CAHIER D'EXAMEN. Matricule CONTRÔLE PÉRIODIQUE 1 ÉCOLE POLYTECHNIQUE MONTRÉAL. sans.r.o..n.l.e.r.e.~ Q /1,5. No du cours: MTH2302D.

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1 CAHIER D'EXAMEN Matricule r---- ÉCOLE POLYTECHNIQUE MONTRÉAL Le _ ~~~-ifiii.~~~~"''''' _ genje!', sans.r.o..n.l.e.r.e.~ CONTRÔLE PÉRIODIQUE 1 No du cours: MTH2302D Titre du cours: Probabilités et statistique Section:~ Réservé Q /1,5 \ /1,5 3. 'J c: /1,5 4. \ /1, " t\ /1,5 0...$" / 1,5 U C /1,5 /.». t:; Total: 'i,-'/10 --.l Le plagiat, la participation au plagiat, la tentative de plagiat entraînent automatiquement l'attribution de la note F dans tous les suivis par l'étudiant durant le trimestre. L'École est libre d"./ ser toute autre

2 MTH2302D Contrôle périodique no 1 Hiver 2011 Question n" 1 La probabilité qu'un certain logiciel mathématique comporte exactement k bogues est donnée par (1/2)k+l, pour k = 0,1,... De plus, la probabilité litf. que ce logiciel puisse effectuer une certaine tâche, étant donné qu'il comporte Tf!:'" exactement k bogues, est donnée par (2/3 ).k, pour k = 0, 1,... (a) Quelle est la probabilité Pl que le logiciel considéré effectue la tâche en question correctement? (b) Sachant que le logiciel a réussi à effectuer la tâche correctement, est la probabilité P2 qu'il comporte exactement deux bogues? ~ A ~ ~0{11Mre R [Ar] -:::(.J/j) K quelle ~~ e~~~~ b)?l f) 1

3 MTH2302D - Contrôle périodique no 1 - Hiver Question n" 1 (suite) BK: K ba~~ A., taé~1e COf{eL~ J -= ~ J-~,. Réponse: (a)pl=ë~ (b)p2= ~r

4 MTH2302D - Contrôle périodique no 1 - Hiver " Question n? 2 Un groupe d'étudiants est constitué de 30 étudiants en génie industriel, 15 étudiants en génie informatique et 5 étudiants en génie logiciel. Deux étudiants sont pris au hasard et sans remise parmi ceux de ce groupe. Quelle est la probabilité qu'ils proviennent (a) de génie industriel? (b) de deux départements différents? ékdicmj \ \ J r: r. hi(;'~ th!7>11t-tj';rve Ç[}~~ PLA] ~ ~Sô P[IbJ :::.5/~(J f/j;ij~!i 'PCc] :: 1')/J;tJ 41 (J[4-1. PLA 'J = 3- X 2q - 5.1Cl ciitk'ttjrl ~ J- PL ~ ~. h) P [}j)(] - ~[~] (o"j- ~[C]PJj~ \

5 MTH2302D Contrôle périodique no 1 - Hiver Question n? 2 (suite) Réponse: (a) gl- /245 J (b) ~ )(~1/4.~

6 MTH2302D Contrôle périodique no 1 Hiver Question n? 3 Une entreprise a acheté un lot de 400 nouveaux écrans pour ses ordinateurs. La personne responsable du contrôle de la qualité décide de procéder. comme suit:. elle prend 20 écra u hasard et sans remise, parmi les 400,./ ~ _ et elle décid~(f'acce~~!.?t. lement si elle ne trouv~s d'uiij - \ Céëfaîïdéfectue parmi' les 20 pris au hasard. Si l'on suppose que le lot cont=i~ ~ al eux écrans défectueux, alors le nombre M d'écrans défectueux dans l'échantillon sans remise de 20 écrans présente' une distribution hypergéométrique de paramètres N = 400, n = 20 et d = 2. Utiliser une distribution de Poisson pour calculer approximativement la probabilité que le lot soit accepté. Indication. Il faut procéder en deux étapes. _ d-ù_ -- 0, 4o~ o: L. 0, \ x;e~0 (20 joim1 P = ~'4I- yr"i~~~ tk A-= n p = ~()x OloaS- - 0)) y/lpdi (011) P [x=-ll+p V [>c=à] - -0, \ ~ o.i - {, \ -0,1 t ~I

