CYCLE D ORIENTATION DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALE DÉPARTEMENT DE L INSTRUCTION PUBLIQUE GENÈVE

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1 CYCLE D ORIENTATION DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE MATHÉMATIQUES 8E GÉNÉRALE DÉPARTEMENT DE L INSTRUCTION PUBLIQUE GENÈVE

2 Rédaction: L édition précédente de ce manuel a été rédigée et mise au point par un groupe d enseignant-e-s et de représentant-e-s de bâtiment émanant du groupe de mathématiques du cycle d orientation de Genève. L édition de 996 a bénéficié de la contribution de Monsieur John Steinig, professeur à la section de mathématiques de l Université de Genève et de celle de Madame Sylviane Coquoz, enseignante de mathématiques et représentante de bâtiment. Couverture: Création: Pierre -Yves Jetzer Daniel Menotti Graphisme et mise en pages: Konrad Pfister Coordination de l édition: Gérard Etique Flashage: D. Hiestand Impression: Roto-Sadag, S.A., Genève État de Genève, département de l instruction publique, 996

3 AVANT-PROPOS Ce manuel est destiné aux élèves de niveau B de la section générale, aux élèves de la section pratique, ainsi qu aux élèves de niveau C des collèges à options et à niveaux du cycle d'orientation. Il est conforme au nouveau plan d études des mathématiques adopté par le Conseil de direction en 98. Les caractéristiques essentielles de ce manuel sont les suivantes: Il tient compte des conclusions de CIRCE III ainsi que des recommandations de la Commission genevoise de l'enseignement des mathématiques. Il est essentiellement conçu comme un recueil contenant de nombreux exercices dans lequel chaque enseignant-e effectue un choix en fonction du niveau de ses élèves, ce qui lui permet de différencier, voire d'individualiser son enseignement. La plupart des chapitres comportent quatre parties: un résumé théorique destiné à l'élève qui veut revoir les connaissances indispensables pour résoudre les exercices, des exercices oraux qu'il est possible d'effectuer mentalement, des exercices écrits, des exercices de développement qui dépassent le cadre strict du programme. Les élèves n écrivent pas dans le manuel; ils font leurs exercices dans leur cahier. Le manuel est complété par un cahier de géométrie dans lequel les élèves effectuent des constructions géométriques. La présente édition reprend la théorie figurant dans la version de 8e prégymnasiale. Elle est donc plus complète que la précédente. Elle pourra ainsi, notamment, s avérer utile aux élèves en mesure de rejoindre le niveau gymnasial. Pour faciliter le repérage, un fond ombré signale les éléments de théorie correspondant au plan d études destiné aux élèves de niveau B de la section générale et aux élèves de niveau C des collèges à niveaux et à options. Les exercices ont été revus et adaptés à la nouvelle théorie. C'est un plaisir pour nous de remercier toutes les personnes qui ont élaboré ce manuel: les enseignant-e-s de mathématiques du cycle d orientation qui ont rédigé l édition de 988, Monsieur John Steinig, professeur à la section de mathématiques de l Université de Genève, et Madame Sylviane Coquoz, enseignante et représentante de bâtiment qui ont mis au point cette nouvelle édition. L'enseignant-e saura apprécier les améliorations apportées à cet ouvrage, tout en se rappelant qu'il n'est qu'un outil et qu'il est indispensable de se référer au plan d'études pour y trouver les objectifs à atteindre ainsi que les savoirfaire que les élèves doivent maîtriser. Maurice BETTENS Directeur du service de l'enseignement

4 TABLE DES MATIÈRES LES ENSEMBLES DE NOMBRES LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS PAGE EXERCICES THÉORIE 9 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 7 à 6 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 9 64 à 09 LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS THÉORIE EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 9 0 à 68 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT à 89 LES FRACTIONS. LES NOMBRES RATIONNELS THÉORIE 7 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 0 90 à 49 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 9 40 à 4 ALGÈBRE 4 LE CALCUL LITTÉRAL THÉORIE 7 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 4 4 à 48 LES ÉQUATIONS THÉORIE 7 EXERCICES ORAUX à 496 EXERCICES ÉCRITS à EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 67 4 à

5 PROPORTIONS ET APPLICATIONS 6 LES PROPORTIONS PAGE EXERCICES THÉORIE 7 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 9 6 à LES APPLICATIONS Chapitre de développement THÉORIE EXERCICES ORAUX 689 à 697 EXERCICES ÉCRITS 698 à 709 GÉOMÉTRIE 8 LONGUEURS ET AIRES THÉORIE 4 EXERCICES ORAUX à 74 EXERCICES ÉCRITS 74 à 779 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT à VOLUMES THÉORIE 7 EXERCICES ORAUX à 794 EXERCICES ÉCRITS 9 79 à 868 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 869 à 900

6 Remarque importante Les élèves sont invités à ne porter aucune inscription dans ce livre qui leur est prêté. Les exercices proposés doivent être résolus dans le cahier prévu à cet effet.

7 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS

8

9 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS Dans ce chapitre, nous utiliserons des nombres décimaux positifs. Rappelons de quoi il s agit. Une fraction représente un nombre. On obtient l écriture décimale (c est-à-dire, en base 0) de ce nombre en divisant le numérateur de la fraction par son dénominateur. Selon la fraction, la division finit par s arrêter, ou bien ne s arrête jamais. Comparons par exemple ce qui se passe quand on écrit en base 0 le nombre représenté par la fraction, et celui représenté par la fraction. On trouve 40 4 et 40 = 0,0 4 = 0, Dans le cas de la division ne s arrête jamais. On dit: représente un nombre 4 4 dont l écriture en base 0 est illimitée (on doit l écrire avec une infinité de chiffres après la virgule). Et on dit: représente un nombre qui a une écriture finie en base 0 (on peut l écrire 40 sans utiliser une infinité de chiffres après la virgule). Le nombre représenté par est un nombre décimal; celui que représente n est 40 4 pas un nombre décimal. Un nombre décimal est un nombre qui a une écriture finie en base 0. Exemples Voici quatre nombres décimaux: 7 0 = 0,7 40 = =,7 7 = 0,68 Mais les quatre nombres suivants ne sont pas des nombres décimaux: 08 = 0, 99 =, = 0, = 0,666 Remarque Les entier positifs, et 0, sont des nombres décimaux. MATHÉMATIQUES 8E 9

10 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS THÉORIE Comme dans le manuel de 7e, nous utiliserons les notations: IN = { 0 ; ; ; ; 4 ; ; } (IN est appelé l ensemble des entiers naturels, ou encore l ensemble des nombres naturels.) IN * = { ; ; ; 4 ; ; 6 ; } (IN * est appelé l ensemble des entiers positifs, ou encore l ensemble des nombres naturels positifs.). OPÉRATIONS AVEC LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS. RAPPEL DE 7e: LES QUATRE OPÉRATIONS Ces opérations se nomment l addition, la soustraction, la multiplication et la division. Voici un rappel de vocabulaire, et de quelques propriétés de ces opérations. Dans ce qui suit, les lettres a, b, c désignent des nombres décimaux positifs. L addition L addition est: commutative : a + b = b + a associative : (a + b) + c = a + (b + c) La multiplication La multiplication est: commutative : a b = b a associative : (a b) c = a (b c) La soustraction La soustraction n est ni commutative, ni associative. La division La division n est ni commutative, ni associative. 0 MATHÉMATIQUES 8E

