Une voiture parcourt en 2 heures, 140 km ; en 3 heures, 210 km et en 5 heures, 350 km.

Transcription

1 Calcul es Vitesses Tout objet en mouvement ( voiture, train, piéton, avion, tortue, bille, ) est appelé un mobile. Nous irons qu un mobile a un mouvement uniforme ( ou est animé un mouvement uniforme ) si ce mobile parcourt es istances égales penant es urées égales, c est à ire lorsque la istance parcourue par ce mobile est proportionnelle au temps mis pour parcourir cette istance. Exemple : Une voiture parcourt en 2 heures, 0 km ; en heures, 20 km et en 5 heures, 50 km. Durée ( h ) 2 5 Distance parcourue ( km ) Ce tableau est un tableau e proportionnalité car : = = = Le coefficient e proportionnalité ( 70 ) e ce tableau s appelle la vitesse moyenne e la voiture. Nous irons que la vitesse e la voiture est e 70 km/h ( kilomètres par heure ) Remarque : Sur une route nationale ( vitesse autorisée : 90 km/h ), un automobiliste est surpris au raar à 20 km/h. Lorsque le genarme lui resse le procès-verbal,l automobiliste proteste et affirme «Je roule epuis 2 heures et je n ai parcouru que 60 km. J ai onc parcouru en heure une istance e 80 km et onc ma vitesse n est que e 80 km/h!!! L automobiliste va-t-il être verbalisé? 80 km/ h est la vitesse moyenne e l automobiliste. Mais, ans la réalité, la vitesse varie. L automobiliste freine, accélère, ne roule jamais à une vitesse constante. S il ésire faire le même parcours ( 60 km ) en eux heures, il suffit e rouler constamment à 80 km/h. Lorsque le raar a surpris cet automobiliste, la vitesse était bien e 20 km/h. Le genarme lui ressera un procès-verbal! Ne pas confonre vitesse ( moyenne ) et vitesse instantanée. Il est rare qu un véhicule ait toujours la même vitesse. Une voiture oit émarrer, accélérer, ralentir, réaccélérer, etc. La vitesse réelle est rarement constante. Cette vitesse qui varie à chaque instant s appelle la vitesse instantanée. Nous nous intéresserons non pas à cette vitesse instantanée ifficile à étuier car ifférente à tout moment, mais à une vitesse moyenne qui ne épen que la istance parcourue entre eux instants.

2 Par exemple, si une voiture a parcouru 00 km en eux heures, nous irons que la vitesse moyenne est e 50 km/h. Vitesse moyenne : Reprenons l exemple exposé ci-essus. En appelant la istance parcourue penant une urée égale à t, nous avons le tableau suivant : Durée ( h ) 2 5 t Distance parcourue ( km ) Le coefficient e proportionnalité e ce tableau ( e proportionnalité ) s appelle la vitesse ( moyenne) u mobile. Nous obtenons cette vitesse en effectuant le rapport : t Définition : La vitesse moyenne un mobile parcourant une istance penant un temps t est onnée par la formule : v = t Cette formule peut également s écrire : = v t ou t = Propriété : Lorsque qu un mobile ( animé un mouvement uniforme ) parcourt une istance penant une urée t à la vitesse constante v, nous avons : Remarque : = v t ou v v = ou t La vitesse est onc le quotient une istance ( exprimée généralement en kilomètres ou en mètres ) par une urée ( exprimée généralement en heures ou en secones ). C est pourquoi la vitesse est exprimée en kilomètres par heure ( en abrégé km/h ) ou en mètres par secone ( en abrégé m/s ) ou. t = v ( Cf. cours concernant les puissances ) a - L écriture,égale à a, peut s écrire à l aie une puissance exposant négatif a b b b km En aoptant ce type explication, l unité e vitesse km/h ( ) se note également km.h - et l unité m/s h se note aussi m.s - 90 km/ 90 km.h - et 0 m/s = 0 m.s - Nous isposons e trois formules : La formule v = permettra e calculer la vitesse, connaissant la istance parcourue et la urée t u parcours.

