractérisation algébrique des points extrêmes Théorème L ensemble des points extrêmes d un polyèdre convexe X = {x Ax = b, x 0} correspond à l ensemble des solutions de base réalisables. Corollaires - Tout polyèdre convexe a un nombre fini de points extrêmes. - Tout point d un polytope est une combinaison convexe de ses points extrêmes. Théorème L optimum du problème linéaire est atteint en au moins un point extrême. S il est atteint en plusieurs points extrêmes, il est atteint sur tout point de la face contenant les points extrêmes optimaux. 25

26 Caractérisation des bases optimales Décomposition du critère z = cx = c N x N + c B x B. En effectuant le changement de variable : x B = B 1 b B 1 Nx N on peut exprimer z en fonction de x N : z = (c N c B B 1 N)x N + c B B 1 b. Définition Multiplicateurs du simplexe : π = (π 1,..., π m ), défini par : π = c B B 1. Théorème Une CNS pour que B soit une base réalisable optimale est, en l absence de dégénérescence: c N 0 avec c N = c N πn = c N c B B 1 N. Les composantes c j du vecteur c N sont appelées les coûts réduits des variables horsbase. Les coûts réduits des variables de base sont nuls. 26

27 Démonstration: Suffisance: Soit x = [x T B, xt N ]T une solutions quelconque (pas forcément de base) et z le critère associé. z = (c N c B B 1 N)x N +c B B 1 b = c N x N +πb. Si de plus c N 0, le minimum de z(x) est obtenu pour x N = 0, c est à dire pour la solution de base Nécessité S il existe une variable hors-base telle que c s < 0, il suffit pour diminuer la valeur du critère à partir de la solution de base [B 1 b, 0] de fixer à une valeur très petite x s, ce qui est toujours possible si la base n est pas dégénérée. C est en fait le principe d itération de la méthode du simplexe. 27

28 Exemple Maximiser x1,x 2 z = x 1 + 2x 2 sous x 1 + x 2 2 x 2 1 et x 1, x 2 0 Il est immédiat de reformuler ce problème comme un problème de minimisation et de le mettre sous la forme standard : Minimiser x1,x 2 z = x 1 2x 2 sous x 1 + x 2 + x 3 = 2 x 2 + x 4 = 1 et x 1, x 2, x 3, x 4 0 Voici une description graphique de ce problème. Chaque sommet du polyèdre des solutions admissibles correspond à une solution de base. Les variables de base sont indiquées en chaque sommet. 28

29 x 2 2 ( x 2, x 3 ) ( x 1, x 2 ) 1 ( x 3, x 4 ) ( x 1 0 1, x 4 ) 2 x 1 Polyèdre des solutions admissibles 29

30 Résolution des problèmes linéaires Minimiser z = cx sous { Ax = b x 0. L algorithme primal du simplexe 1- Base initiale réalisable B 0, k = 0. Critère d admissibilité satisfait : B 0 1 b Pour k, le critère d admissibilité, B 1 b 0 doit rester satisfait. Calculer : b = B 1 b, π = c B B 1, c N = c N πn, Ā = B 1 A 3- Si c N 0, STOP, optimum atteint (critère d optimalité). Sinon, choisir s tel que c s 0. En pratique, on choisit le coût réduit le plus négatif. Cette variable entre en base. 4- Pivot. Soit Ā s la colonne s de Ā. Si Ā is 0 i optimum non borné. Sinon, la variable associée à Min b i Ā is sort de base. Sa valeur devient nulle. Construire la nouvelle base, B et aller en 2- Interprétation géométrique : cheminement sur les points extrêmes Interprétation algébrique : suite de bases adjacentes. 30

