Probabilités sur un univers ni

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1 POIRET Aurélien TD n o 21 MPSI Probabilités sur un univers ni 1 Événements et probabilités Exercice N o 1 : Dans un centre de loisirs, une personne peut pratiquer trois activités. On considère les événements suivants : A : la personne pratique du tennis, B : la personne pratique de la danse, C : la personne pratique du volley. 1. À l'aide de A, B et C, écrire les événements suivants : (a) la personne pratique au moins une des trois activités ; (b) elle n'en pratique aucune ; (c) elle pratique au moins deux activités ; (d) elle pratique au plus deux activités ; (e) elle pratique exactement une activité ; (f) elle pratique au plus une activité. 2. On donne P(A) = 0, 21 ; P(B) = 0, 41 ; P(C) = 0, 33 ; P(A B C) = 0, 05 ; P(A B) = P(B C) = 0, 09 ; P(A C) = 0, 07. Calculer la probabilité des événements de la question précédente Exercice N o 2 : On lance 10 fois successivement une pièce. On note F k : on obtient face au k-ième lancer. Donner la traduction mathématique, en fonction des F k, des événements suivants. 1. on obtient pile au 7 e lancer 2. on obtient face au 8 e lancer 3. on obtient pile au premier lancer et face au 2 e lancer 4. on n'obtient pas pile dans les 5 premiers lancers 5. on obtient un pile et un face dans les 2 premiers lancers 6. on obtient exactement un pile dans les 3 premiers lancers 7. on obtient pile seulement au 10 e lancer 8. on obtient pile pour la première fois au 6 e lancer Exercice N o 3 : Dans un village comportant plusieurs boulangeries, 40% des personnes achètent leur pain à la boulangerie 1, 25% à la boulangerie 2. Parmi elles, 10% achètent leur pain aux deux boulangeries. On choisit une personne au hasard. Calculer la probabilité des événements suivants. 1. la personne n'achète pas son pain ailleurs 2. elle ne l'achète à aucune des deux boulangeries 3. elle ne l'achète qu'à la boulangerie 1 4. elle ne l'achète que dans une seule des deux boulangeries 5. elle ne l'achète pas à la boulangerie 1 6. elle ne l'achète pas à la fois dans l'une et dans l'autre. 1

2 Exercice N o 4 : On lance 1000 fois un dé. On considère les événements : A k : on obtient 6 au k-ième lancer et B n : on n'obtient pas de 6 dans les n premiers lancers. 1. Écrire B 10, B3 c puis B n en fonction des événements A k. 2. Quelles sont les relations d'inclusion entre B 1, B 2, B 3 et B 4? 3. En s'aidant d'événements A k et B k, donner l'événement on obtient 6 pour la première fois au 101 e lancer. 4. Quelle est la formulation en français de Bn c? de 7 A k? de A k? de A k? 5. Donner l'événement on n'obtient jamais de 6 en fonction d'événements A k, puis d'événements B k. Exercice N o 5 : Dans cet exercice, a, b désignent des entiers naturels non nuls, n est un entier supérieur ou égal à 2 et k est un entier naturel non nul inférieur ou égal à n. Un panier de fraises contient a fraises mûres et b fraises non mûres. On tire au hasard du panier n fraises successivement, en procédant comme suit : si une fraise est mûre, on la mange, sinon, on la remet dans le panier. On note : M k : la k e fraise tirée est mûre, E k : la k e fraise tirée est mûre et c'est la seule fraise mûre tirée au cours des n tirages, A : on n'a mangé aucune fraise et B : on a mangé exactement une fraise 1. Exprimer l'événement A en fonction des événements M k. En utilisant la formule des probabilités composées, calculer P(A). 2. Exprimer l'événement E k en fonction des événements M i. En utilisant la formule des probabilités composées, calculer P(E k ). 3. Exprimer B à l'aide des événements E k. Calculer P(B). 2 Dénombrement et probabilité k=3 k 10 k 32 Exercice N o 6 : Une urne contient 7 boules rouges et 5 boules blanches. On tire au hasard deux boules. Déterminer la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur dans les cas suivants. 1. Le tirage est simultané. 2. On tire une boule après l'autre, sans remise. 3. On tire une boule après l'autre, avec remise. Exercice N o 7 : Pour obtenir 2 as exactement en tirant 4 cartes dans un jeu de 32 cartes, est-il plus intéressant de les tirer simultanément, ou l'une après l'autre sans remise, ou l'une après l'autre avec remise? Exercice N o 8 : 1. On tire l'une après l'autre, avec remise et au hasard, 3 boules d'une urne qui contient 4 boules rouges, 5 blanches et 7 jaunes. Donner la probabilité des événements suivants. (a) A : obtenir un tirage monocolore. (b) B : obtenir un tirage tricolore. (c) C : obtenir un tirage bicolore. 2