11 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS. LA DISTRIBUTIVITÉ La distributivité est une propriété qui lie l addition et la multiplication. Voici un exemple. On a 4 =. Faisons ce calcul autrement: on peut aussi écrire 4 = 4 ( + 0) = ( + 0) + ( + 0) + ( + 0) + ( + 0) = ( ) + ( ) = = + 40 = On a donc : 4 ( + 0) = On peut donner une illustration géométrique de cet exemple, en calculant de deux manières l aire de ce rectangle: D une part, un calcul direct montre que cette aire est égale à 4 = unités d aire. D autre part, en faisant la somme des aires des deux petits rectangles, on trouve La propriété de distributivité est exprimée par la règle suivante: a (b + c) = a b + a c a (b c) = a b a c Là aussi, on peut donner une illustration géométrique, si a > 0, b > 0 et c > 0 : b c a a b a c b + c MATHÉMATIQUES 8E

12 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS THÉORIE. L EXPONENTIATION Il arrive souvent qu on multiplie un entier plusieurs fois par lui-même. Par exemple, est le produit de 6 facteurs égaux à. La notation "puissance" permet d écrire plus brièvement ce produit: on note qui se lit: ou, plus simplement, = 6 " à la puissance 6 " " puissance 6 ". D une manière générale, pour a > 0 et n entier, n > 0, on note: a a a K a KKKKKK K = an n facteurs On appelle a n la " puissance n-ème de a ". Ce symbole se lit: " a puissance n ". Dans le symbole a n, l entier n s appelle l exposant. Remarques ) Par définition, on écrit: a 0 = si a > 0. ) a = a : on n écrit pas l exposant. ) La puissance ème d un nombre s appelle le carré de ce nombre. Par exemple, = 9 se lit: ou bien " au carré est égal à 9 ", " à la puissance est égal à 9 ". 4) La puissance ème d un nombre s appelle le cube de ce nombre. Par exemple, = 8 se lit: ou bien " au cube est égal à 8 ", " à la puissance est égal à 8 ". ) Le carré a d un nombre a > 0 peut être interprété géométriquement comme l aire d un carré dont le côté est de longueur a. 6) Le cube a d un nombre a > 0 peut être interprété géométriquement comme le volume d un cube dont l arête est de longueur a. MATHÉMATIQUES 8E

13 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS.4 UNE PROPRIÉTE DE L EXPONENTIATION À partir d un exemple, nous allons découvrir une propriété importante de l exponentiation. Calculons le produit. On a: et on voit que = ( ) ( ) = Cet exemple illustre la règle suivante: si a > 0 et si m et n sont des entiers positifs, alors a m a n = a m + n Puissances de dix Les puissances de dix sont très utilisées en sciences (mathématiques, physique, chimie, biologie). Elles servent à exprimer de très grands nombres. L exposant peut être un entier positif, ou 0. Exposant n Écriture avec la notation "puissance" 0 n Écriture en base MATHÉMATIQUES 8E

14 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS THÉORIE. RACINES CARRÉES ET RACINES CUBIQUES Racines carrées Il existe un nombre positif dont le carré est égal à 6. Ce nombre est 4. On peut écrire: si x > 0 et x = 6, alors x = 4. On dit que 4 est la racine carrée de 6, et on écrit: 6 = 4. Plus généralement, la racine carrée d un nombre positif a est le nombre positif x, tel que x = a. Un nombre négatif n a pas de racine carrée. La racine carrée de 0 est 0. Remarque En général, la racine carrée d un nombre positif n est pas un entier. On peut obtenir la racine carrée d un nombre positif à l aide d une calculatrice ou d une table numérique. Il s agit alors généralement d une valeur approximative. Exemple < 7 < 7 =,647 Racines cubiques Il existe un nombre dont le cube est égal à. Ce nombre est. On dit que est la racine cubique de, et on écrit: =. Plus généralement, la racine cubique d un nombre positif b est le nombre x tel que x = b. 4 MATHÉMATIQUES 8E

15 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS.6 L ORDRE DES OPÉRATIONS Règles de calcul ) Dans une suite d opérations sans parenthèses ni crochets, on effectue d abord les calculs de puissances et de racines, ensuite les multiplications et les divisions, enfin, de gauche à droite, les additions et les soustractions. K K := := 4 K + 6: K = 8 + = KKK 8 + = 7 + = 0 ) Lorsqu une suite d opérations comporte des parenthèses (ou des crochets), on commence par effectuer les opérations entre parenthèses (ou crochets), en observant les règles (). 4 + ( + K ) 6 = 4 + ( + KKK K ) 6 = = KK K KK = ) Lorsqu une division est indiquée par une barre de fraction, on calcule séparément ce qui est au-dessus de la barre (le numérateur) et ce qui est au-dessous (le dénominateur), en observant les règles () et (). Ensuite, on effectue la division. En résumé: = = = =, On commence par calculer le contenu des parenthèses, le numérateur et le dénominateur des fractions. Dans les parenthèses, ou en l absence de parenthèses, on calcule d abord les puissances et les racines; ensuite les multiplications et les divisions; enfin, de gauche à droite, les additions et les soustractions. MATHÉMATIQUES 8E

16 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS Calculer les sommes suivantes en utilisant les propriétés de l'addition : ) ) ) ) ) ) Calculer les sommes suivantes en utilisant les propriétés de l'addition : ) ) ) ) ) ) Calculer les sommes suivantes en utilisant les propriétés de l'addition : ) ) ) ) ) ) Calculer oralement : ) ) ) ) ) ) Calculer oralement : ) ) ) ) ) ) Calculer oralement : ) ) ) ) 7 6 ) ) Calculer les produits suivants en utilisant les propriétés de la multiplication : ) 4 ) 7 ) 9 0 ) 6 4) 6 0 6) 8 MATHÉMATIQUES 8E 7

17 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 8 Calculer les produits suivants en utilisant les propriétés de la multiplication : ) 4 ) 4 6 ) 7 0 ) 6 4) ) Effectuer les multiplications suivantes : ) 0,0 000 ) 600 0, ) 0 4 ) 0, 0 4) 0,04 0, 6) 0 0,4 0 0 Calculer les produits suivants : ) 0, , ) 0, ) 800 0,0 60 ) 0, ) 0,4 0,7 0, 6) 0, ,000 Calculer les sommes suivantes : ), +, ),7 +,9 + 0 ) 4,7 + 8, 4) 0,8 +,4 + 0 Calculer les sommes suivantes : ) 4,8 +, ) 4, + 9, + 0 ) 69, + 4, 4) 0,4 +,8 + 0 Calculer les sommes suivantes : ) 4,8 + 4,7 ) 0,7 + 0, ,09 ) 0,87 + 0,07 4) 0, ,004 4 Calculer les sommes suivantes : ) 4, + 9 +,8 ) 0,6 + 0, ,04 ) 0,49 + 0,74 4) 0, ,00 Effectuer les soustractions suivantes : ),6 8, ) 6,9 47,4 ) 6,7 8,6 4) 7,4 48, 6 Effectuer les soustractions suivantes : ) 7,4 8,8 ) 47, 8,484 ) 44,6 9,4 4) 76,6 7,48 8 MATHÉMATIQUES 8E

