Modéliser une relation entre deux variables

Transcription

1 Modéliser une relation entre deux variables 2 Mission sur la Lune Au cours d'une mission, un astronaute va devoir effectuer un déplacement en véhicule lunaire. Aide l'astronaute à effectuer ses repérages en traçant, sur la photographie, l'itinéraire le plus court qui lui permette de se rendre du lieu d'alunissage A à sa destination B sans traverser le cratère C. Comment estimer ou calculer les distances? A C 1 Afin d'estimer la durée de sa mission, il faudra d'abord calculer la distance à parcourir pour aller de A à B sans traverser le cratère C? B 2 Pour calculer cette distance, tu dois utiliser l'échelle de la photographie. L'échelle linéaire notée au bas de la photo se lit "deux centimètres pour vingt 20 km 2 cm Photo aérienne de la surface lunaire kilomètres". Cela signifie que 2 cm sur la photo correspondent à une distance de 20 km sur la Lune. 3 A partir de la photographie, estime et note de combien de fois la distance AB en ligne droite est plus grande que le segment de l'échelle linéaire. 4 Calcule et note alors la distance réelle en kilomètres entre A et B à la surface de la Lune. Note le clacul que tu as effectué pour arriver à ce résultat. 5 Une échelle géographique donne un facteur multiplicatif qui permet de déterminer des distances réelles au départ de distances estimées ou mesurées sur une représentation imagée de la réalité (photographie, carte, plan, schéma, etc.) Pour une distance grâce à l'échelle linéaire, pour déterminer la distance de... sur la photo, je peux effectuer l'opération... réelle sur la Lune qui est... 1 cm 1 cm X 20 km 2 cm = 10 km 1 cm X 1 cm = 10 km A partir de la photographie, pour calculer une distance réelle à la surface de la Lune, il convient donc de multiplier la distance correspondante sur la photo par un facteur de 10 km par cm. 1

2 A l'inverse, en représentant une image de la réalité, la photographie divise les distances de la surface lunaire par ce facteur de 10 km ( cm) par cm. L'échelle numérique de cette photographie est donc 1: Utilise une cordelette pour mesurer, sur la photo, la distance à parcourir entre A et B sans traverser le cratère C. Note cette distance en centimètres. 7 Calcule la distance réelle à parcourir, sur la Lune, entre A et B sans traverser le cratère C. Note ton calcul et exprime en kilomètres la distance trouvée. Explorer les relations entre deux variables en effectuant une simulation des variations 1 Le logiciel ModellingSpace (MS) permet de construire des modèles de relations entre entités. A l'aide de ce logiciel, tu peux réaliser différentes représentations visuelles de relations. Nous allons d'abord explorer une représentation qui se fonde sur une simulation des variations. 2 Dans la bibliothèque d'entités abstraites, sélectionne successivement 2 entités et dépose-les sur l'espace de travail central. Nomme la 1ère a et la 2ème, b. Dans la bibliothèque de relation semiqualitatives, sélectionne la première icône. Dépose-là dans l'espace de travail et relie les 2 entités de manière à montrer que b dépend de a et que lorsque a augmente, b augmente aussi. Double clic ici pour modifier le nom de la variable... 3 Déplace le curseur à l'aide de la souris de manière à augmenter la valeur de a jusqu'à 100. Décris de quelle façon se comporte b. 2

3 4 Repositionne le curseur de a sur sa valeur initiale (minimum). Place le curseur de l'icône relation au milieu de sa course. 5 Attribue la valeur 200 comme maximum pour chacune des variables. Double clic ici pour modifier l'intervalle de variation... 6 Déplace à nouveau le curseur des valeurs de a jusqu'à 100. Comment se comporte b? Compare avec les résultats obtenus en 3. Sois précis en gardant à l'esprit le fait que tu ne dois t'intéresser à la relation que pendant la variation de a dans l'intervalle de 0 à 100. Utilise la bouton PAS A PAS (menu de haut de page) pour effectuer la simulation pas à pas jusqu'à Repositionne le curseur de a sur sa valeur initiale (minimum).. Place le curseur de l'icône relation en fin de course. 8 Attribue cette fois la valeur 300 comme maximum pour chacune des variables. Augmente à nouveau les valeurs de a jusqu'à 100. Comment se comporte b? Compare avec les résultats obtenus en 3 et en 6. Sois aussi précis que possible. 3