3 2. On tire l'une après l'autre, avec remise, n boules de cette urne, n 3. Donner la probabilité des événements suivants. (a) D : obtenir au moins une boule rouge. (b) E : obtenir exactement trois boules rouges. (c) F : obtenir au moins une boule de chaque couleur. 3 Probabilités conditionnelles Exercice N o 9 : Le gérant d'un magasin de matériel informatique a acheté un stock de boîtes de disquette. 5% des boîtes sont abîmées. Le gérant estime que : 60% des boîtes abîmées contiennent au moins une disquette défectueuse ; 98% des boîtes en bon état ne contiennent aucune disquette défectueuse. Un client achète une des boîtes du lot. On désigne par A l'événement : la boîte achetée est abîmée et par D l'événement : la boîte achetée contient au moins une disquette défecteuse. 1. Donner les probabilités P(A), P(A c ), P A (D), P A c(d), P A (D c ) et P A c(d c ). 2. Calculer la probabilité de l'événement D. 3. Le client constate que l'une des disquettes est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté une boîte abîmée? Exercice N o 10 : Une urne contient 5 boules rouges et 25 boules noires. On tire n fois au hasard une boule de cette urne suivant le protocole suivant : si la boule est rouge, on la remet dans l'urne ; si la boule est noire, on ne la remet pas dans l'urne et on ajoute 2 boules rouges dans l'urne. On note R k : on obtient une boule rouge au k e tirage. Déterminer P(R 1 ), P(R 2 ), P(R 1 R c 2 ), P(Rc 1 Rc 2 ), P(R 3). Exercice N o 11 : On lance, une seule fois, une pièce équilibrée, puis on eectue des tirages successifs dans une urne, contenant initialement une boule blanche et une boule noire, selon le protocole suivant : on tire une boule, on note sa couleur et on la remet dans l'urne, on rajoute une boule blanche si l'on a obtenu pile, et une boule noire si l'on a obtenu face. Ainsi au moment du k e tirage, l'urne contient k + 1 boules. 1. Calculer la probabilité de tirer une boule blanche au k e tirage. 2. Sachant que l'on a tiré une boule blanche au k e tirage, calculer la probabilité p k d'avoir obtenu pile. 3. Calculer la probabilité d'obtenir k boules blanches lors des k premiers tirages. Exercice N o 12 : La proportion de pièces défectueuses dans un lot de pièces est 0,05. Le contrôle de fabrication des pièces est tel que : si la pièce est bonne, elle est acceptée avec probabilité 0,96 ; si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec probabilité 0,98. On choisit une pièce au hasard et on la contrôle. Quelle est la probabilité i) qu'il y ait une erreur de contrôle? ii) qu'une pièce acceptée soit mauvaise? Exercice N o 13 : On considère trois urnes : U 1 contient 2 boules noires et 3 boules rouges ; U 2 contient 1 boule noire et 4 boules rouges ; 3

4 U 3 contient 3 boules noires et 4 boules rouges. On tire une boule dans U 1 et une boule dans U 2, et on les met dans U 3. On tire une boule de U 3. Elle est noire. Quelle est la probabilité que la boule tirée de U 1 soit rouge? Exercice N o 14 : Un lot de 100 dés contient 25 dés pipés tels que la probabilité d'apparition de 6 est 0,5. On prend un dé au hasard, on le jette, on obtient 6. Quelle est la probabilité que le dé soit pipé? Exercice N o 15 : On dispose de deux dés A et B. Le dé A a quatre faces rouges et deux faces blanches. Le dé B a deux faces rouges et quatre faces blanches. On lance une pièce de monnaie telle que la probabilité d'obtenir pile soit 1/3. Si on obtient pile, on décide de ne jouer qu'avec le dé A ; Si on obtient face, on ne joue qu'avec le dé B. 1. Calculer la probabilité d'obtenir rouge au premier coup. 2. On a obtenu rouge aux deux premiers coups. Calculer la probabilité d'obtenir rouge au troisième coup. 3. On a obtenu rouge aux n premiers coups. Calculer la probabilité d'avoir utilisé le dé A. Exercice N o 16 : On dispose de 5 pièces de monnaie dont une possède deux face. On choisit l'une des pièces au hasard et on la lance n fois. 1. Quelle est la probabilité d'obtenir face au premier lancer? 2. On a obtenu face au premier lancer. Quelle est la probabilité d'avoir choisi la pièce truquée? 3. Quelle est la probabilité d'obtenir face aux n premiers lancers? 4. On a obtenu n face aux n premiers lancers. Quelle est la probabilité p n d'avoir choisi la pièce truquée? Déterminer la limite de p n lorsque n tend vers l'inni. Exercice N o 17 : Dans une salle de danse se trouvent trois couples. Chaque couple est constitué d'une femme et de son époux. Chaque femme choisit un cavalier au hasard. Soit A l'événement : aucune femme ne danse avec son époux. 1. Quel est l'événement A c? 2. Pour i {1, 2, 3}, on note A i l'événement la femme du couple i danse avec son époux. Écrire A c en fonction des A i. Puis calculer P(A c ). 3. En déduire P(A). 4 Événements indépendants Exercice N o 18 : On lance trois dés équilibrés jusqu'à ce qu'ils achent simultanément 6. Les diérents lancers sont indépendants les uns des autres. 1. Déterminer la probabilité de A n : on s'arrête au n e lancer. 2. Déterminer de deux manières la probabilité de B n : on s'arrête au plus tard au n e lancer. Exercice N o 19 : Une urne contient une boule rouge et une boule noire. On eectue n tirages successifs avec remise de la boule tirée. On dénit les événements : A n : on obtient, au cours des n tirages, des boules des deux couleurs ; B n : on obtient, au cours des n tirages, au plus une boule rouge. 4