18 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 7 Calculer les produits suivants : ),8 4 ), 4,7 ),9 7 7) 7,,4 ) 47, 4),4,4 6) 4 4,8 8),77,9 8 Calculer les produits suivants : ) 4,6,4 ) 4,07,08 ),,7 7),08 7,04 ) 8,7 6,4 4),0 7,08 6), 6,4 8) 9,0 6,04 9 Faire les divisions suivantes (donner la réponse avec décimales) : ) 7 :,6 ) 4 : 8,7 ) 4 :, 4) 8 :,4 0 Faire les divisions suivantes (donner la réponse avec décimales) : ) 84 :, ) : 7, ) 60 :,7 4) 7 :,6 Faire les divisions euclidiennes suivantes (avec un quotient entier, et un reste) : ) 47 : 8 ) 496 : 7 ) 647 : 6 4) 4009 : 8 Faire les divisions euclidiennes suivantes (avec un quotient entier, et un reste) : ) 48 : 8 ) 46 : 9 ) 88 : 7 4) 008 : 6 Faire les divisions suivantes (donner la réponse avec décimales) : ) 4 : 7, ) 9 :, ) 4 :, 4) 6 :, 4 Faire les divisions suivantes (donner la réponse avec décimales) : ) 7 :,9 ) : 4,47 ) 8 :, 4) 9 : 4,4 Effectuer les calculs suivants : ) ) ) 7 + : 7) 8 + : 4 : ) ) ) 8 6 : ) ) : MATHÉMATIQUES 8E 9

19 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 6 Calculer : ), 4 + 6) 0, 0, + 0, 0,4 ) 0, + 0, 7 7) 600 : ) , 0 8) 0, 0, + 0, 0, 4) ) 600 : 0 ) : 7 Effectuer les calculs suivants : ) 8 + 0,7 6) 4 : 9 8 ) 9 + : 4 7) 8 + : + ) 4 4 8) : 4),4 4 0, 9) ) (0,8 + 0,) 7 8 Calculer : ) (4 + ) 4) (4 4 ) ) 7 ( ) ) (4 : ) ) (4 ) + 8 : 6) ( + 4 ) Effectuer les opérations suivantes : ) (6 + ) (4 + ) 4) (7 ) (6 + 4) ) + ( : + 4) ) 6 (4 + ) 9 9 ) ( + ) ) (8 + 4) (6 8) 0 Calculer : ) 7 (0 4 7) 4) 7 (6 4 ) : ) (6 + 7) 0 ) 7 ( 4 ) + ) ( ) 6) 6 (8 ) + ( 4) À l'aide du croquis ci-dessous, calculer oralement le produit En s'aidant, si nécessaire, de croquis du même type, calculer : ) 6 6 ) 4 47 ) 8 7) 9) 6 6 ) 9 4) 9 6 6) ) 8 7 0) 8 0 MATHÉMATIQUES 8E

20 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS Calculer oralement les produits suivants : ) 7 4) 4 6 7) 6 0) 8 7 ) 6 ) ) 6 7 ) 6 ) 7 8 6) 98 9) 6 ) 4 48 Calculer oralement les produits suivants : ) 6 7 4) ) 69 0) 6 49 ) 6 4 ) ) 7 4 ) 9 7 ) 6) 78 9) 9 6 ) Calculer oralement les produits suivants : ) 9 4) 6 9 7) 6 4 0) 7 79 ) 8 ) 8 8) 9 7 ) 4 44 ) ) 6 9) 6 4 ) 8 7 Calculer les carrés suivants : ) ) 6 ) 7) 9) ) 4) 6) 8) 8 0) 4 6 Calculer les carrés suivants : ) 0 ) ) 40 7), 9),7 ) 0 4), 6) 0,4 8),4 0), 7 Calculer les carrés suivants : ) 6 ) 0,6 ) 7) 4 9), ) 60 4) 4, 6) 0 8) 8 0) 0,6 8 Calculer les cubes suivants : ) ) 4 ) 7) 9 9) 7 ) 8 4) 6 6) 0 8) 0) 9 Calculer les cubes suivants : ) ) 0,4 ), 7) 60 9) 0,7 ), 4) 40 6), 8) 0 0) 4, MATHÉMATIQUES 8E

21 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 40 Calculer les cubes suivants : ) ) 0, ) 6, 7) 70 9) 0,6 ), 4) 0 6), 8) 0 0), 4 Calculer les puissances suivantes : ) 0,7 ), ), 7) 4,7 9), ) 0, 4), 6),7 8), 0) 4 Calculer les puissances suivantes : ) 0 ) 0,4 ) 90 7) 0, 9), ) 0 4), 6) 0 8) 7 0), 4 Calculer les puissances suivantes : ) 0 ) 0,7 ) 60 7),4 9), ) 0 4), 6) 4 8) 9 0), 44 Calculer : ) 0 ) 0 ) ) 0 ) 0 4 4) 6 0 6) 6 0 8) Calculer : ), 0 ) 4,7 0 4 ), 0 7),7 0 4 ) 6, 0 4 4) 6, 0 6) 9, 0 4 8), 0 46 Le grand carré a une aire de 4 cm. Combien mesure son côté? MATHÉMATIQUES 8E

22 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 47 Le grand carré a une aire de 9 cm. Combien mesure son côté? 48 Le grand carré a une aire de 6 cm. Combien mesure son côté? 49 Le grand carré a une aire de cm. Combien mesure son côté? MATHÉMATIQUES 8E

23 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 0 Le grand carré a une aire de 6 cm. Combien mesure son côté? Énumérer tous les nombres entiers dont le carré est compris entre 00 et 00. Énumérer tous les nombres entiers dont le carré est compris entre 600 et 00. Dans chaque ligne, trouver le nombre dont on est parti : ) au carré 900 ) au carré 64 ) au cube 64 4) au cube MATHÉMATIQUES 8E

24 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 4 Dans chaque ligne, trouver le nombre dont on est parti : ) + au carré ) 7 au carré 900 ) au carré + 9 4) au carré 44 Dans chaque ligne, trouver le nombre dont on est parti : ) x au carré 600 ) + au carré 00 ) au carré ) au carré 0,04 ) au carré x 0, 6) x 0 au carré 0, 6 Trouver la valeur que doit avoir x, pour que : ) x = 00 ) x = 4 ) x = ) x = 6 4) x = 8 6) x = 7 MATHÉMATIQUES 8E

25 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 7 Trouver la valeur que doit avoir x, pour que : ) x = 0,0 ) x = 900 ) x = 00 ) x = 0,6 4) x = 0,000 6) x = 0,04 8 Trouver la valeur que doit avoir x, pour que : ) x = ) x = 0, ) x = 8000 ) x = 0,00 4) x = 0,064 6) x = 0,07 9 Trouver la valeur que doit avoir x, pour que : ) x = 64 ) x = ) x = 0,0009 ) x = 64 4) x = ) x = 0, Dans chaque ligne, trouver le nombre dont on est parti : ) x 0 au carré 00 ) au carré 600 ) : 0 au carré 00 4) au carré au carré 8 ) x au carré ) au carré : MATHÉMATIQUES 8E

26 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 6 Dans chaque ligne, trouver le nombre dont on est parti : ) au carré 8 ) + au carré 8 ) au carré : 8 4) 8 au carré 4 ) au carré + 8 6) : au carré 9 6 Calculer les racines carrées suivantes : ) 6 ) 00 ) 9 7) 9) 64 ) 4 4) 6 6) 49 8) 8 0) 44 6 Calculer les racines carrées suivantes : ) 00 ) ) 0,000 7) 600 9) 0,6 ) 4) 0,0 6) 6 8) ) 0,006 MATHÉMATIQUES 8E 7

27 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 64 Calculer les racines carrées suivantes : ) 64 ) 400 ) 8 7) ) ) 0,49 4), 44 6) ) 0,04 0) 0,8 6 Reproduire cette droite graduée dans le cahier. Placer ensuite les nombres suivants sur la droite : ; ; 6 ; 4 ; ; ; ( = carrés) 66 Reproduire cette droite graduée dans le cahier. Placer ensuite les nombres suivants sur la droite : 0, ; 0,49 ; ; 0,0 ; 0, ; 0,09 ; ; 0,. 0 0, 0, 0, 0,4 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 (0, = 4 carrés) 67 Recopier dans le cahier, puis compléter par un des signes < ou > : )... 0 )... ) )... ) ) ) ) MATHÉMATIQUES 8E