4 Explorer les relations entre deux variables en utilisant des tableaux de valeurs Regardons comment les choses fonctionnent! Au cours de l'exploration précédente, tu as vu de quelle manière une variable b dépend d'une variable a lorsqu'on utilise la relation Cette relation s'appelle la relation de proportion directe. Elle peut également être décrite à l'aide de tableaux de valeurs. Cas 1. Emploi de la relation Complète les tableaux de valeurs correspondant aux 3 cas (3,6,8) analysés précédemment. a b Cas 2. Emploi de la relation a b Cas 3. Emploi de la relation 100 a b 4

5 Explorer les relations entre deux variables en utilisant un diagramme d'évolution (graphique linéaire) Représentons les mêmes relations de proportion entre a et b, en utilisant un diagramme d'évolution (graphique linéaire, cartésien ou orthogonal). Sur un diagramme d'évolution, une variable est représentée sur l'axe horizontal (axe des abscisses) à une certaine échelle. La seconde variable est représentée sur l'axe vertical (axe des ordonnées) à la même échelle ou à une échelle différente de la première. Par convention, la variable dépendante (b, dans notre cas) est représentée sur l'axe vertical. L'autre variable, la variable indépendante ou variable contrôlée (a dans notre cas) est représentée sur l'axe horizontal. Sur chaque diagramme, l'échelle de l'axe b est-elle la même que celle de l'axe a? Cas 1. Emploi de la relation Complète les diagrammes correspondant aux 3 cas (3,6,8) analysés précédemment. Cas 2. Emploi de la relation Cas 3. Emploi de la relation 5

6 Analyser les échelles sur les graphiques Revois le premier des trois graphiques et recopie-le ci-dessous. L'intervalle de variation de la variable a sur l'axe horizontal s'étend de 0 à 100: chaque graduation principale correspond à 10 unités; chaque graduation secondaire correspond à 1 unité. Quel est l'intervalle de variation de la variable b sur l'axe vertical? Quelle est la valeur de chaque graduation principale sur l'axe vertical? Quelle est la valeur de chaque graduation secondaire sur l'axe vertical? Explicite le raisonnement qui te permet de calculer la valeur de chaque graduation secondaire sur le graphique. 6

7 Réaliser le même graphique à différentes échelles Revois le deuxième cas, celui qui emploie la relation Utilise les données du tableau de cette relation pour compléter autant se faire que peut les 3 graphiques suivants et noter les valeurs des graduations principales et secondaires de l'axe vertical et de l'axe horizontal. Axe vertical Axe horizontal Axe vertical Axe horizontal Axe vertical Axe horizontal 7

8 Tester une relation simple sur la Lune... Applique à présent ce que tu as appris afin d'estimer la durée de la mission de l'astronaute et estimer à tout moment à quel endroit il se trouvera au cours son déplacement. Utilise les deux entités suivantes pour représenter le temps écoulé et la distance parcourue: Pense à la manière dont la distance parcourue dépend du temps écoulé. Utilise des mots simples pour exprimer l'idée que tu te fais de cette relation. Utilise MS pour créer un modèle qui lie ces deux entités à l'aide de la relation. A l'aide de ce modèle, tu devrais être capable de modifier le temps écoulé et de voir comment évolue la distance parcourue. Attention, pense à bien déterminer la variable indépendante (contrôlée) et le variable dépendante avant d'établir la relation. Réalise un croquis de ton modèle ci dessous. Dans le fenêtre ci dessous, construis une table de valeurs avec les données extraites de ton modèle. Discute ce modèle avec tes compagnons de classe... Correspond-t-il à ce que tu attendais ou envisageais? Pourquoi? 8