3 Formule la plus connue La formule = v t permettra e calculer la istance parcourue, connaissant la vitesse et la urée u parcours. La formule t = permettra e calculer la urée u parcours, connaissant la istance v parcourue et la vitesse. Changement unités e vitesse : L unité principale e istance étant le mètre et l unité principale e temps étant la secone, l unité e vitesse est le mètre par secone ( m/s ) Exercice : Convertir une vitesse e 0 m/s en km/h Méthoe : Dire que la vitesse un mobile est 0 m/s signifie que : En s, le mobile parcourt 0 m Par suite, puis que nous ésirons savoir quelle est la istance parcourue en h, nous pouvons écrire ( 600 s ) En 600 s, le mobile parcourt 0 x 600, soit m C est à ire : En h, le mobile parcourt m La vitesse u mobile est onc 6000 m/h. Comme nous cherchons une vitesse en km/h, convertissons 6000m en km. Nous avons : En h, le mobile parcourt 6 km La vitesse est onc e 6 km/h En s, le mobile parcourt 0 m En 600 s, le mobile parcourt 0 x 600, soit m En h, le mobile parcourt m En h, le mobile parcourt 6 km La vitesse est onc e 6 km/h Méthoe 2 : Avec un tableau e proportionnalité Nous avons : Durée ( en secones ) Distance parcourue ( en mètres ) 0 La vitesse est 0 m/s soit 0 m en s Il faut préciser les unités. Comme la vitesse est e 0m/s, la urée sera exprimée en secones et la istance en mètres. Comme nous souhaitons convertir la vitesse en km/h, cherchons quelle est la istance parcourue en h. Attention cepenant, nous ne pouvons pas écrire h ans ce tableau. L unité e la urée est la secone. Ecrivons onc 600 ( 600 s ) Durée ( en secones ) 600 Distance parcourue ( en mètres ) 0 x

4 Nous avons onc. x = ( la multiplication est représentée par un point afin éviter toute confusion avec la lettre x ) Par suite x = 6000 ( mètres ) En convertissant les mètres en kilomètres, nous obtenons 6 km. La vitesse est onc 6 km/h Exercice : Convertir une vitesse e 90 km/h en m/s Méthoe : : 600 En h, En h, En s, En s, le mobile parcourt 90 km le mobile parcourt 90 x 000, soit m le mobile parcourt : 600, soit 25 m le mobile parcourt 25 km La vitesse est onc e 25 m/s Changeons abor unité e istance. Nous ésirons une vitesse en m /s secone est 600 fois plus petite qu une heure. Divisons onc par 600 Méthoe 2 : Avec un tableau e proportionnalité Nous avons : Durée ( en secones ) 600 Distance parcourue ( en km ) ( en m ) x Nous ésirons une vitesse en m/s. La istance parcourue peut être exprimé en km ou en m Nous obtenons : 600. x = 90 ( si la istance est exprimée en km ) ou 600. x = ( si la istance est exprimée en mm ) Soit x = ( km ) ou x = ( m ) C est à ire x = 0,025 (km ) ou x = 25 ( m ) Utilisation es formules : Calcul une vitesse : Exemple : Une voiture parcourt 225 km en heures. Quelle est sa vitesse? La vitesse est onc e 25 m/s Vitesse ( moyenne ) e la voiture : 225 v = = = 75 ( km/h ) t Attention aux unités : la istance est exprimée en km, la urée est exprimée en heures, onc la vitesse sera exprimée en km/h