28 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 68 Recopier dans le cahier, puis compléter par un des signes < ou > : ) 0,... 0,0 ) 0, , ) 0,... 0, 6) 0,... 0,0 ) 0, ,04 7) 0,0... 0, 4) 0,6... 0, 8) 0,... 0,04 69 Calculer ces racines carrées : ) 6 ) ) 7) 0,000 ) 600 4) 0,6 6) ) Calculer : ) 4 ) 4 00 ) ) 49 0,0 ) 4) 400 6) 600 8) 0,49 7 Calculer ces racines carrées : ) 0,04 ) 900 ) 0,0 7) 00 ) 0,6 4) 0,008 6) ) 0,09 7 Encadrer chacun des nombres suivants par deux entiers successifs : ) 7 ) 0 ) 7 7) 9 ) 0 4) 68 6) 7 8) 908 MATHÉMATIQUES 8E 9

29 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 7 Encadrer chacun des nombres suivants au dixième près : ) 0,6 ) 0,47 ) 0,9 7) 0,0 ) 0,08 4) 0,00 6) 0,7 8) 0,8 74 Encadrer chacun des nombres suivants à la dizaine près : ) 700 ) 8000 ) 7 7) 000 ) 70 4) 800 6) 47 8) 4 7 Encadrer chacun des nombres suivants par deux entiers successifs : ) 8 ) ) 48 7) ) 4) 9 6) 0 8) 76 Encadrer chacun des nombres suivants au dixième près : ) 0, ) 0,0 ) 0,4 7) 0,07 ) 0,8 4) 0, 6) 0,4 8) 0, 77 Encadrer chacun des nombres suivants à la dizaine près : ) 47 ) 648 ) 7) 4 ) 47 4) 64 6) 47 8) 7 78 Calculer : ) + 9 ) 7 7 ) 6 ) + 0 4) 6 0 6) MATHÉMATIQUES 8E

30 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 79 Calculer : ) 49 + ) 4 00 ) ( + ) ) + 4) ( + ) 6) + 80 Calculer : ) ) ) ( + ) ) ) + 6) Calculer : ) 0,04 ) 0,6,4 ) 0,4 9 ) 0, 7, 4) 8 0, +, 6) 00 0,7 + 8 L'aire d'un rectangle est de,6 m. Sa largeur mesure 8,9 m. Combien mesure sa longueur? 8 On a vendu 76 livres à 7 fr. pièce. Combien d argent a-t-on encaissé? 84 Un magasin a soldé un lot de 0 pulls à 7,0 fr. pièce. Combien d argent a-t-il encaissé? 8 Un cinéma a vendu 48 billets à fr. chacun. Combien d argent a-t-il encaissé? 86 Combien de disques à 6,90 fr. pièce pourrait-on acheter avec 86 fr.? Combien d argent resterait-il? 87 Combien de litres de lait à, fr. pourrait-on acheter avec 0 fr.? Combien d argent resterait-il? 88 Combien de kilos de pommes à,60 fr. le kg pourrait-on acheter avec 0 fr.? Combien d argent resterait-il? MATHÉMATIQUES 8E

31 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 89 Pierre avait 48 timbres dans sa collection. Il en reçoit encore 78. Combien en a-t-il maintenant? 90 Une corbeille contient des noix. On en mange 48 et il en reste 7. Combien de noix la corbeille contenait-elle? 9 Charles achète un baladeur à 8 fr. et il lui reste 7 fr. Combien d'argent avait-il avant son achat? 9 Albert a 846 fr. et Bernard a 76 fr. de moins qu Albert. Combien d argent a Bernard? Combien d argent ont-ils ensemble? 9 Paul a 4 ans et son père a 9 ans de plus que lui. Quel est l'âge du père? 94 Corinne a déjà lu 7 pages d'un livre et il lui reste 69 pages à lire. Combien de pages aura-t-elle lues lorsqu elle aura terminé le livre? 9 J'ai fait le plein de mon réservoir d'essence en ajoutant, litres. Le réservoir a une contenance de 40 litres. Combien d'essence me restait-il avant de faire le plein? 96 Cinq bornes sont placées le long d'une route, à égale distance les unes des autres. La distance entre deux bornes consécutives est de 46 m. Quelle est la distance qui sépare la première et la dernière borne? (Faire un croquis!) 97 Six bornes sont placées le long d'une route, à égale distance les unes des autres. La distance entre la première et la dernière borne est de 60 m. Quelle est la distance entre deux bornes consécutives? 98 Quel nombre faut-il ajouter à 4 pour obtenir 67? 99 Quel nombre faut-il ajouter à 6 pour obtenir le double de? 00 Quel nombre faut-il soustraire à 68 pour obtenir la moitié de 40? 0 Quel nombre faut-il ajouter au double de 9 pour obtenir 76? 0 Quel nombre faut-il soustraire au double de 4 pour obtenir 48? MATHÉMATIQUES 8E

32 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 0 On a contracté une dette de 600 fr. On a déjà remboursé 70 fr. Combien doit-on encore? 04 J ai,90 fr. Combien me manque-t-il pour acheter m de tissu à 9,0 fr. le mètre? 0 Laurence a 47,70 fr. Combien lui manque-t-il pour acheter trois disques à 7,90 fr. pièce? 06 Joël a 7,0 fr. Combien lui manque-t-il pour acheter un pantalon qui coûte 89,90 fr.? 07 Fatima a 7,90 fr. Combien lui manque-t-il pour acheter un vélomoteur d'occasion qui coûte 40 fr.? 08 Combien faut-il payer pour acheter,6 m d'étoffe à 8 fr. le mètre? 09 Un marchand a acheté 84 m d'étoffe pour 09 fr. Combien lui a coûté le mètre d étoffe? 0 Une personne gagne 60 fr. par mois. Combien gagne-t-elle par année? Combien de mètres de tissu à 6,80 fr. le mètre pourrait-on acheter avec fr.? Combien d argent resterait-il? Un entrepreneur a employé ouvriers pendant jours. Il a payé chacun 6 fr. par jour. Combien a-t-il payé en tout? Une usine liquide paires de chaussures pour 47 fr. Combien coûte une de ces paires de chaussures? 4 On a payé 48 fr. pour 4 chaises. Quel est le prix d'une de ces chaises? Un marchand achète des oeufs pour 86,40 fr. Ces oeufs coûtent,60 fr. la douzaine. Combien d'oeufs a-t-il achetés? 6 Paul achète litres de lait à, fr., carton d'oeufs à,80 fr. et «briques» de jus d'orange à,0 fr. la «brique». Il paie avec un billet de 0 fr. Combien doit-on lui rendre? MATHÉMATIQUES 8E

