On présente souvent les grandeurs proportionnelles dans un tableau de proportionnalité.

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1 3 ème A Fiche D1 - a proportionnalité 1. Rappels : *Exemples de situation de proportionnalité dans la vie courante : 1 ) le prix des fruits au kilo. + on achète de fruits + c est cher. e prix est proportionnel au poids. 2 ) le prix de l essence. + on achète de volume d essence + c est cher. e prix de l essence est proportionnel au volume. * Exemples de situation de non proportionnalité : 1 ) le prix d un pack de coca-cola comme : «6 bouteilles dont 1 gratuite». On paye les 6 bouteilles de coca au prix de 5. e prix n est pas proportionnel au nombre de bouteilles. 2 ) forfait sms : Forfait 100 sms pour 2,50. On paye ce prix que l on envoie 10, 50 ou 100 sms. e prix n est pas proportionnel au nombre de sms envoyés. Définition : Deux grandeurs x et y sont proportionnelles lorsque le quotient y est constant : x Dans ce cas : y est proportionnelle à x. e nombre égal au quotient tel que y = a est le coefficient de proportionnalité. x Remarque : e nombre tel que y = a est aussi tel que : y = a x. x 2. Rappels sur les calculs : On présente souvent les grandeurs proportionnelles dans un tableau de proportionnalité. 1 ) Vérifier que c est bien un tableau de proportionnalité. 1 ère étape : On repère la grandeur (y) qui peut-être proportionnelle à l autre (x). Distance parcourue en km x C est l essence consommée qui proportionnelle à la distance Essence consommée en y parcourue. 2 ème y étape : Pour chaque colonne, on calcule le quotient x. Si ce nombre est constant c est un tableau de proportionnalité, sinon non On calcule : 4 50 = 0,08 /// 6,4 80 = 0,08 /// 9,6 Distance parcourue en km = 0,08 Essence consommée en 4 6,4 9,6 C est bien un tableau de proportionnalité. 2 ) Calculer une quatrième proportionnelle : a) avec le coefficient de proportionnalité. C est la quantité : y x Sur cet exemple, c est 0,08. Distance parcourue en km Essence consommée en 4 6,4 9,6 0,08 0,08 On a donc les formules : essence consommée = distance parcourue 0,08 ou distance parcourue = essence consommée 0,08 Si la distance parcourue est 200 km, alors l essence consommée = 200 0,08 = 16 Si l essence consommée est 15, alors la distance parcourue est = 15 0,08 = 187,5 km.

2 b) Par combinaison multiplicative de colonnes. Méthode : On obtient les valeurs d une colonne, en multipliant par un même nombre les valeurs d une autre colonne. 3 Distance parcourue en km Essence consommée en 4 6,4 9,6 3 Comme 150 = 50 3, On calcule : 4 3 = 12 Donc pour 150 km parcourus, on consomme 12 d essence. c) Par combinaison additive de colonnes. Méthode : On obtient les valeurs d une colonne, en additionnant les valeurs de deux autres colonnes. + = Distance parcourue en km Essence consommée en 4 6,4 + = Comme 130 = , On calcule : 4 + 6,4 = 10,4 Donc pour 130 km parcourus, on consomme 10,4 d essence. 3. e produit en croix. Propriété : 1) Si on est en situation de proportionnalité, alors les produits en croix dans le tableau sont égaux. 2) Réciproquement, si les produits en croix dans un tableau sont égaux, alors on est en situation de proportionnalité. Applications : 1 ) Pour calculer des valeurs Avec l exemple précédent : Distance parcourue en km Essence consommée en x on a alors : 50 x = donc : x = = = 10,4. Donc, pour 130 km parcourus on a consommé 10,4. Distance parcourue en km 50 x Essence consommée en ) Pour reconnaître si c est bien un tableau de proportionnalité. Distance parcourue en km Essence consommée en 4 6,4 9,6 On a : 50 9 = x 4 donc x = 50 9 = 112,5 4 donc, pour 9 d essence consommée, on parcourt 112,5 km. On vérifie les produits en croix : * 50 6,4 = 320 et 80 4 = 320 * 80 9,6 = 768 et 120 6,4 = 768 es produits. en croix sont vérifiés, c est bien un tableau de proportionnalité Remarque : On utilise souvent la méthode du produit en croix : lorsqu on n a pas besoin de connaître le coefficient de proportionnalité ou bien lorsque ce coefficient de proportionnalité n est pas une valeur exacte.

3 4. Représentation graphique : Propriété : 1) Si on représente sur un graphique les points obtenus à partir d un tableau de proportionnalité, alors les points sont alignés sur une droite passant par l origine du repère. 2) Réciproquement, si les points d un graphique sont situés sur une droite passant par l origine du repère, alors le tableau formé par les coordonnées de ces points est un tableau de proportionnalité. Exemples 1) graphique illustrant une situation de proportionnalité ; 2) graphique illustrant une ligne brisée qui passe par zéro non proportionnalité 3) graphique illustrant une droite qui ne passe pas par l origine non proportionnalité. Attention!!! es deux axes doivent être gradués à partir de 0 pour pouvoir utiliser la propriété. Remarque : a lecture graphique ne donne qu un ordre de grandeur. Seul un calcul donne avec certitude la valeur exacte! 5. Applications : 1 ) Pourcentage: a) Interpréter un pourcentage : a ville de yon réalise 11% des exportations françaises Cela veut dire que sur 100 exportations françaises, 11 sont réalisées par la ville de yon. C est une proportion ramenée à 100. b) Appliquer un pourcentage : En 2004, il y avait 61 millions d habitants en France. 25,5% avaient moins de 20 ans. Combien d habitants étaient âgés de moins de 20 ans? D après les données, on obtient un tableau de proportionnalité : Nombre d habitants (en millions) Habitants âgés de moins de 20 ans (en N 25,5 millions) On utilise le produit en croix : N = 61 25,5 = 15, Il y avait donc 15,555 millions d habitants âgés de moins de 20 ans. c) Calculer un pourcentage : En 2004, il y avait en France, 61 millions d habitants dont 31,537 millions de femmes. Quel était le pourcentage de femmes?

