Cours de mathématiques. Chapitre 12 : Calcul Intégral

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1 Cours de mthémtiques Terminle S1 Chpitre 12 : Clcul Intégrl Année scolire mise à jour 5 mi 2009 Fig. 1 Henri-Léon Leesgue et Bernhrd Riemnn n les confond prfois 1

2 Tle des mtières I Chpitre 12 : Clcul Intégrl 3 I.A Intégrle d une fonction continue positive I.A.1 Définition I.B Intégrle d une fonction continue négtive I.B.1 Intégrle d une fonction continue de signe quelconque I.B.2 Cs d une fonction en esclier I.C Propriétés de l intégrle I.D Propriété I.D.1 Linérité I.D.2 Reltion de Chsles I.D.3 Intégrles et inéglités I.D.4 Vleur moenne d une fonction I.E Primitives I.E.1 Eemple I.E.2 Définition I.F Primitive d une fonction continue I.G Clculs de primitives I.H Clculs d intégrles I.I Intégrtion pr prties I.J Clculs de volumes Informtions sur l mise en pge Le document s inspire des nomreu livres de Terminle S des différentes éditions. Les figures de ce document ont été rélisées vec métpost et les mcros de J-M Srlt et en s inspirnt très fortement de ce qui est fit ici pr Dvid Nivud : L environnement clogo, utilisé pour l rélistion de ce document, est téléchrgele ici : le fichier de mcros s ppelle toujours coures.mp mis est différent du fichier coures.mp des chpitres précédents 2

3 I Chpitre 12 : Clcul Intégrl I.A I.A.1 Intégrle d une fonction continue positive Définition Définition 1: Un repère orthogonl (, ı, j ) nt été fié, une unité d ire est définie de l mnière suivnte : 1 u..=ire du rectngle IKJ J K j u.. ı I Définition 2: Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [;] et C f s coure représenttive dns un repère orthogonl (, ı, j ). Le réel, noté f()d, est l ire, en unités d ire, du domine D délimité pr C f, l e des scisses et les droites d équtions = et =. f()d se lit somme de à de f()d ou intégrle de à de f f()d=ire du domine D = f() Domine D 3

4 I.B Intégrle d une fonction continue négtive Définition 3: Si f est une fonction continue et négtive sur [;], on l définition suivnte : Domine D = f() f()d=-(ire du domine D) I.B.1 Intégrle d une fonction continue de signe quelconque Définition 4: Si f est continue sur l intervlle [;], lors on définit f()d de l mnière suivnte : f()d=ire du domine D 1 -(ire du domine D 2 ) = f() D 1 D 2 4

5 Remrque n dmet pour l instnt l églité suivnte : si f est une fonction continue sur [;], lors, pour tout c [;], c c f()d = 0 I.B.2 Cs d une fonction en esclier Définition 5: Il est un cs où, si l fonction f n est ps continuesur [;], on peut nénmoins définir, c est le cs des fonctions en esclier. Si f est définie insi : lors 1. si [ 0 ; 1 [, f() = c 1 2. si [ 1 ; 2 [, f() = c 2 3. si [ 2 ; 3 [, f() = c 3 4. si [ 3 ; 4 ], f() = c 4 f()d f()d=somme des ires des rectngles situés u-dessus de l e des scisses-(somme des ires des rectngles en dessous de l e des scisses) c 2 c 4 c 1 c = = I.C I.D Propriétés de l intégrle Propriété 5

6 Théorème 1 n dmet pour l instnt, l définition de l intégrle nt été donnée précédemment, que f()d = f()d L notion de primitive nous permettr de vlider cette propriété dns quelques instnts. I.D.1 Linérité Théorème 2 Si f et g sont deu fonctions continues sur [;] et α un réel, lors on : et f()d + g()d = αf()d = α (f() + g())d f()d I.D.2 Reltion de Chsles Théorème 3 Soit f une fonction continue sur [;c], lors : f()d+ c f()d= c f()d = f() c I.D.3 Intégrles et inéglités 6