33 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 7 Annette achète un bloc de feuilles à fr., un paquet de stylos à,80 fr., une gomme à 0,70 fr. et un tube de colle à,60 fr. Elle paie avec un billet de 0 fr. Combien doit-on lui rendre? 8 Madame Dupont achète kg d'oranges à,90 fr. le kg, kg de pommes à,0 fr. le kg, des bananes pour,6 fr., barquettes de fraises à,90 fr. la barquette et un paquet de biscuits à,0 fr. Elle paie avec un billet de 0 fr. Combien doit-on lui rendre? 9 Monsieur Durand achète un filet de pommes de terre à,90 fr., une salade à,0 fr. et poulets. Un des poulets coûte,60 fr., l'autre 0,80 fr. Il paie avec un billet de 00 fr. Combien doit-on lui rendre? 0 Pierre achète un vélomoteur qui coûte 80 fr. Il paie 400 fr. au comptant, et s'engage à payer le reste en 6 versements égaux. Quel sera le montant d'un versement? Une cliente achète un manteau de fourrure qui coûte 4 fr. Elle paie 0 fr. au comptant, et s'engage à payer le reste en 8 versements égaux. Quel sera le montant d'un versement? Alain s'achète une moto qui coûte 84 fr. Il paie 9 fr. au comptant, et s'engage à payer le reste en 6 versements égaux. Quel sera le montant d'un versement? Le produit de deux nombres est 4,6. L un de ces nombres est 6,. Quel est l'autre? 4 On vend 680 bouteilles de vin pour 4 fr. Combien coûte une de ces bouteilles? Un libraire achète 4 livres à 8,0 fr. pièce. À combien s'élève la facture? 6 Un ouvrier gagne,60 fr. de l heure. Combien gagne-t-il en une semaine de 4 heures? 7 Combien de chaises à 7 fr. pièce peut-on acheter avec 000 fr.? 8 J ai payé une facture de 48 fr. avec un billet de 000 fr. Combien doit-on me rendre? 4 MATHÉMATIQUES 8E

34 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 9 Combien faut-il facturer un coupon de tissu de 4 m, si ce tissu coûte 7,8 fr. le mètre? 0 On a tiré 7 litres de vin d'un tonneau qui en contenait 470. Combien de litres de vin reste-t-il dans le tonneau? On vend des billets de théâtre à 8,0 fr. l un. Combien doit-on en vendre pour encaisser au moins 700 fr.? Partager 96 fr. entre deux personnes, de telle sorte que la première ait 8 fr. de plus que la seconde. Partager 8 fr. entre deux personnes, de telle sorte que la seconde ait 84 fr. de moins que la première. 4 Partager 47 fr. entre deux personnes, de telle sorte que la première ait 9 fr. de moins que la seconde. Deux réservoirs contiennent l'un 8 litres et l'autre 7 litres d'eau. Quelle quantité d'eau faut-il transvaser de l'un dans l'autre pour que le second réservoir contienne deux fois ce que contient le premier? 6 Deux réservoirs contiennent l'un 8 litres et l'autre 6 litres d'eau. Quelle quantité d'eau faut-il transvaser de l'un dans l'autre pour que le premier réservoir contienne cinq fois ce que contient le second? 7 Deux réservoirs contiennent l'un 4 litres et l'autre 46 litres d'eau. Quelle quantité d'eau faut-il transvaser de l'un dans l'autre pour que le second contienne quatre fois ce que contient le premier? 8 La somme de deux nombres entiers consécutifs est 77. Quels sont ces nombres? 9 La somme de deux nombres entiers consécutifs est 47. Quels sont ces nombres? 40 Un rectangle a un périmètre de 68 cm. Sa largeur mesure cm de moins que sa longueur. Quelles sont ses dimensions? 4 Un rectangle a un périmètre de 74 cm. Sa longueur est le double de sa largeur. Quelles sont ses dimensions? MATHÉMATIQUES 8E

35 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 4 Le périmètre d'un terrain rectangulaire est de 8 m. Sa longueur mesure m de plus que sa largeur. Quelles sont les dimensions de ce terrain? 4 J'ajoute trois fois le même nombre à 7 et j'obtiens 49. Quel est ce nombre? 44 J'enlève deux fois le même nombre à 79 et j'obtiens. Quel est ce nombre? 4 Je soustrais cinq fois le même nombre de 4 et j'obtiens 78. Quel est ce nombre? 46 Un sac de café valait 04 fr. On en a retiré kg, et il ne vaut plus que 89 fr. Quel est le prix d'un kg de ce café? 47 Une pièce de drap valait 7 fr. On en a vendu 7 m. La pièce qui reste ne vaut plus que 487,0 fr. Quel est le prix d'un mètre de ce drap? 48 Un tonneau de vin valait fr. On en a vendu litres. Le vin qui reste ne vaut plus que 07 fr. Quel est le prix d'un litre de ce vin? 49 Paul a calculé que, s'il travaille 0 heures à 9,0 fr. l'heure durant l'été, il pourra s'acheter le vélomoteur dont il a envie, et il lui restera 04 fr. Combien coûte ce vélomoteur? 0 Un marchand a mélangé kg de café à 6,90 fr. le kg avec 6 kg de café à,0 fr. le kg. Il a vendu le mélange 0 fr. le kg. Quel a été son bénéfice? Un garagiste a acheté une voiture d'occasion pour 0 fr. Il a payé 70 fr. de réparations et 40 fr. d'expertise, puis l a revendue 00 fr. Quel a été son bénéfice? Un marchand vend 7 fr. le mètre, du tissu qu'il a payé fr. le mètre. Il gagne 8 fr. Combien de mètres de tissu a-t-il vendus? En revendant 94 fr. un lot de montres qu'il avait payé 96 fr., un marchand fait un bénéfice de 9 fr. par montre. Combien a-t-il vendu de montres? Combien lui avait coûté une montre? 6 MATHÉMATIQUES 8E

36 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 4 Un épicier a revendu 77,0 fr. un sac de café qu'il avait payé fr. Il a ainsi gagné,0 fr. par kg de café. Combien de kg de café contenait le sac? Quel était le prix de vente d'un kg de ce café? On partage 8 fr. entre trois personnes. La deuxième personne reçoit le double de la première, et la troisième 4 fr. de plus que la deuxième. Quelle est la part de chaque personne? 6 On partage 6 fr. entre trois personnes. La deuxième personne reçoit le double de la part de la première, et la troisième personne reçoit 0 fr. de moins que la deuxième. Quelle est la part de chaque personne? 7 On partage 46 fr. entre trois personnes. La première personne reçoit le double de la part de la deuxième, et la troisième personne autant que les deux autres ensemble. Quelle est la part de chaque personne? 8 La somme de trois nombres entiers consécutifs est 87. Quels sont ces nombres? 9 La somme de trois nombres pairs consécutifs est. Quels sont ces nombres? 60 La somme de trois nombres impairs consécutifs est 87. Quels sont ces nombres? 6 Un épicier achète des paquets de sucre qu'il paie 0,9 fr. le paquet. Il revend chaque paquet,0 fr. et réalise ainsi un bénéfice de 7,0 fr. Combien de paquets de sucre a-t-il vendus? 6 Un marchand achète une pièce de drap qu'il paie,0 fr. le mètre. Il revend le drap 7,90 fr. le mètre et réalise ainsi un bénéfice de,80 fr. Quelle était la longueur de la pièce de drap? 6 Un grossiste achète un lot de fers à repasser qu'il paie 6,40 fr. pièce. Il les revend 9,90 fr. pièce et réalise ainsi un bénéfice de 0 fr. Combien de fers à repasser a-t-il achetés? MATHÉMATIQUES 8E 7

37 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 8 MATHÉMATIQUES 8E

38 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 64 Copier et compléter ces tableaux : +,, + 8, +,7 0,4,9,6 4,,7, 6, 8,7 6 Copier et compléter ces tableaux : 0, , , H : G signifie que l'on divise le nombre du Haut par le nombre de Gauche. Copier et compléter ces tableaux : H: G H H: G 00 H: G 000 G 0, 4 0, 0 67 H G signifie que l'on soustrait le nombre de Gauche du nombre du Haut. Copier et compléter ces tableaux : H G H 68 H G 7 H G 94 G MATHÉMATIQUES 8E 9