31 Le théorème de convergence finie Sous l hypothèse de non-dégénérescence, la convergence est garantie en un nombre fini d itérations, car il y a un nombre fini de points extrêmes. Problèmes de dégénérescence C est le cas où b i = 0. On ne peut pas augmenter la valeur de la variable entrant en base. Dans ce cas, il suffit de changer de règle de sélection de la variable entrante. Complexité algorithmique La complexité de l algorithme du simplexe est théoriquement exponentielle. En pratique, la méthode nécessite généralement de m à 3m itérations. C est une méthode très efficace, qui permet de traiter des problèmes de l ordre de variables, contraintes. Il est à noter l existence d algorithmes polynomiaux pour la résolution de problèmes linéaires en variables réelles. Ce sont les méthodes dites de points intérieurs, avec en particulier les algorithmes de Kachian et de Karmarkar. 31

32 Tableau simplexe- Exemple Méthode du simplexe appliquée à l exemple précédent: Introduction des variables d écart Le problème est mis sous la forme standard : Minimiser z = x 1 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 sous x 1 + +x 2 + x 3 = 2 x 2 + x 4 = 1 et x 1, x 2, x 3, x 4 0 Sous forme matricielle, ce problème s écrit : x 1 x Minimiser z = [ ] 2 x 3 x 4 sous [ ] x 1 x 2 x 3 x 4 = et x 1, x 2, x 3, x 4 0 [ 2 1 ] 32

33 Choix de la base initiale En général, on choisit les variables d écart comme variables de base initiales, pour avoir B 0 = I. Pour l exemple ci-dessus, le choix de x 3, x 4 comme variables de base donne comme solution de base z 0 = 0. Ecriture du tableau simplexe x 3 x 4 x 1 x 2 z (1) (2) (c) Base initiale: x 3 = 2, x 4 = 1 et donc z = 0, x 1 = x 2 = 0. Comme toutes les variables de base sont non-négatives, cette solution de base est réalisable. Mais elle n est pas optimale, car les coefficients de coût de x 1 et x 2 sont négatifs. On peut donc faire décroître le critère par augmentation d au moins une de ces variables, ce qui correspondra à son entrée en base. 33

34 Iteration (ou Pivot) On fait entrer la variable de plus fort coût positif : x 2, qui devient variable de base. Pour trouver la variable sortante, on compare les coefficients b s a 0 pour toutes les si contraintes s. On choisit s correspondant au minimum de cette quantité, et comme variable sortante la variable de base associée. Ici, c est l équation (2), et la variable x 4. On procède au changement de base directement par substitution dans le tableau simplexe: on élimine la variable entrante, x 2 par combinaison linéaire de l égalité (2) avec toutes les autres egalités, dont le critère. Pour éliminer x 2 dans l égalité (1), on remplace (1) par (1)-(2). Pour éliminer x 2 dans l égalité (c), on remplace (c) par (c)+2 (2). 34

35 Nouveau tableau après substitution de x 2 dans les équations (1) et (c): x 3 x 4 x 1 x 2 z (1) (2) (c) Il suffit de réordonner les variables en permutant x 2 et x 4 pour se ramener au tableau standard, dans lequel B = I. Voici le nouveau tableau simplexe. x 3 x 2 x 1 x 4 z (1) (2) (c) La nouvelle solution de base est: x 3 = 1, x 2 = 1 et z = 2, avec x 1 = x 4 = 0. On fait entrer en base la variable de coût négatif : x 1, qui devient variable de base dans l équation (1), tandis que x 3 sort de la base. 35

36 Nouveau tableau après substitution de x 1 dans l égalité (c): x 3 x 2 x 1 x 4 z (1) (2) (c) On permute les colonnes de x 3 et x 1, ce qui donne : x 1 x 2 x 3 x 4 z (1) (2) (c) Nouvelle solution de base: x 1 = 1, x 2 = 1 et z = 3, avec x 3 = x 4 = 0. Tous les coûts réduits des variables hors-base sont positifs. Cette solution est donc optimale: x 1 = 1, x 2 = 1. 36

37 x x 1 Polyèdre des solutions admissibles et solution optimale 37

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre Recherche opérationnelle Programmation linéaire et recherche opérationnelle Ioan Todinca Ioan.Todinca@univ-orleans.fr tél. 0 38 41 7 93 bureau : en bas à gauche Tentative de définition Ensemble de méthodes