7 MTH2302D Contrôle périodique no 1 - Hiver Question n? 4 Soit T la variable aléatoire qui désigne la durée de vie (en années) d'une voiture. Calculer la probabilité que cette voiture dure entre 10 et 11 ans si T présente une distribution (a) N(10,4) (approximativement); (b) G(2,1/5). \ af(l/j))/j ( ~l) ~ 0) T~;V 10 J 4f'-j) a=?. 0-:- Z P[10fT.{ 1\l.- r '.T ~P[ ±( ô~)~j ~ 1> [lit'l J ~LlbL L7{J- j ~)L)(]. - f''xlll) -fx{;o)= }- ~I')-Ü-Fl~ ~ F~L,) - F'j Ll )

8 MTH2302D - Contrôle périodique no 1 - Hiver ~ ci: Q est ion no 4 (suite~. /(3 Il b\ yv c, ( L 1 ~ ') rl rf-i Il -=- P [y ~ J1!(" Px( If')-==- f1} J k!1~ie -D'L~II :-:::: 0,01815 ~ -p 9-1) / =: r." ( ~[Gî( LI ~îl 1\ 1-= ~(ç>o;(~i<ji) 'z. 2.1 /)- - ) -~-'-""_._-~----_._'--'-----'-._.-.--'--._-_._._- -.,. ~_, ~ ~ e _....~--_....--_.. l -"._- _ ~1/5 1. _'Ils' Réponse: (a) Ûl \ q J5 V (Q).. G 1 04ins 1\ --- -=- 0,~4 (. = QI r-14-0,0-5/1 _.? t_ :.' 61 O~~\S

9 MTH2302D - Contrôle périodique no 1 - Hiver Question n? 5 On suppose que le temps (en minutes) ~autes passent sur un certain site Web présente une distribution ~r~ e paramètres J.L = 1. et (j2 = 1/4. Quel est le temps maximal que passent 99 % des internautes sur ce site Web? )( ~ 1 O,S \'(\tu~)~ P [x LX] -:: Or'1tj y ~ LAI( \ \ Y4) <, p [~y1. X J.:::o. q1 1 y 11/»(11 Vtt). \ p (y.(.4>0] :oo."~ ;fi é ~k;- \)-:: 0,11 V2,- /) [?J.\c - i). <.X = 0,-01 Y2.- ~'\X;-( c: Q-I {~ùd :::-J, ~ V? Â k'=' J,Id 3 ~ K ::c e-j e,f 'tl,v.\~.,b;,

10 MTH2302D - Contrôle périodique no 1 - Hiver Question n? 6 Soit X une variable aléatoire qui présente une distribution de Bernoulli de paramètre p = 1/3. Calculer (a) VAR[IX - 11]; (b) VAR[IX - ~I]. X~B(' J~) =J. VAR[I)(-IIl:: [E1~-Jil]- (E[j1/' / IX h~ ~~ th-) \ CM rk~ ~ c1v. 'Gi Â' = 1 / c, Y=-X-l. V1-rQ[)-kJ!:. )-~ V4R-[l\;-I] c: 0 K':: 0 IZ[ (\-17J ~Ô x P>W'I<A!:la I.il S.Lh~ ~\ VAr- ri\-iij -1? Y == [Je-Il \ f [-] ::: 1- x {4A '::. v4ft- 1- x. x]6 = V.4rl&} ~ '~'=)./'1

11 MTH2302D - Contrôle périodique no 1 - Hiver Question n? 6 (suite) r!j~ \jft(t[cx ~~] ~ [CI x--ti 1 ] -. V(}U( ~ '. ~. ~ (E[x-ÇJJjJ 'S! X.z: \ Ov)G -c. 0 V~W[[~ll:=-E[*~ -( E[Jlr =(). ~. Y=)x-~\ Os \..1 Réponse, (a) VAR[lX -111 ~ 0' 'K~A (b) VAR[lX - ~Il= -G.; -~::<~/

12 MTH2302D - Contrôle périodique no 1 - Hivet Question n? 7 Supposons que la variable aléatoire X présente une distribution uniforme sur l'intervalle (-1,1). On définit Y = X3. Calculer (a) le coefficient. d'asymétrie de Y; (b) le coefficient d'aplatissement de Y. CÀ, y 'V U [-\ ) IJ y~ X 3 \Y4R]::: (\ --1) d-_ (l. J1 \ Ux~ (~\ P _ ("L)~ Ol.,. 'P~ _ ~::: ::- ~ t[xj~}a/o= ct) 0 1 lœ;;)t :::-0 E[x: 3] =-0-:; ~ 0~O --:';) J'Ex k -= 4 _ f 2..- r\ x l -: J;'x,.::: L \J '-1 2 ") y~ -:=.{~)(