39 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 68 H + G signifie que l'on additionne le double du nombre du Haut et le triple du nombre de Gauche. Copier et compléter ces tableaux : H + G H 4 7 H + G 8 H + G 6 G H G + signifie que l'on multiplie le nombre du Haut par le nombre de Gauche, puis qu on ajoute à ce produit. Copier et compléter ces tableaux : H G + H 6 7 H G + 4 H G + 9 G H + G signifie que l'on additionne le nombre du Haut et le triple du nombre de Gauche. Copier et compléter ces tableaux : H + G H 6 H + G H + G 6 G Inventer d autres tableaux à compléter. 40 MATHÉMATIQUES 8E

40 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 7 Pour lire le message caché dans ce tableau, il faut : Effectuer le calcul indiqué dans la case "DÉBUT". Chercher la case dont le premier nombre est égal au résultat trouvé. Inscrire la lettre qui s'y trouve sous le tableau, puis effectuer le calcul. Chercher la case dont le premier nombre est égal au résultat trouvé. Et ainsi de suite. DÉBUT I A R 0 E U 48 : = = = 6 = : 4 = 4 : 6 = S S R D P N 9 = = = = = 6 : 7 = N E L O F R 4 7 = 4 = 4 : = 4 + = 8 9 = 9 = V A P R I A 60 : 0 = : 8 = 6 : = 77 : 7 = + 7 = 0 = U A E T I FIN T 0 : 0 = 7 0 = = 7 = 8 0 = 8 + = I T MATHÉMATIQUES 8E 4

41 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 7 Découvrir le message caché dans le tableau suivant, en utilisant la règle décrite à l exercice 7. DÉBUT 8 = = + 7 = 9 7 = 40 = L A S P 0 4 = 8 9 = 6 = E R T U 4 : = 8 : = 6 = I D S T 0 : = 7 48 = 7 8 = F T E I : = 4 = 6 7 = C T A E 6 8 = 7 = 0 = O F F N 7 : = 9 9 = 6 : = 8 7 = O R O S 7 = 4 7 = = = S E C FIN S 8 : = 6 4 = 8 = 4 = L _ S 74 Découvrir le message caché dans le tableau suivant, en utilisant la règle décrite à l exercice 7. DÉBUT 80 0,0 = 000 0, = 800 0,0 = 0 00 = 00 0,0 = 0, 00 = L P B L 0, 0, = 4000 = 0,4 000 = R A S N 4 0, = 0,0 = 0, = V T E U 0,0 00 = 0,8 000 = 0, = D S I M 000 0,0 = 0,0 000 = 0 0 = E A E D 8 0,00 = 0,0 = 40 0, = T S I FIN E 0 0,00 = 400 = 000 0,00 = L E 4 MATHÉMATIQUES 8E

42 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 7 On introduit le nombre dans cet organigramme. Quel nombre obtient-on à la sortie? non ENTRÉE + 9 multiple de? SORTIE oui oui oui + non nombre pair? + multiple de 7? non 76 On introduit le nombre 7 dans cet organigramme. Quel nombre obtient-on à la sortie? ENTRÉE x plus grand que 8? oui 4 non non nombre pair? + 4 : 7 oui multiple de 7? non oui SORTIE 77 On introduit le nombre 7 dans cet organigramme. Quel nombre obtient-on à la sortie? non ENTRÉE x + 7 multiple de? oui + 9 non multiple de? + 79 : oui x multiple de 4? oui : SORTIE non MATHÉMATIQUES 8E 4

43 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 78 Quel nombre entier faut-il introduire dans l'organigramme suivant pour obtenir 9 à la sortie? ( solutions) ENTRÉE +4 multiple de? oui : 8 SORTIE non 79 Quel nombre entier faut-il introduire dans l'organigramme suivant pour obtenir 4 à la sortie? (7 solutions) ENTRÉE 8 multiple de 7? oui : 7 + SORTIE non 80 Quel nombre entier faut-il introduire dans l'organigramme suivant pour obtenir 4 à la sortie? ( solutions) Pourquoi n'obtiendra-t-on jamais un nombre impair à la sortie? ENTRÉE 7 x multiple de? oui : SORTIE non 8 On introduit un nombre entier positif dans l'organigramme suivant. Quel est le plus petit nombre que l'on peut obtenir à la sortie? non ENTRÉE + 7 multiple de 6? oui + : : 6 oui x nombre pair? + SORTIE non 44 MATHÉMATIQUES 8E

44 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 8 Retrouver le nombre manquant : ) + 6 = 69 4) : 4 + = 6 ) ( + ) 7 = ) (7 + ) = 6 ) 60 : + 4 = 4 8 Retrouver le nombre manquant : ) + = 6 4) : + 4 = 7 ) ( + ) 6 = 4 ) + 7 = 6 ) 7 + = 84 Retrouver le nombre manquant : ) + 6 = 7 4) ( + ) 8 = 7 ) + 4 = ) 6 : = 7 ) = 6 8 Calculer la valeur de a b si ) a = 000 et b = 0,0 4) a =, et b = 0 ) a = 00 et b = 00 ) a = 0,4 et b = 0, ) a = 0,0 et b = 0, (Remarque: a b s écrit souvent ab) 86 Substituer a =, b = 7 et c = dans les expressions suivantes, et calculer : Remarque: ces expressions s écrivent aussi : ) a + c (a + b) a + c (a + b) ) a b c + 9 ab c + 9 ) b ( c b) b (c b) 4) ( c a) ( b + ) (c a) (b + ) 87 Substituer a = 0,, b = 0 et c = 0,0 dans les expressions suivantes, et calculer : ) ab ) (4a + 0c) b ) 0b (c : b + 0,09) ) b + ab 4) b a : c 6) b + b : c c MATHÉMATIQUES 8E 4

45 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 88 Substituer a =, et b = 0,004 dans les expressions suivantes, et calculer : ) a + b ) (a : + 0b) + a ) a : 4 + 0,b ) 0,a b 4) (a 0,) b 6) (a + b) : + 0ab 89 Substituer a =,, b = 0, et c = dans les expressions suivantes, et calculer : ) (a + b) 0c ), (a + b) c ) (7, + b) (ac b) ) 4 (a + b) c 4) c (a b) 6) (4ab,),8 + c 90 G H signifie que l'on élève le nombre de Gauche à une puissance dont l exposant est égal au nombre du Haut. Copier et compléter ces tableaux : G H H G H G H G G + H signifie que l'on calcule le carré du nombre de Gauche, le carré du nombre du Haut, puis que l'on additionne ces deux carrés. Copier et compléter ces tableaux : H G +H 6 8 G +H 7 G +H 6 G G H signifie que l'on multiplie le carré du nombre de Gauche par le nombre du Haut. Copier et compléter ces tableaux : G H H G H G H 4 0 G MATHÉMATIQUES 8E

46 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 9 G + H signifie que l'on additionne le nombre de Gauche et le carré du nombre du Haut. Copier et compléter ces tableaux : H G + H 7 G + H 0 G + H 8 G Calculer la valeur de l expression a + a b si ) a = 9 et b = 6 ) a = 4 et b = 49 ) a = et b = 64 9 Calculer la valeur de l expression 9a + a si ) a = ) a = ) a = 96 Calculer la valeur de l expression x 4x si ) x = 4 ) x = 0, ) x = 0, 97 Combien y a-t-il de points en tout sur les 8 pièces d un jeu de dominos? 98 Un calendrier est formé de deux cubes qui permettent de composer tous les nombres 0, 0, 0,... jusqu'à. Quels sont les chiffres inscrits sur les faces cachées des cubes? MAI Comment peut-on placer des signes "+" entre les chiffres pour que la somme obtenue soit 99? MATHÉMATIQUES 8E 47