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 2

Programmation Linéaire - Cours 2 Programmation Linéaire - Cours 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Sommaire 1 2 3 Retournons dans le yaourt! Reprenons l exemple du 1er cours Forme normale

Plus en détail

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique F. Clautiaux francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 Motivation et objectif du cours

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Chapitre 1 : Programmation linéaire

Chapitre 1 : Programmation linéaire Graphes et RO TELECOM Nancy 2A Chapitre 1 : Programmation linéaire J.-F. Scheid 1 I. Introduction 1) Modélisation En Recherche Opérationnelle (RO), modéliser un problème consiste à identifier: les variables

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 1

Programmation Linéaire - Cours 1 Programmation Linéaire - Cours 1 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Ouvrages de référence V. Chvátal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983.

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Résolution d un Programme Linéaire Introduction Zoltán Szigeti Ensimag April 4, 2015 Z. Szigeti (Ensimag) RO 1A April 4, 2015 1 / 16 Forme Générale Définition

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

Optimisation en nombres entiers

Optimisation en nombres entiers Optimisation en nombres entiers p. 1/83 Optimisation en nombres entiers Michel Bierlaire michel.bierlaire@epfl.ch EPFL - Laboratoire Transport et Mobilité - ENAC Optimisation en nombres entiers p. 2/83

Plus en détail

Chapitre 6. Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI. 6.1.1 Approximation de la PLI

Chapitre 6. Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI. 6.1.1 Approximation de la PLI Chapitre 6 Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI (P) problème de PL. On restreint les variables à être entières : on a un problème de PLI (ILP en anglais). On restreint certaines variables à

Plus en détail

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE Algorithme du simplexe Phase I 1 Introduction Algorithme du simplexe : Soit x 0 une solution de base admissible Comment déterminer x 0? Comment déterminer

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION Dans les leçons précédentes, nous avons modélisé des problèmes en utilisant des graphes. Nous abordons dans cette leçon un autre type de modélisation.

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

TD 3 : Problème géométrique dual et méthode des moindres carrés

TD 3 : Problème géométrique dual et méthode des moindres carrés Semestre, ENSIIE Optimisation mathématique 4 mars 04 TD 3 : Problème géométrique dual et méthode des moindres carrés lionel.rieg@ensiie.fr Exercice On considère le programme géométrique suivant : min x>0,y>0

Plus en détail

Introduction à la programmation en variables entières Cours 3

Introduction à la programmation en variables entières Cours 3 Introduction à la programmation en variables entières Cours 3 F. Clautiaux francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 272 Sommaire Notion d heuristique Les algorithmes gloutons

Plus en détail

1 Programmation linéaire

1 Programmation linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2012 2013 Master d économie Cours de M. Desgraupes Méthodes Numériques Document 4 : Corrigé des exercices d optimisation linéaire

Plus en détail

Heuristique et métaheuristique. 8. Optimisation combinatoire et métaheuristiques. Optimisation combinatoire. Problème du voyageur de commerce

Heuristique et métaheuristique. 8. Optimisation combinatoire et métaheuristiques. Optimisation combinatoire. Problème du voyageur de commerce Heuristique et métaheuristique IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 8. Optimisation combinatoire et métaheuristiques Un algorithme heuristique permet d identifier au moins une solution réalisable

Plus en détail

Quelques perspectives pour la programmation mathématique en commande robuste

Quelques perspectives pour la programmation mathématique en commande robuste Quelques perspectives pour la programmation mathématique en commande robuste P. Apkarian, D. Arzelier, D. Henrion, D. Peaucelle UPS - CERT - LAAS-CNRS Contexte de la commande robuste 2 Théorie de la complexité

Plus en détail

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité).

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Lycée Jacques Monod février 05 Exercice : Voici les graphiques des questions. et.. A 4 A Graphique Question. Graphique Question..

