DE DF EF DE EF E est le centre du cercle de diamètre [AD], donc DE DA 9 4,5 cm DA DB AB DA AB
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- Isaac Lefrançois
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1 EXERCICE 1 1. Les droites (C) et (ED) sont sécantes en O, Les droites (D) et (CE) sont parallèles, d après le théorème de Thalès, on a : O 10,8 6 7, 5,1 OD D O OD OE OC OD 9 cm O D D O CE,4 cm OC OE CE OC OE O 7, OC CE OC 10,8. O 7, 6 OD ; O OD. Les points F, O, D et G, O, sont alignés dans le même ordre, OG, 4 OF OG OF O OD, d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (GF) et (D) sont parallèles. OG OF EXERCICE 1. Dans le triangle CD rectangle en D, on a : cos CD D C C C 8 cm D cos CD 4 cos ,5 8. Dans le triangle CD rectangle en D, d après le théorème de Pythagore, on a : C CD D CD C D CD 0, CD 48 CD cm L arrondi au dixième de CD est 6,9 cm. Dans le triangle C rectangle en, d après le théorème de Pythagore, on a : C C C 0, C 100 C 10cm C Dans le triangle C rectangle en, on a : tan C 6 5. tan C 4, C 59,1 L arrondi au degré de C est 59. EXERCICE 1. Figure à faire aux vraies dimensions. est un point du cercle de diamètre [D], donc le triangle D est rectangle en.. D est un angle inscrit qui intercepte l arc. E est l angle au centre qui intercepte aussi l arc. On a donc : D 1 E 46 : 4. Dans le triangle D rectangle en, on a : Sin D Dsin D 9sin (valeur exacte) D,516 cm L arrondi au centième de centimètre de est,5 cm 5. 1 ère méthode : E est le centre du cercle de diamètre [D], donc E est le milieu de [D]. Dans le triangle D, E est le milieu de [D], (EF) est parallèle à (), F est un point de [D], donc F est le milieu de [D]. Dans le triangle D, E est le milieu de [D], F est le milieu de [D], donc EF 9 sin 4, 5 sin EF 1,758 cm La valeur de EF arrondie au dixième de centimètre est 1,8 cm. e méthode : Les droites (E) et (F) sont sécantes en D, les points, E, D et, F, D sont alignés dans le même ordre. Les droites() et (EF) sont parallèles, d après le théorème de Thalès, on a : DE DF EF DE EF E est le centre du cercle de diamètre [D], donc DE D 9 4,5 cm D D D DE 4,59sin EF 4,5 sin. EF 1,758 cm La valeur de EF arrondie au dixième de centimètre est 1,8 cm. D 9 Page 1 sur 6
2 EXERCICE 4 1. S 5, C. Dans le triangle CD rectangle en D, d après le théorème de Pythagore, on a : C C C C 5, 7, 04 4, 04 0,, 04 4,8 cm 1. 4,8 4,8 cm V C S 6 1 base hauteur. S C est une réduction de la pyramide SC. Le coefficient de réduction k se calcule en écrivant : S ' 1,5 k 0,5 S. Le volume V de S C sera donc : V ' k V 0,5 4,8 0,15 4,8 0, 6 cm EXERCICE 5 1. Faire la figure en vraie grandeur C C C C, donc le triangle C n est pas rectangle. On doit calculer le périmètre p du triangle C P 8 p C C , donc : 19 p p p p a b c cm cm L arrondi de au cm près est 56 cm EXERCICE 6 Partie 1 : 1. Faire la figure aux vraies dimensions Page sur 6
3 . Dans le triangle CE, [C] est la médiane issue de C et relative au côté [E]. est le milieu de [E], on a : E E. De plus, on sait que C = = E, donc C = Donc le triangle CE est rectangle en C E utre méthode : C = = E, donc les points,, C sont sur le cercle de centre et de rayon, et E sont alignés et E E, donc [E] est un diamètre du cercle. C étant un point de ce cercle, le triangle EC est rectangle en C. Calcul de la mesure de l angle EC C est un triangle isocèle en, donc C = C = 4, d où : C = = 94,, E sont alignés, donc : C = 180. On obtient : EC = = 86 Partie : 4. [E] et [C] sont deux cordes du cercle, ayant une extrémité commune, donc EC est un angle inscrit. EC intercepte l arc EC [E] et [C] sont deux rayons du cercle, donc EC est un angle au centre. EC intercepte aussi l arc EC Donc : EC EC. Comme E,, sont alignés, C EC, donc on a bien : EC C EXERCICE 7 N : Réponse : 54 N : Réponse : 17 N 4 : Réponse : rectangle et isocèle EXERCICE 8 1. Le quadrilatère FG a comme diagonales : [] et [FG], à tracer. On sait que O est le milieu de []. G est le symétrique de F par rapport à O, donc O est le milieu de [FG]. O est donc le milieu des diagonales [] et [FG]. Donc le quadrilatère FG est un parallélogramme.. Dans le triangle C, F est le milieu de [C] et O est le milieu de [], donc les droites (OF) et (C) sont parallèles (théorème des milieux, classe de 4 e ). Les droites (D) et (E) sont sécantes en C, les points D,, C et E,, C sont alignés dans le même ordre. Les droites() et (DE) sont parallèles, d après le