47 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 00 Comment placer une et une seule fois chacun des chiffres de 0 jusqu'à 9 dans les disques, de telle sorte que les quatre nombres qu on peut lire horizontalement soient des carrés parfaits? Note: Il y a plusieurs solutions! 0 a) Remplacer chaque lettre par un nombre, de telle sorte que les égalités suivantes soient vraies : ) + ( + R) 6 = ) (7 : S + 7) : = 6 ) [4 + ( + A) + ] 4 = 4) (V 7) = ) [ (I 6) + 4] = 0 6) (0 N + ) + 0 = 04 7) (7 L ) + = 8) ( E) + 8 = 9) (7 + T) 4 (6 ) + 4 = 79 0) (C + ) 6 = 8 b) Remplacer chaque chiffre par la lettre qui lui correspond pour déchiffrer le message : , Chaque case blanche doit contenir un chiffre : Horizontalement : Verticalement : a) 7 + d) Quadruple de 4 b) ( + ) e) Multiple à la fois de, de et de 9 c) Carré de a) f) Double de a b c d e f 48 MATHÉMATIQUES 8E

48 EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT. LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS 0 Chaque case blanche doit contenir un chiffre : Horizontalement : Verticalement : a) Nombre premier ** d) (0 ) 8 Multiple de b) Carré d un nombre pair e) Multiple de c) Carré de b) f) Carré d un nombre impair ** Multiple de a b c d e f 04 Chaque case blanche doit contenir un chiffre : Horizontalement : Verticalement : a) Diviseur de d) Nombre f) multiplié par 7 b) La somme des deux e) Quadruple de a) premiers chiffres est égale au troisième chiffre c) Double de b) f) Carré de a) a b c d e f 0 Chaque case blanche doit contenir un chiffre : Horizontalement : Verticalement : a) Cube e) Cube b) Nombre premier f) ( ) : + c) La somme de ses g) Nombre pair ** chiffres vaut 7 ( ) 7 d) Carré ** h) Nombre impair ** Multiple de Carré a b c d e f g h MATHÉMATIQUES 8E 49

49 . LES NOMBRES DÉCIMAUX POSITIFS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 06 Chaque case blanche doit contenir un chiffre : Horizontalement : Verticalement : a) Cube de f) d) Tiers de e) b) Multiple de 7 e) Carré de a) c) La somme de ses f) Nombre premier chiffres vaut a b c d e f 07 Chaque case blanche doit contenir un chiffre : Horizontalement : Verticalement : a) Pas de définition d) Sept fois e) b) Carré diminué de e) Cube de a) c) Le produit des deux f) Moitié de a) derniers chiffres donne le premier chiffre a b c d e f 08 Chaque case blanche doit contenir un chiffre : Horizontalement : Verticalement : a) Multiple de 7 d) La somme de ses chiffres est b) Un de plus que a) e) Est formé de trois chiffres consécutifs c) Le carré du carré de f) Multiple de ce nombre est égal à la somme des carrés de a) et de b) a b c d e f 09 Chaque case blanche doit contenir un chiffre : Horizontalement : Verticalement : a) Carré impair d) Moitié du cube de f) b) Cube diminué de 88 e) Carré de f) c) Carré augmenté de f) Trouvez-moi! a b c d e f 0 MATHÉMATIQUES 8E

50 LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS

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52 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS Dans ce chapitre nous utiliserons des nombres décimaux relatifs. Un nombre décimal relatif est un nombre décimal positif (ou 0), précédé d un signe ( + ou ). Voici quelques exemples de nombres décimaux relatifs:, ; + ; +0,007 ; 79 ; 0 ; 0, (Le 0 s écrit sans signe. On omet souvent d écrire le signe + devant un nombre positif.). RAPPELS DE 7e a) La droite numérique Avec les nombres relatifs, on peut graduer une droite de part et d autre de ( ) ( 4) ( ) ( ) ( ) (+) (+) (+) (+4) (+)... Par convention, on dira que le plus petit de deux nombres relatifs est celui qui est placé le plus à gauche sur la droite numérique horizontale. On utilisera les symboles < et > comme pour les nombres décimaux positifs. Exemples < 7 ; < 0 ; < ;, < ; 0 <, 7 > ; 0 > ; > ; >, ; > 0. MATHÉMATIQUES 8E

53 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS THÉORIE b) Nombres opposés 0 ( 6) ( 4) (,) (+,) (+4) (+6) Deux nombres situés sur la droite numérique, de part et d autre de 0 et à la même distance de 0, sont dits nombres opposés. L opposé du nombre n se note: n Exemples L opposé de 0 est 0. L'opposé de 6 est +6. On écrit: ( 6) = +6. L'opposé de +4 est 4. On écrit: (+4) = 4. L opposé de +, est,. On écrit: (+,) =,. c) La valeur absolue d un nombre relatif La valeur absolue d un nombre relatif est sa distance au zéro sur la droite numérique. Notation: la valeur absolue du nombre a s écrit Exemples a et se lit "valeur absolue de a". 6 = 6 ; 0, = 0, ; 0 = 0 ; +0,007 = 0,007 4 MATHÉMATIQUES 8E

54 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS. OPÉRATIONS AVEC LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS. RAPPEL DE 7e: ADDITION ET SOUSTRACTION DE NOMBRES RELATIFS On a appris en 7e comment additionner deux nombres relatifs, et comment soustraire un nombre relatif d un autre. Rappelons brièvement comment on procède, et les propriétés principales de ces deux opérations. L addition ) Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs valeurs absolues, puis on prend le même signe que celui des deux nombres. Par exemple, (+4,) + (+,) = +,7 ; (,) + ( 7,) =,4 ) Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, puis on prend le signe de celui des deux nombres qui a la plus grande valeur absolue. Par exemple, Propriétés (+) + ( 8) = ; (+,7) + (,) = +, La somme d un nombre relatif et de son opposé est égale à 0. Par exemple, (+) + ( ) = 0 ; (,) + (+,) = 0 L addition de nombres relatifs est: commutative: a + b = b + a associative: a + (b + c) = (a + b) + c La soustraction Soustraire un nombre relatif, c est additionner son opposé. Par exemple, (+) (+4) = (+) + ( 4) = ; (,) (,7) = (,) + (+,7) = +0, MATHÉMATIQUES 8E

55 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS THÉORIE Remarques (simplifications d écriture) ) On peut simplifier l écriture d une somme en supprimant les parenthèses, et les signes + qui les séparent. Par exemple, ( ) + (+7) + ( 6) = = ) Dans une suite d additions et de soustractions, on transforme d abord chaque soustraction en addition de l opposé, puis on passe à l écriture simplifiée comme en (). Par exemple, (+7) (+) ( 4) + ( 8) = (+7) + ( ) + (+4) + ( 8) = =. MULTIPLICATION ET DIVISION DE NOMBRES RELATIFS On sait comment multiplier deux nombres positifs, et comment diviser un nombre positif par un autre. Voyons maintenant comment on fait lorsqu il s agit de nombres relatifs. La multiplication Règles de calcul Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif; c est le produit de leurs valeurs absolues. Par exemple, (+) (+7) = + ; ( 4) ( ) = +8 Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif; c est l opposé du produit de leurs valeurs absolues. Par exemple, (+8,6) ( ) =,8 ; (,) (+4) = 0 La règle des signes de la multiplication est parfois énoncée de la manière suivante: + fois + donne + fois donne + + fois donne fois + donne 6 MATHÉMATIQUES 8E