Plus en détail

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles

Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Cours FPV - Semaine 3 : Recherche d Extrema et Formes Différentielles Frédéric Messine Introduction Dans ce chapitre, nous allons étudier une application de la dérivation des fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Mathématique pour l informatique Examen durée : 3 heures. Question 1. Mettre ce problème en forme standard en introduisant des variables d écarts.

Mathématique pour l informatique Examen durée : 3 heures. Question 1. Mettre ce problème en forme standard en introduisant des variables d écarts. Mathématique pour l informatique Examen durée : 3 heures. Université de Provence Licence Informatique Année 2001-2002 Exercice 1 (Simplexe : 10 points) On donne le problème de programmation linéaire (P)

Plus en détail

Solutions optimales multiples. 3D.1 Unicité de la solution optimale du modèle (FRB)

Solutions optimales multiples. 3D.1 Unicité de la solution optimale du modèle (FRB) 3D Solutions optimales multiples 3D.1 Unicité de la solution optimale du modèle (FRB) Le modèle (FRB) admet une solution optimale unique. En effet (voir page 182), l'algorithme du simplexe se termine par

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Ax = b iff (B + N) x N

Ax = b iff (B + N) x N Chapitre 3 Algorithme du simplexe 3.1 Solution de base admissible P en forme standard. A = (a 1,...,a n ) Hypothèse : n m (plus de variables que d équations) et rg(a)=m (pas d équation inutile). Donc après

Plus en détail

(i) Le nombre de travailleurs commencant leur service est positif ou nul : x i 0 i = 1,...,7

(i) Le nombre de travailleurs commencant leur service est positif ou nul : x i 0 i = 1,...,7 Chapitre 1 Modelisation 11 Exemples de Problèmes 111 La Cafétaria Cafétaria ouverte toute la semaine Statistique sur le personnel requis : Jour Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanche Nombre

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Algorithme du simplexe

Algorithme du simplexe Algorithme du simplexe Une solution à la programmation linéaire Hugues Talbot Laboratoire A2SI 18 mars 2008 Plan Algèbre linéaire Algorithme du simplexe Formulation et forme standard Notations Recherche

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire NICOD JEAN-MARC Master 2 Informatique Université de Franche-Comté UFR des Sciences et Techniques septembre 2008 NICOD JEAN-MARC Rappels sur les graphes 1 / 47 Sommaire 1 Exemple

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Exercices de Programmation Linéaire Modélisation

Exercices de Programmation Linéaire Modélisation Modélisation exercice 1 : On veut préparer 500 litres de punch à partir de cinq boissons A, B, C, D et E. Le punch doit comporter au moins 20% de jus d orange, 10% de jus de pamplemousse et 5% de jus de

Plus en détail

Programmation linéaire. Méthode du simplexe.

Programmation linéaire. Méthode du simplexe. Programmation linéaire. Méthode du simplexe. S. EL BERNOUSSI 25 octobre 2010 Table des matières 1 Introduction. 2 2 Notion de programme linéaire. 2 2.1 Exemple................................ 2 2.2 Forme

Plus en détail

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES O. Lader 2014/2015 Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 1 / 51 Systèmes linéaires Deux exemples de systèmes linéaires à deux équations et deux

Plus en détail

LES ÉTAPES DE L ALGORITHME DU SIMPLEXE

LES ÉTAPES DE L ALGORITHME DU SIMPLEXE LES ÉTAPES DE L ALGORITHME DU SIMPLEXE Sommaire 1. Introduction... 1 2. Variables d écart et d excédent... 2 3. Variables de base et variables hors base... 2 4. Solutions admissibles... 3 5. Résolution

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

La gestion des ventes.

