Contrôle du vendredi 2 juin 2017 (50 min) 1 ère S1. II. (3 points : 1 ) 1 point + 1 point ; 2 ) 1 point) Soit un réel tel que sin.

Transcription

1 ère S Contrôle du vendredi juin 0 (0 min) Prénom : Nom : Note : / 0 II (3 points : ) point + point ; ) point) Soit un réel tel que sin ) Calculer cos et cos 4 I (4 points) Soit x un réel quelconque On pose E cos x cos x sin x sin x cos x sin x Démontrer que E a cos x b sin x où a et b sont deux réels à déterminer ) On précise que ; À l aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie au millième de (un seul résultat, sans égalité) III ( points : point + point) Calculer le cosinus et le sinus de (valeurs exactes)

2 IV (4 points : ) points ; ) points) Pour tout réel x, on pose cos x cos x sin x et cos x 4 ) Démontrer que pour tout réel x on a : cos x sin x ) En déduire que pour tout réel x on a : ) Le cercle de centre passant par I coupe le segment en un point J Soit K le projeté orthogonal de J sur la droite I Démontrer que K a sin a sin V (4 points : ) points ; ) points) Soit C un triangle rectangle en On pose a où a est un réel strictement positif et on note la mesure en radians de l angle C Soit I le projeté orthogonal de sur la droite C ) Exprimer l aire du triangle I en utilisant le cosinus ou le sinus de VI ( points : point + point) On pose I ; On considère l équation cos x 0 et l inéquation cos x 0 En utilisant le cercle trigonométrique, compléter les phrases suivantes : L ensemble des solutions de dans I est L ensemble des solutions de dans I est d inconnue x I VII ( point) Résoudre dans l équation x On attend une rédaction à l aide du symbole d équivalence

3 I Corrigé du contrôle du -6-0 Soit x un réel quelconque On pose E cos x cos x sin x sin x cos x sin x Démontrer que E a cos x b sin x où a et b sont deux réels à déterminer E cos x cos x sin x sin x cos x sin x E cos x sin xcos x sin x cos x sin x E cos x sin x 4sin x cos x E cosx sin x II ) On précise que ; À l aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie au millième de,849 (un seul résultat, sans égalité) La commande cos de la calculatrice mise en mode radians fournit une valeur approchée du réel ; tel que sin On peut écrire rcsin Une figure avec un cercle trigonométrique fait aisément apparaître que Pour cela, on raisonne avec les angles géométriques : OM et OM' En tapant directement l expression sur la calculatrice, on obtient, Soit un réel tel que sin ) Calculer cos et cos 4 ' O cos sin cos cos M ' M' cos 6 cos 6 cos 4 cos cos 4 6 cos 4 8 cos4 8 III Calculer le cosinus et le sinus de (valeurs exactes) cos cos 3 4 cos cos cos sin sin cos 6 cos 4 sin sin 3 4 sin sin cos sin cos sin 3 6 sin 4 On peut vérifier ces valeurs grâce à la calculatrice (modèle TI-83 CE Premium) La troisième ligne dans laquelle on utilise des valeurs remarquables est indispensable

4 IV Pour tout réel x, on pose cos x cos x sin x et cos x 4 ) Démontrer que pour tout réel x on a : cos x sin x x cos x cos xsin x x cos x sin x (formule cos x cos x ) ) En déduire que pour tout réel x on a : x cos x sin x (formule d addition du cosinus) Par conséquent I asin a cos I a sin cos I a sin ) Le cercle de centre passant par I coupe le segment en un point J Soit K le projeté orthogonal de J sur la droite I Démontrer que K a sin a sin C I x cos x sin x x (d après le résultat de la question précédente) K On en déduit que x J V Soit C un triangle rectangle en On pose a où a est un réel strictement positif et on note la mesure en radians de l angle C Soit I le projeté orthogonal de sur la droite C ) Exprimer l aire du triangle I en utilisant le cosinus ou le sinus de On commence par faire une figure (disposition : horizontale, à gauche de, C au-dessus de ) C I Comme K I, on a : K I KI I On a : I a sin (relation trigonométrique dans le triangle I rectangle I : sin qui donne I sin ) On a I a cos Or I et J sont deux rayons du cercle donc J I a cos d où KI J sin a cos sin a sin On en déduit que K a sin a sin VI I I Le triangle I est rectangle en I donc I On a : I asin et I a cos On pose I ; On considère l équation cos x 0 et l inéquation cos x 0 En utilisant le cercle trigonométrique, compléter les phrases suivantes : L ensemble des solutions de L ensemble des solutions de dans I est ; 3 3 dans I est ; ; 3 3 d inconnue x I cos x

5 VII Résoudre dans l équation x On attend une rédaction à l aide du symbole d équivalence On résout dans x x x 3 x ou x 3 Soit S l ensemble de solutions de S 3 3 ;