56 THÉORIE. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS Propriétés La multiplication de nombres relatifs est: commutative: a b = b a associative: (a b) c = a (b c) La distributivité lie la multiplication et l addition: a (b + c) = a b + a c La division Pour diviser un nombre relatif par un autre, on divise les valeurs absolues puis on applique une règle des signes semblable à celle de la multiplication: + divisé par + donne + (+) : (+) = +7 divisé par donne + (,8) : ( ) = + 8,6 divisé par + donne ( 0) : (+4) =, + divisé par donne (+8) : ( ) = 4. L EXPONENTIATION DE NOMBRES RELATIFS L exponentiation de nombres relatifs se définit comme pour les nombres positifs: pour n entier, n > 0, on note a a a K a KKKKKK K = an n facteurs Le calcul se fait en appliquant la règle des signes de la multiplication. Par exemple, Propriété (+) = (+) (+) (+) = +8 ; ( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 Comme pour les nombres positifs, si a est un nombre relatif et si m et n sont des entiers positifs, alors a m a n = a m + n MATHÉMATIQUES 8E 7

57 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS THÉORIE Règle pratique une puissance d un nombre positif est positive une puissance d un nombre négatif est positive, si l' exposant est pair négative, si l' exposant est impair En résumé, cette règle s écrit: si a > 0, alors a n > 0 si a < 0, alors a n > 0 si n est pair a n < 0 si n est impair Exemples (+) = + et (+) = + ( ) = + et ( ) = 8 MATHÉMATIQUES 8E

58 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 0 Pour chaque point placé sur la droite numérique, indiquer le nombre relatif correspondant : F A C E B D G Pour chaque point placé sur la droite numérique, indiquer le nombre relatif correspondant : G D A B E C F Pour chaque point placé sur la droite numérique, indiquer le nombre relatif correspondant : G C B F A D E Dessiner une droite numérique (entre 0 et +0), et y placer le plus précisément possible les nombres suivants : 4 ; + ; +8 ; 6 ; ; +, ; 0, ;, ( = un carré) 4 Dessiner une droite numérique (entre, et +,), et y placer le plus précisément possible les nombres suivants : 0,7 ; +, ;, ; +0,4 ; 0,4 ;, ; +,4 ( = 0 carrés) MATHÉMATIQUES 8E 9

59 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS Dessiner une droite numérique (entre - et +), et y placer le plus précisément possible les nombres suivants : 8 ; + ;, ; +4, ; 0, ; ; 8, ; ( = un carré) 6 Calculer l'opposé de chacun de ces nombres : ) 7 ) 6 ) +, 7), 9), ),4 ) +9 4) 4 6) 0 8) +,4 0) +, ) 6,48 7 Donner la valeur absolue de chacun de ces nombres : ) 7 ) 6 ) +, 7), 9), ),4 ) +9 4) 4 6) 0 8) +,4 0) +, ) 6,48 8 Quel est l'opposé et quelle est la valeur absolue de chacun des nombres suivants? ) ) +4, ) +48 7) 0 9) +6, ) +7 ), 4) 7 6) +, 8),7 0) 6,6 ) 0 9 Quel est l'opposé et quelle est la valeur absolue de chacun des nombres suivants? ) 4 ),8 ) 6 7) +4 9) +,4 ) +7, ) + 4) +0, 6) 8 8) 0) 9, ) 0 0 Calculer : ) (+4) + ( 7) 4) ( 4) + ( 8) 7) ( ) + (+6) ) ( ) + (+) ) ( 7) + ( ) 8) ( ) + ( ) ) (+6) + (+) 6) (+) + ( 4) 9) ( 6) + (+) Calculer : ) ( 6) (+) 4) (+) (+) 7) (+4) ( 6) ) (+4) ( 8) ) (+48) ( 48) 8) ( 8) (+6) ) ( 7) ( 6) 6) ( 7) (+) 9) (+) ( 8) Calculer : ) (+7) + ( ) 4) ( 6) + ( 4) 7) ( ) ( 6) ) ( ) ( 4) ) ( ) (+7) 8) ( 6) (+4) ) (+8) + ( 6) 6) (+8) ( 4) 9) (+) + ( ) 60 MATHÉMATIQUES 8E

60 EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS. LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS Calculer : ) (,) + ( 4,) + (,7) + ( 6,) ) (+,7) + (,8) + ( ) + (,) ) (+4) + ( 6) + ( 7) + (+6) 4) (+7) + ( 6) + (+4) + ( 7) ) (,) + (+48) + ( 6,9) + (+4,) 6) (+,) + ( 6,7) + ( 7,6) + (,) 4 Calculer : ) (+,7) + (,4) + (,6) + ( 6,) ) ( 4,7) + (+,8) + (,8) + (,7) ) (+8) + (+) + ( 9) + (+) 4) (+4) + ( 6) + ( 7) + ( 4) ) ( 47) + (+6) + ( 7,) + (,7) 6) (+8) + (,) + (+4,7) + (+7,) Calculer : ) (,) (+,4) + (,) + (+4,7) (,) ) ( 7) + (+) + ( 4) + (+7) (+9) ) (+) (+) + ( 4) (+6) ( ) 4) ( 7) + ( ) (+4) + ( 4) ) ( ) (+) + ( 4) ( 4) 6) (+0,) + ( 0,) + (+0,) (,) (+0,7) 6 Calculer : ) (,) + (+,7) + (,8) (+4,) + (+,) ) ( 7) (+) + ( 4) ( ) + (+4) ) (+0,) (+,) (,) + ( 0,6) (+,) 4) ( 6,) (+6) + (,8) ( ) + ( 7) ) ( 0,) (+0,7) + (+,) ( 0,) (,) 6) (,) (+,) + ( 6,) ( 7) + ( 4) 7 Calculer : ) ) ) ) ) ) ) ) MATHÉMATIQUES 8E 6

61 . LES NOMBRES DÉCIMAUX RELATIFS EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 8 Calculer : ) ) ) ) ) ) ) ) Calculer : ) ) ) ) ) ) ) ) Simplifier l'écriture, puis calculer : ) (+) + ( 6) (+4) + ( 7) ( 6) + ( ) ) (+) + ( ) ( ) + ( 4) (+6) + ( ) ) ( ) + (+7) + ( ) ( 4) + (+) ( 7) 4) ( 6) + ( ) (+) + ( 4) ( ) (+) ) (+4) + ( ) (+4) + ( 6) ( ) + (+) 6) (+) + ( ) (+4) + ( 6) ( 7) (+4) Simplifier l'écriture, puis calculer : ) ( 0,) + (+,) (+4,) ) (+6,) (,4) + (,7) ) (+) ( 6) + ( 4) ( 7) 4) (+) ( ) + ( 0) (+) ) ( 7) (+4) + ( ) ( 4) 6) ( 0,) + ( 4,6) + (+,7) Simplifier l'écriture, puis calculer : ) ( 4,) + (,6) (,) (+8,7) ) (+8) + ( ) (+4) + (+7) ( 8) ) ( 0,) + ( 0,4) (+0,7) ( 0,6) (,) 4) (+6,) + (,) (+6,) (+,8) + (+7,) ) ( 8) + (+) + ( ) (+) + ( 48) (+6) 6) (+) + ( ) ( 7) + ( ) ( 7) + ( ) 6 MATHÉMATIQUES 8E

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