La gestion des ventes. I. La prévision des ventes. A. Principe. La gestion des ventes. Elle consiste à déterminer les ventes futures à la fois en quantité et en valeur en tenant compte des tendances et contraintes imposées à

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Introduction à l optimisation

Introduction à l optimisation Chapitre 1 Introduction à l optimisation 1.1 Problématique 1.1.1 Cadre Un problème d optimisation consiste, étant donnée une fonction f : S R, àtrouver: 1) son minimum v (resp. son maximum) dans S 2) un

Plus en détail

Chapitre 6. Programmation Dynamique. Méthodes P.S.E.P. 6.1 Programmation dynamique. 6.1.1 Exemple introductif

Chapitre 6. Programmation Dynamique. Méthodes P.S.E.P. 6.1 Programmation dynamique. 6.1.1 Exemple introductif Chapitre 6 Programmation Dynamique. Méthodes P.S.E.P. 6.1 Programmation dynamique 6.1.1 Exemple introductif Problème : n matrices M i (m i, m i+1 ) à multiplier en minimisant le nombre de multiplications,

Plus en détail

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe À tout tableau est associée non seulement une base du problème initial (primal) mais également une base du problème dual. Les valeurs des variables

Plus en détail

Introduction à l Optimisation Numérique

Introduction à l Optimisation Numérique DÉPARTEMENT STPI 3ÈME ANNÉE MIC Introduction à l Optimisation Numérique Frédéric de Gournay & Aude Rondepierre Table des matières Introduction 5 Rappels de topologie dans R n 7 0.1 Ouverts et fermés de

Plus en détail

CHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR. A - Propriétés et détermination du choix optimal

CHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR. A - Propriétés et détermination du choix optimal III CHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR A - Propriétés et détermination du choix optimal La demande du consommateur sur la droite de budget Résolution graphique Règle (d or) pour déterminer la demande quand

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Recherche Opérationnelle

Recherche Opérationnelle Chapitre 2 : Programmation linéaire (Introduction) Vendredi 06 Novembre 2015 Sommaire 1 Historique 2 3 4 5 Plan 1 Historique 2 3 4 5 La programmation linéaire est un cadre mathématique général permettant

Plus en détail

www.almohandiss.com Recherche opérationnelle EXERCICES DE Serveur d'exercices 1/16

www.almohandiss.com Recherche opérationnelle EXERCICES DE Serveur d'exercices 1/16 EXERCICES DE RECHERCHE OPERATIONNELLE Serveur d'exercices 1/16 EXERCICE 1. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : Vincent Isoz (isozv@hotmail.com Mots-clés : recherche opérationnelle Enoncé : Supposons qu'une

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Second degré : Résumé de cours et méthodes

Second degré : Résumé de cours et méthodes Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITIN n appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f () = a + b + c (a,b et c réels avec a 0). Remarque : Par abus

Plus en détail

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours MSE3313: Optimisation Stochastiqe Andrew J. Miller Dernière mise au jour: October 19, 2011 Dans ce sujet... 1 Propriétés de la fonction

Plus en détail

MATIÈRE DU COURS D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE

MATIÈRE DU COURS D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE MATIÈRE DU COURS D'ALGÈBRE ET D'ANALYSE Titulaire : A.M. Tilkin 8h/semaine 1) MATIERE DE 4 e ANNEE a) ALGEBRE - Rappels algébriques concernant la résolution d équations et d inéquations (fractionnaires

Plus en détail

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I

ÉLÉMENTS D OPTIMISATION. Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I ÉLÉMENTS D OPTIMISATION Complément au cours et au livre de MTH 1101 - CALCUL I CHARLES AUDET DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL Hiver 2011 1 Introduction

Plus en détail

Programme de Première

Programme de Première BAC TECHNO STAV 66 I. Algèbre Programme de Première Objectif 1 - Effectuer de manière autonome des calculs numériques ou algébriques, résoudre des équations ou inéquations en vue de résoudre des problèmes

Plus en détail

Chapitre 7 : Programmation dynamique

Chapitre 7 : Programmation dynamique Graphes et RO TELECOM Nancy 2A Chapitre 7 : Programmation dynamique J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Introduction et principe d optimalité de Bellman II. Programmation dynamique pour la programmation

Plus en détail

Cours de mathématiques fondamentales 1 année, DUT GEA. Mourad Abouzaïd

Cours de mathématiques fondamentales 1 année, DUT GEA. Mourad Abouzaïd Cours de mathématiques fondamentales 1 année, DUT GEA Mourad Abouzaïd 9 décembre 2008 2 Table des matières Introduction 7 0 Rappels d algèbre élémentaire 9 0.1 Calcul algébrique................................