5 1. Calculer, pour tout n 2, P(A n ) et P(B n ). 2. Étudier l'indépendance des événements A n et B n pour n = Étudier l'indépendance des événements A n et B n pour n = Étudier l'indépendance des événements A n et B n dans le cas général. Exercice N o 20 : On considère deux urnes : U contient 3 boules rouges et 7 blanches ; V contient 5 boules rouges et 3 blanches. On choisit au hasard une urne, et on y eectue deux tirages successifs d'une boule avec remise. On note R 1 (respectivement R 2 ) l'événement on tire une boule rouge au premier (respectivement au second) tirage. 1. Calculer P(R 1 ) et P(R 2 ). 2. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge au second tirage sachant que l'on a tiré une boule rouge au premier tirage. 3. Les événements R 1 et R 2 sont-ils indépendants? 5 Suites et probabilités Exercice N o 21 : On dispose de deux urnes U et V : U contient 2 boules rouges et 6 blanches, V contient 4 boules rouges et 2 blanches. On commence par tirer une boule de l'urne U. Si la boule est blanche, on eectue le tirage suivant dans l'urne U, et si la boule est rouge, on eectue le tirage suivant dans l'urne V. On continue suivant le même principe. On note p n la probabilité de R n : obtenir une boule rouge au n e tirage. 1. Établir une relation entre p n et p n En déduire p n en fonction de n. Exercice N o 22 : On dispose de deux pièces truquées : P 1 donne pile avec probabilité 1/3 et P 2 donne pile avec probabilité 2/5. Au départ, on choisit une pièce au hasard et on la lance jusqu'à ce qu'on obtienne face ; on change alors de pièce et ainsi de suite. On désigne par L k l'événement : on lance la pièce P 1 au k e lancer. 1. Trouver une relation entre P(L k ) et P(L k+1 ). 2. Déterminer P(L k ) en fonction de k. Exercice N o 23 : Problème de la ruine du joueur Soient N N et p ]0; 1[ avec p 1/2. On note q = 1 p. On joue à un jeu de pile ou face. À chaque coup, on a la probabilité p d'obtenir pile, et dans ce cas on gagne 1 euro, et la probabilité q d'obtenir face, et dans ce cas on perd 1 euro. On suppose que l'on ne peut jouer que si l'on dispose d'au moins 1 euro. Le jeu s'arrête soit lorsqu'on possède N euros (on gagne la partie), soit lorsqu'on ne possède plus rien (on perd la partie). Au départ, on dispose d'une somme de n euros, avec 0 n N, et on note p N (n) la probabilité de gagner la partie. 1. Calculer p N (0) et p N (N). 2. En raisonnant sur les résultats du premier tirage, déterminer une relation entre p N (n), p N (n+1) et p N (n 1). 3. Exprimer alors p N (n) en fonction de n, N et p. 5

6 4. Calculer lim N + p N(n). Exercice N o 24 : A l'instant t = 0, une particule se trouve en un point d'abscisse entière k {0,, n}, sur un segment gradué de 0 à n. A chaque seconde, elle se déplace d'une unité vers la droite avec probabilité p, où 0 < p < 1 et p 1/2, d'une unité vers la gauche avec probabilité q = 1 p. Elle s'arrête dès qu'elle a atteint l'une des extrémités du segment. On note u k la probabilité que la particule, partant de k s'arrête en Déterminer u 0 et u n. 2. Pour k distinct de 0 et de n, trouver une relation entre u k, u k 1 et u k+1 en considérant l'événement E : la particule nit sa course en Déterminer la probabilité que la particule, partant de k, s'arrête en Déterminer la probabilité que la particule, partant de k, s'arrête en n. 5. Quelle est la probabilité que la particule ne s'arrête jamais? 6

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