7 Théorème 4 Si f et g sont continues sur [;] et si, pour tout [;], g() f() lors on : g()d f()d = f() = g() Théorème 5 : Inéglités de l moenne S il eiste m et M tels que, pour tout [;] m f() M lors on : M m( ) D f()d M( ) C = f() m F E A B Il suffit de comprer les ires du domine sous l coure vec celles des tringles ABCD et ABEF I.D.4 Vleur moenne d une fonction 7

8 Théorème 6 Si f est une fonction continue sur un intervlle I ; et sont deu réels distincts de l intervlle I. Alors il eiste un réel c entre et tel que Le nomre 1 f()d = ( )f(c). f()d est ppelé vleur moenne de f entre et. Interpréttion cinémtique : l vitesse moenne d un moile L vitesse moenne d un moile est l vleur moenne de l vitesse, d où : vitesse moenne = distnce prcourue durée du trjet = 1 t2 v(t)dt t 2 t 1 t 1 Démonstrtion n suppose l fonction f croissnte. (n dmet le résultt dns le cs générl.) Premier cs : <. Puisque f est croissnte, pour tout réel dns [;],. n lors et, puisque > 0,. Le réel 1 f()( ) f() f() f() f() 1 f()d f()( ) f()d f() f()d est dns l intervlle [f();f()], donc il eiste c dns [;] tel que : 1 f()d = f(c). Deuième cs : >. n procéde de l même mnière que précédemment, à vous de le fire. I.E I.E.1 Primitives Eemple n s intéresse à l fonction f : R e 0.9 Le ut est doule : Introduire l notion de primitive. Découvrir l fonction f en vue du chpitre sur l loi eponentielle. Soit A l fonction qui, à tout réel positif, ssocie A() = e 0.9t dt. Alors, pour tout réel positif, le réel A( + h) A() représente l ire du domine hchuré en vert ci-près. (on se plce dns le cs où h est strictement positif) : 8

9 En utilisnt les inéglités de l moenne décrites plus hut, on peut écrire : h f( + h) A( + h) A() h f() d où A( + h) A() f( + h) f() h De l même mnière, en considérnt h strictement négtif, on otient : f() A( + h) A() h f( + h) Si on fit tendre h vers 0 et en tennt compte du fit que l fonction f est continue sur R, donc sur R + en prticulier, on otient, près pssge à l limite : A( + h) A() lim = f() h 0 h C f : = 0.9 e 0.9 f() f( + h) + h Ce qui nous permet de dire que l fonction est dérivle sur R + et vérifie A : 0 A () = f() f(t)dt L fonction A est ppelée primitive de l fonction f sur R +. Cel nous permet ussi de clculer l vleur ecte de pr les méthodes des rectngles et de Monte-Crlo en utilisnt Scil. En effet, si l on considère l fonction F, définie sur R, pr 1 F() = A() + e f(t)dt que l on vit seulement pprochée on voit que, l fonction F étnt mnifestement dérivle sur R +, F () = 0, pour tout 0, donc F() = K(constnte) = F(0) = 1 9

10 . Autrement dit, A() = 1 e 0.9 pour tout 0 or 1 f(t)dt = A(1) donc 1 f(t)dt = 1 e I.E.2 Définition Définition 6: f est une fonction définie sur un intervlle I. L fonction F est une primitive de f sur I si, pour tout dns I, F () = f().(implicitement, cel suppose que F soit dérivle sur I) Théorème 7 Si f est une fonction définie sur un intervlle I. Si F est une primitive de f sur I, lors f dmet une infinité de primitives. Les utres primitives de f sur I sont définies pr G() = F() + K où K est une constnte réelle. Démonstrtion : F est dérivle sur I et F = f. L fonction G est ussi dérivle sur I vec G = F = f. Donc G est une primitive de f sur I. Inversement, si G est une primitive de f sur I lors G = f = F d où G F = 0. L dérivée de G F est nulle sur l intervlle I donc G F est constnte sur I, il eiste donc un réel K tel que pour tout de I, G() F() = K, d où le résultt. Théorème 8 Soit f une fonction dmettnt des primitives sur I. Soient 0 est un réel donné pprtennt à I et 0 un réel quelconque. Alors il eiste une unique primitive F de f sur I telle que F( 0 ) = 0. I.F Primitive d une fonction continue Théorème 9 Soit f une fonction continue sur un intervlle I ; est un réel de I. Alors l fonction F définie sur I pr F() = que F() = 0. L démonstrtion de ce théorème ser vue en TD. f(t)dt est l unique primitive de f sur I telle 10