Plus en détail

M2 MPRO. Optimisation dans les Graphes 2014-2015

M2 MPRO. Optimisation dans les Graphes 2014-2015 M2 MPRO Optimisation dans les Graphes 2014-2015 Programmation linéaire et problèmes d'optimisation dans les graphes 1 Problèmes d'optimisation dans les graphes : quelles méthodes pour les résoudre? Théorie

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

Table des matières I La programmation linéaire en variables continues 1 Présentation 3 1 Les bases de la programmation linéaire 5 1.1 Formulation d'un problème de programmation linéaire........... 5 1.2

Plus en détail

Introduction aux Support Vector Machines (SVM)

Introduction aux Support Vector Machines (SVM) Introduction aux Support Vector Machines (SVM) Olivier Bousquet Centre de Mathématiques Appliquées Ecole Polytechnique, Palaiseau Orsay, 15 Novembre 2001 But de l exposé 2 Présenter les SVM Encourager

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Introduction à l optimisation

Introduction à l optimisation Université du Québec à Montréal Introduction à l optimisation Donnée dans le cadre du cours Microéconomie II ECO2012 Baccalauréat en économique Par Dominique Duchesneau 21 janvier septembre 2008 Ce document

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Optimisation et programmation mathématique. Professeur Michel de Mathelin. Cours intégré : 20 h

Optimisation et programmation mathématique. Professeur Michel de Mathelin. Cours intégré : 20 h Télécom Physique Strasbourg Master IRIV Optimisation et programmation mathématique Professeur Michel de Mathelin Cours intégré : 20 h Programme du cours d optimisation Introduction Chapitre I: Rappels

Plus en détail

Recherche opérationnelle

Recherche opérationnelle Université dulittoral Côte d Opale Master 2 en Sciences Economiques et de Gestion Recherche opérationnelle Daniel DE WOLF Dunkerque, Septembre 2006 Table des matières 1 Laprogrammation linéaire. 7 1.1

Plus en détail

Chapitre 4 : Dualité en programmation linéaire

Chapitre 4 : Dualité en programmation linéaire Graphes et RO TELECOM Nancy 2A Chapitre 4 : Dualité en programmation linéaire J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre 1 Introduction et définitions 2 Propriétés et Théorèmes de dualité 3 Conditions d optimalité

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Préparation à l agrégation 2012/2013. Mots clés : Graphes. Vecteur propre ; matrices stochastiques ; matrices à coefficients positifs.

Préparation à l agrégation 2012/2013. Mots clés : Graphes. Vecteur propre ; matrices stochastiques ; matrices à coefficients positifs. Mots clés : Graphes. Vecteur propre ; matrices stochastiques ; matrices à coefficients positifs. Le jury n exige pas une compréhension exhaustive du texte. Vous êtes laissé(e) libre d organiser votre discussion

Plus en détail

Méthodes avancées en décision

Méthodes avancées en décision Méthodes avancées en décision Support vector machines - Chapitre 2 - Principes MRE et MRS Principe MRE. Il s agit de minimiser la fonctionnelle de risque 1 P e (d) = y d(x;w, b) p(x, y) dxdy. 2 La densité

Plus en détail

Sujet 2 : Programmation linéaire: applications et propriétés

Sujet 2 : Programmation linéaire: applications et propriétés Sujet 2 : Programmation linéaire: applications et propriétés MHT 423 : Modèles et méthodes d optimisation Andrew J. Miller Dernière mise à jour: March 10, 2010 Dans ce sujet... 1 Application : problème

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA COURS OPTIMISATION Cours à l ISFA, en M1SAF Ionel Sorin CIUPERCA 1 Table des matières 1 Introduction 4 1.1 Motivation.................................... 4 1.2 Le problème général d optimisation......................