5 Exemple 2 : Une voiture parcourt 76 km en 2h 2 min. Quelle est sa vitesse en km/h? Nous allons appliquer la formule utilisée précéemment. La ifficulté provient e l écriture e la urée, exprimée à l aie e eux unités ( heures et minutes ) Méthoe : Conversion e la urée en minutes : Durée u parcours en minutes : 2 h 2 min = 2 x 60 min + 2 min = 20 min + 2 min = 2 min Vitesse e la voiture : 76 v = = = = = t 2 ( km/min La istance est exprimée en km, la urée est exprimée en minutes, onc la vitesse sera exprimée en km/min. N effectuons pas la ivision et garons le résultat exact sous forme fractionnaire. Vitesse e la voiture ( en km/h ) : ( Conversion km/min en km/h ) ) En min, la voiture parcourt km En heure ( 60 min ),la voiture parcourt : 60 soit = = 80 km La vitesse e la voiture est onc e 80 km/h Méthoe 2 : Conversion e la urée en heures : Durée u parcours en heures : Nous savons qu une heure correspon à 60 min, onc min correspon à 60 heure h 2 min = 2 h h + h + h soit ( l écriture sous forme écimale étant possible ) : 2,2 heures. Vitesse e la voiture : v = = = 76 = = = 6 5 = 80 ( ou v = = = 80 ) t t 2,2 5 La istance est exprimée en km, la urée est exprimée en heures, onc la vitesse sera exprimée en km/h. La vitesse e la voiture est onc e 80 km/h Calcul une istance : Un cycliste roule à la vitesse moyenne e 2 km/h penant h 20 min. Quelle istance a-t-il parcourue? Le problème rencontré ans l exemple précéent se repose. La urée est exprimée à l aie e eux unités ( heures et minutes ). Nous isposons e eux moyens : soit convertir la urée en minutes, soit convertir la urée en heures. Dans cet exemple, nous choisirons la secone méthoe.

6 Durée u parcours en heures : Nous savons qu une heure correspon à 60 min, onc min correspon à 60 heure h 20 min = h + 20 h + h + h + h Attention, il n y a pas écriture écimale e ce résultat. Distance parcourue : = v t = 2 = = = 70 ( km ) La vitesse est exprimée en km/h, la urée est exprimée en heures, onc la istance sera exprimée en km. Le cycliste a parcouru 70 km/h Calcul une urée : Exemple : Un avion vole à une vitesse constante e 900 km/h. Quelle est la urée un voyage e 6000 km? Durée u parcours en heures : t = = = = = h v ( Ne pas effectuer. L écriture écimale e ce résultat n existe pas ). Durée u parcours en heures, minutes et éventuellement secones : Méthoe : ( heure = 60 min ) h + 6 h + h ( 6 est la partie entière e ) h + 6 h + 60 min = 6 h + min = 6 h + 0 min Méthoe 2 : ( heure = 60 min ) min = min = min = 00 min 00 min = 6 60 min + 0 min = 6 h + 0 min Le urée u vol est e 6 h 0 min Vitesse moyenne et moyenne es vitesses : Exemple : Un automobiliste fait un aller-retour entre eux villes istantes e 90 km. A l aller, sa vitesse ( constante ) est e 20 km/h tanis qu au retour, suite à es bouchons, sa vitesse moyenne n est que e 60 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l ensemble u trajet? Si nous calculons la moyenne es vitesses, nous obtenons : = = 90 ( km/h ) 2 2

7 Nous allons constater que la vitesse moyenne e cet automobiliste n est pas 90 km/h, c est à ire que sa vitesse moyenne sur l aller-retour n est pas égale à la moyenne es vitesses! Durée u parcours à l aller: t = = = = = h ( soit 5 min ) ( 60 min = 5 min ) v Durée u parcours au retour : t = = = = = h ( soit h 0 min ) ( 60 min = 90 min ) v Durée totale u parcours ( aller-retour ) : 5 min + h 0 min = h 75 min = h + h + 5 min = 2 h + 5 min ( ou en minutes 5 min + 90 min = 5 min ) L automobiliste a onc parcouru 2 x 90 km, soit 80 km ( aller-retour ) en 2h 5 min. Nous sommes ramenés à un problème étuié précéemment. Vitesse moyenne u trajet aller-retour : Méthoe : v = = = = = km/min t En min, l'automobiliste parcourt km. En h ( 60 min ), l'automobiliste parcourt 60 km, soit 80 km La vitesse moyenne e l aller-retour est onc e 80 km/h ( et non pas e 90 km/h ). Méthoe 2 : h 5 min = 2h h + 2 h + 2 h v = = = 80 = = = 80 km/h t ou v = = = 80 km/h t 2,25 8 h + 9 h ( = 2,25 h ) La vitesse moyenne e l aller-retour est onc e 80 km/h.