11 I.G Clculs de primitives Les opértions sur les fonctions dérivles et l définition d une primitive conduisent u résultts suivnts : si F et G sont des primitives des fonctions f et g sur un intervlle I, lors F + G est une primitive de f + g sur I. Si F est une primitive de l fonction f sur un intervlle I et λ un réel, lors λf est une primitive de λf sur I. De même, les résultts connus sur les dérivées des fonctions usuelles donnent pr lecture inverse le tleu des primitives suivnt : Fonction f Primitive F Intervlle I (constnte) R n (n Z \ { 1}) n+1 n + 1 R si n 0 et ]0;+ [ ou ] ;0[ si n < ]0;+ [ 1 ln ]0;+ [ e e R sin cos R cos sin R 1 + tn 2 = 1 cos 2 tn ] π 2 + kπ; π [ 2 + kπ (k Z) Si u est une fonction dérivle sur un intervlle I, on lors : Fonction f Primitive F Remrques u u n (n Z \ { 1}) u n+1 n + 1 si n < 0, pour tout tel que u() 0 u u 2 u u > 0 sur I u u u e u ln( u ) e u u 0 sur I u( + ) ( 0) 1 U( + ) U primitive de u sur I Remrque : n peut jouter à chque primitive déterminée une constnte K pour otenir toutes les primitives. 11

12 I.H Clculs d intégrles Théorème 10 Si f est une fonction continue sur un intervlle I, F est une primitive de f sur I, et sont deu réels de I. Alors : f()d = F() F() Démonstrtion n sit que l fonction G : f(t)dt est l primitive de f sur I telle que G() = 0. Si F est une primitive de f sur I, lors il eiste k R tel que pour tout de I, G() = F() + k. r G() = 0, d où k = F() et on otient : En posnt =, on otient ien f(t)dt = F() F(). f(t)dt = F() F(). Nottion f()d = [F()] = F() F() Remrque Cel permet de vlider l formule : f()d = [F()] = F() F() = f()d = (F() F()) I.I Intégrtion pr prties Théorème 11 Si u et v sont deu fonctions dérivles sur un intervlle I, telles que leurs dérivées u et v soient continues sur I. Alors pour tous réels et de I :. u(t)v (t)dt = [u(t)v(t)] u (t)v(t)dt 12

13 Démonstrtion L fonction uv est dérivle sur I vec (uv) = u v uv. Ainsi uv = (uv) u v Puisque uv, (uv) et u v sont continues sur I, on en déduit que : et pr linérité de l intégrtion : (uv )(t)dt = (uv )(t)dt = r uv est une primitive de (uv) sur I, donc [(uv) (t) (u v)(t)]dt (uv) (t)dt (u v)(t)dt (uv) (t)dt = [u(t)v(t)] Ainsi, on otient : u(t)v (t)dt = [u(t)v(t)] u (t)v(t)dt I.J Clculs de volumes 13

14 Propriété Dns un repère orthogonl (; I; J; K) de l espce, le solide V est limité pr les plns d équtions z = et z =, <. S(z) désigne l ire de l section du solide pr le pln prllèle à (IJ) de cote z, vec z. z z S(z) K J I L unité de volume étnt le volume du prllélépipède rectngle construit sur, I, J et K, de l même mnière que pour définir l unité d ire dns le pln repéré, si S est une fonction continue sur l intervlle [;], lors on dmet que le volume V du solide V est égl à : V = S(z)dz Remrque Nous verrons des eemples en T-D notmment concernnt des solides de révolution et les solides de référence : oule, cone, prmide... 14

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