Plus en détail

Extrema locaux (ou relatifs)

Extrema locaux (ou relatifs) Chapitre 3 Extrema locaux (ou relatifs) 3.0.77 DÉFINITION Soit f : U! R une fonction, U ouvert d un espace vectoriel normé E et a 2 U. On dit que f présente un minimum local (respectivement un maximum

Plus en détail

Restauration d images

Restauration d images Restauration d images Plan Présentation du problème. Premières solutions naïves (moindre carrés, inverse généralisée). Méthodes de régularisation. Panorama des méthodes récentes. Problème général Un système

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

Points fixes de fonctions à domaine fini

Points fixes de fonctions à domaine fini ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION 2013 FILIÈRE MP HORS SPÉCIALITÉ INFO FILIÈRE PC COMPOSITION D INFORMATIQUE

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Enveloppes convexes dans le plan

Enveloppes convexes dans le plan ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION FILIÈRE MP HORS SPÉCIALITÉ INFO FILIÈRE PC COMPOSITION D INFORMATIQUE B (XECLR)

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

Recherche Opérationnelle Mercredi 06 Novembre 2013 - Contrôle Terminal - Session 1

Recherche Opérationnelle Mercredi 06 Novembre 2013 - Contrôle Terminal - Session 1 Master 2 LT, MPM, MIR Pôle Lamartine - ULCO Recherche Opérationnelle Mercredi 06 Novembre 2013 - Contrôle Terminal - Session 1 Durée de l épreuve : 2h00 Documents interdits. Calculatrice autorisée Exercice

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Chapitre 7. Problèmes de flots. 7.1 Exemple. 7.2 Notions de base sur les graphes

Chapitre 7. Problèmes de flots. 7.1 Exemple. 7.2 Notions de base sur les graphes Chapitre 7 Problèmes de flots. 7.1 Exemple. Un réseau electrique est formé de lignes reliant des noeuds (transformateurs, centre de redistributions,...), chaque ligne a une capacité de transport maximale.

Plus en détail

Séance 12: Algorithmes de Support Vector Machines

Séance 12: Algorithmes de Support Vector Machines Séance 12: Algorithmes de Support Vector Machines Laboratoire de Statistique et Probabilités UMR 5583 CNRS-UPS www.lsp.ups-tlse.fr/gadat Douzième partie XII Algorithmes de Support Vector Machines Principe

Plus en détail

2 Ensembles convexes. 2.1 Définition et premières propriétés

2 Ensembles convexes. 2.1 Définition et premières propriétés 2 Ensembles convexes Les chapitres 2 et 3 présentent les éléments d analyse convexe qui nous seront utiles pour étudier les problèmes d optimisation et les algorithmes qui les résolvent. Le chapitre 2

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1. Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1. Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1 Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté.

Plus en détail

PARTIE I MÉTHODES STANDARDS EN OPTIMISATION DÉPARTEMENT GÉNIE MATHÉMATIQUE ET MODÉLISATION 4ÈME ANNÉE, 2012-2013. Aude RONDEPIERRE & Pierre WEISS

PARTIE I MÉTHODES STANDARDS EN OPTIMISATION DÉPARTEMENT GÉNIE MATHÉMATIQUE ET MODÉLISATION 4ÈME ANNÉE, 2012-2013. Aude RONDEPIERRE & Pierre WEISS DÉPARTEMENT GÉNIE MATHÉMATIQUE ET MODÉLISATION 4ÈME ANNÉE, 2012-2013. PARTIE I MÉTHODES STANDARDS EN OPTIMISATION NON LINÉAIRE DÉTERMINISTE Aude RONDEPIERRE & Pierre WEISS Table des matières 1 Introduction

Plus en détail

Partie I Le consommateur et la demande

Partie I Le consommateur et la demande Partie I Le consommateur et la demande Chapitre 1 La fonction d utilité 1 Plan du cours 1. Le consommateur. 2. La notion d utilité. 3. Les courbes d indifférence. 4. L optimum du consommateur. 5. Exercices.

Plus en détail