théorème de Thales, on a : C C C CDE 1,8 1 CD 4,8 cm CD CE DE CD DE 4,5 1,8 4. Dans le triangle C rectangle en C, on a : cos C C 0,4 4,5 C 66,4 L'arrondi au degré près de C est 66 EXERCICE 9 1. Trace deux droites (d) et (d ) perpendiculaires en H. Sur (d), place un point O tel que OH 5 cm.trace un angle de 0 de sommet O. Le côté de cet angle qui n est pas [OH] coupe la droite (d ) en un point que tu appelleras M. Relève la longueur HM, à l aide du compas, sur le triangle OHM que tu viens de tracer. Place un point. ppelle le H et trace le cercle de centre H et de rayon HM. La base du cône est le disque de centre H et de rayon HM. [OH] est la hauteur du cône de sommet S, O est le centre de la base, donc le triangle OHM est rectangle en H. Dans le triangle OHM rectangle en H, HM tan HOM HM OH tan HOM 5tan0 HM,886cm L'arrondi au mm de HM est,9cm OH Page sur 6
4 1 4. Soit K le point de la hauteur OH tel que OK OH. On considère le cône de sommet O et de hauteur OK Ce cône est 4 une réduction du cône initial. Le coefficient de réduction est 1 4. Le volume du cône initial sera multiplié par 1 4 0, , 565%. L eau occupera 1,565% du volume total du cône initial 4 64 EXERCICE 10 N 1 : Réponse : 89 N : Réponse : 6 N 4 : Réponse : V 7v N 5 : Réponse : sin y EXERCICE V1 O SO cm. a. Soit k le coefficient de réduction. SO ' 1 k SO b. V V1 V1 64 cm a. Soit V le volume d eau contenue dans le récipient. V V1 V 64 6 cm. b. V 197,9 cm. La valeur approchée de ce volume arrondie au cm est 198 cm 4. 1 L 1 dm 1000 cm donc 198 cm 0,198 dm 0,198 L 0,198 0,, ce volume d eau n est pas supérieur à 0, L EXERCICE 1 1. Le triangle SO est un triangle rectangle en O. Pour le construire, tracer un cercle de diamètre S = 6,5 cm et placer un point O sur ce cercle tel que O =,5 cm.. Dans le triangle SO rectangle en O, d après le théorème de Pythagore, on a : S SO O SO S O 6,5,5 4, 5 6, 5 6 SO 0, SO 6 6 cm. V O SO V 9, cm, 5 6 1, 5 cm 9, 6 cm. Le volume de cire arrondi au dixième de cm est 4. Dans le triangle SO rectangle en O, cos SO SO S 6, C L'arrondi au degré près de SO est On pouvait aussi utiliser sin ou tan. EXERCICE 1 1. Dans le triangle CSH rectangle en H, on a : sin CSH CH CH SC sin CSH 50sin80 CH,4 m L'arrondi au m de CH est 49m SC Page 4 sur 6
5 . On a toujours : CH SC sin CSH dans ce cas : CH 50 sin 40 CH,1 m L'arrondi au m de CH est m sin80 La distance CH dans ce cas n'est pas la moitié de celle calculée en 1., en effet : sin 40 EXERCICE Nature de RM [] et [ ] sont deux arêtes consécutives du cube, donc est un angle droit R est un point de l arête [] et M est un point de l arête [ ] du cube, donc le triangle RM est un triangle rectangle en R est le milieu de [], donc R = 6 : = cm ; M est le milieu de [ ], donc M = 6 : = cm. Donc le triangle RM est rectangle isocèle en Calcul de RM : Dans le triangle RM rectangle en, on a d après le théorème de Pythagore : RM R M RM 0, RM 18 cm. Le quadrilatère RMNP est un rectangle. Construction de RMNP : construire un rectangle de 6 cm de long, reporter la longueur RM du triangle RM construit en 1. qui sera la largeur du rectangle RMNP La longueur RP du rectangle mesure 6 cm et la largeur RM est égale à 18 cm. ire du triangle RM RM R M 4,5 cm Volume du prisme : rappel :V = base hauteur V RM C 4,5 6 7cm EXERCICE 15 Première partie 1. ire de OC O 7 49 cm OC. Dans le triangle OEC rectangle en O, OC 7 tan OEC OE 9 [ OE], donc : OE O E 7 9 OEC 7,87 L'arrondi au degré de OEC est 8. Les angles OEC et OC sont en position d angles alternes-internes. Les droites (OE) et(c) sont parallèles. Donc : EC OEC OEC 8 Deuxième partie 1. Voir à la fin. a. Les droites (CM) et (E) sont sécantes en O, les points O, M, C et O,, E sont alignés dans le même ordre. Les droites (M) et (EC) sont parallèles. D après le théorème de Thalès : OM O M donc : OM O OC OE CE OC OE. b. OM O OC O 77 49, donc : OM OC OE OE 9 9 Page 5 sur 6
6 . c. OMNE OC 49 OM OE 9 49 cm 9 49 cm D où : OMNE OC Troisième partie On a toujours : OMNE OC OC O OC O OM OE et OM, d'où : OMNE OE OC O O cm OE OE O cm On construit donc la droite parallèle à la droite (CE) passant par, qui coupe [OC] en M. Puis, on construit le rectangle OMNE. Le carré OC et le rectangle OMNE auront la même aire. FIGURE DEUXIEME PRTIE C M N O E FIGURE TROISIEME PRTIE C M N O E Page 6 sur 6
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
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