4 D après les données, on obtient un tableau de proportionnalité : Nombre d habitants (en millions) Habitants de femmes (en millions) ,537 f On utilise le produit en croix : F = ,537 = 51,7 61 il y avait donc 51,7% de femmes en France en ) Echelle : Propriété : Sur un plan à l échelle, les longueurs sur le plan sont proportionnelles aux longueurs réelles. échelle du plan est le quotient d une longueur sur le plan par la longueur réelle correspondante. Attention! es longueurs doivent être exprimées dans la même unité. a) On représente sur un dessin une longueur réelle de 7,5 m par une longueur de 3 cm. On exprime ces longueurs dans la même unité : 7,5 m = 750 cm. On obtient le tableau de proportionnalité : ongueur sur le plan (en 3 1 cm) ongueur réelle (en cm) 750? On utilise le produit en croix :? = = Ce plan est donc à l échelle de 250. C est-à-dire que 1 cm sur le dessin représente 250 cm en réalité. b) Combien mesure sur ce plan, une longueur de 4,5 m en réalité? on convertit les unités : 4,5 m = 450 cm On obtient le tableau de proportionnalité : ongueur sur le plan (en 1? cm) ongueur réelle (en cm) On utilise le produit en croix :? = = 1,8. Une longueur de 4,5 m en réalité est représentée sur le plan par 1,8 cm. 3 ) Conversions d unités de temps : A SAVOIR : 1 h = 60 min 1 min = 1 60 h 1 h = s 0,1 h = 6 min 0,5 h = 30 min 0,25 h = 15 min 0,75 h = 45 min 1 ) Convertir des heures-minutes en heures décimales. Convertir 2 h 12 min en heures décimales. On va obtenir une conversion du genre : 2 h 12 min = 2,.. h on a besoin de convertir seulement 12 min en h! Méthode 1 avec un tableau de proportionnalité : Durée (en min) Durée (en h) 1? On fait le produit en croix :? = Donc 2 h 12 min = 2,2 h. = 0,2 h Méthode 2 avec les fractions: On sait que : 1 min = 1 60 h Donc 12 min = 12 1 min = h = h = 0,2 h Donc 2 h 12 min = 2,2 h.

5 2 ) Convertir des heures décimales en heures-minutes. Convertir 3,15 h en heures-minutes. On va obtenir une conversion du genre : 3,15 h = 3 h. min on a besoin de convertir seulement les 0,15 h en min! Méthode 1 avec un tableau de Méthode 2 avec les fractions: proportionnalité : On sait que : 1 h = 60 min Durée (en min) 60? Durée (en h) 1 0,15 On fait le produit en croix :? = Donc 3,15 h = 3 h 09 min. 0, = 9 min Donc 0,15 h = 0,15 1 h = 0,15 60 min = 9 min Donc 3,15 h = 3 h 09 min. 4 ) vitesse moyenne: Définition : a vitesse moyenne d un mobile est la vitesse à laquelle il se serait déplacé si sa vitesse avait été constante sur une distance donnée et pendant une durée donnée. a vitesse moyenne v d un mobile se calcule en effectuant le quotient de la distance parcourue d par la durée t nécessaire pour parcourir cette distance : d = v t. Exemples : a. Dire que la vitesse moyenne est de 90 km/h signifie que l on parcourt 90 kilomètres en 1 heure en moyenne. b. Dire que la vitesse moyenne est de 8 m/s signifie que l on parcourt 8 mètres en 1 seconde en moyenne. Méthode pour calculer une vitesse moyenne : Calculer la vitesse d un automobiliste qui parcourt 456 km en 4h et 18 minutes. 1. On exprime la durée à l aide d un nombre décimal On a d = 4h18 minutes. d heure. Il faut convertir les 18 minutes en heure. Heure 1? minute Donc d = 4,3 h? = = 0,3 2. On récapitule les données nécessaires. On a : d= 4,3 h d = 456 km 3. On cite la formule à utiliser. v = d t 4. On remplace par les valeurs et on calcule. v = 456 4, On réponds. a vitesse moyenne est d environ 106 km/h * Changement d unité de vitesse. es unités de vitesse les plus courantes sont : * le km/h (le kilomètre par heure) noté aussi km.h -1 * et le m/s (le mètre par seconde) noté aussi m.s -1. On veut exprimer 54 km/h en m/s. * Dire que la vitesse est 54 km/h c est dire que l on parcourt 54 km en 1 heure. On veut une réponse en m/s * On convertit les km en m : 54 km = m. On convertit 1 h en secondes : 1 h = 3600 s. On a donc : Distance (en m) ? Durée (en s) On calcule :? = = 15. Donc : 54 km/h = 15 m/s 3 600

6 5 ) agrandissement - réduction: Définition : orsqu on a agrandi ou réduit une figure, * les dimensions de la figure obtenue sont proportionnelles à celles de la figure de départ * les mesures d angles sont conservées. Si le coefficient de proportionnalité : * est plus grand que 1, c est un agrandissement. * est plus petit que 1, c est une réduction.

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