CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1 PARTIE I. Deux exemples. n 1 k 1 n k = (1 + 1) n = 2 n. k. = 2 n.

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1 SESSION 006 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE PSI MATHEMATIQUES PARTIE I Deux exemples I/ Cas d une suite constante I/ Soit n N D après la formule du binôme de Newton, on a n + n n N, I/ Soit n N a n n α n α n α α Si n N, a n α alors n N, a n α I3/ a n resp a n ne tend pas vers 0 quand n tend vers + et donc la série de terme général a n resp a n est grossièrement divergente I/ Cas d une suite géométrique I/ Soit n N D après la formule du binôme de Newton, on a a n 0 z + zn + z Si n N, a n z n alors n N, a n I/ I/ Soit z un nombre complexe tel que z < On sait que la série géométrique de terme général z n converge et que z n z n0 Az n0 a n z I/ Soit z un nombre complexe tel que z < + z + z + z < + http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 006 Tous droits réservés

2 + z On sait que la série géométrique de terme général converge et que n0 + z + z z n0 a n z Az I3/ I3/ Si z, a n ne tend pas vers 0 quand n tend vers + et donc la série de terme général a n est grossièrement divergente I3/ On suppose z Pour n entier naturel donné, on a a n n n Comme <, on sait que la série de terme général a n est absolument convergente I33/ Soit θ un réel tel que 0 < θ < π + e iθ eiθ/ e iθ/ + e iθ/ cos θ eiθ/ Maintenant, θ est élément de ] π, 0[ ]0, π[ et donc θ est élément de ] π, 0[ ]0, π [ Mais alors 0 < cos θ < puis cos θ eiθ/ cos θ < + e iθ n Ainsi la série géométrique de terme général est absolument convergente et de plus n0 + e iθ n + eiθ e iθ e iθ/ e iθ/ e iθ/ e iθ/ i sin θ ie iθ/ icos θ sin θ i sinθ sin θ + i cotan θ Re + n0 a n a n ie iθ/ n0 sin θ, + et Im cotan θ n0 a n PARTIE II Etude du procédé de sommation II/ Comparaison des convergences de deux suites II/ II/ Soit un entier naturel fixé Pour n entier naturel supérieur ou égal à, on a!n! facteurs {}}{ n n n +,! http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 006 Tous droits réservés

3 et donc quand n tend vers +, II/ Mais alors, quand n tend vers +, n! n n!, et les théorèmes de croissances comparées permettent d affirmer que N, lim 0 II/ Pour fixé tel que 0 q, on a d après la question précédente lim de termes de la somme S q n, a, à savoir q +, est constant quand n varie Par suite, lim S qn, a 0 a 0 De plus, le nombre II3/ Soit ε > 0 Puisque a n tend vers 0 quand n tend vers +, il existe un entier naturel q tel que pour n q, on ait a n < ε Soit n > q a n n a 0 a 0 S q n, a + S q n, a + S q n, a + ε q+ n 0 q 0 a + q+ ε S qn, a + n ε a S q n, a + q+ n ε q+ S qn, a + ε n d après la question I/ a En résumé, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à q, on a a n S q n, a + ε Maintenant, d après la question précédente, lim S qn, a 0 Par suite, il existe un entier q tel que pour n q, on ait S q n, a < ε Soit n 0 Max{q, q } Pour n n 0, on a a n < ε + ε ε On a montré que : ε > 0, n 0 N/ n N, n n 0 a n < ε Finalement Si lim a n 0 alors lim a n 0 II4/ Soit n N a n 0 a l + l 0 a l + 0 l l + 0 a l Maintenant, puisque la suite a n l tend vers 0 quand n tend vers +, la question précédente permet d affirmer que lim a l 0 et donc lim a n l 0 http ://wwwmaths-francefr 3 c Jean-Louis Rouget, 006 Tous droits réservés

4 Si lim a n l alors lim a n l II5/ Pour n N, posons a n n La suite a n est divergente car les deux suites extraites a n et a n+ convergent et ont des limites distinctes Mais, pour n, a n 0 + n 0 La suite a n est donc nulle à partir du rang et en particulier convergente, de limite 0 Il est ainsi possible que la suite a n diverge tandis que la suite a n converge et donc la convergence de la suite a n n est pas équivalente à la convergence de la suite a n II/ Comparaison des convergences des séries a n et a n n 0 n 0 II/ U 0 T 0 a 0 a 0 S 0 U T a 0 + a a 0 + a 0 + a S 0 + S U 4T 4a 0 +a +a 4a 0+ a 0+a + 4 a 0+a +a 7a 0 +4a +a a 0 +a +a +3a 0 +a +3a 0 3S 0 + 3S + S U 3 8T 3 8a 0 +a +a +a 3 8a 0+ a 0+a + 4 a 0+a +a + 8 a 0+3a +3a +a 3 5a 0 +a +5a +a 3 a 0 + a + a + a 3 + 4a 0 + a + a + 6a 0 + a + 4a 0 4S 0 + 6S + 4S + S 3 U 0 S 0, U S 0 + S, U 3S 0 + 3S + S et U 3 4S 0 + 6S + 4S + S 3 II/ II/ Il semblerait que λ,n + + II/ Montrons par récurrence que n N, U n 0 + S n n + Pour n 0, S S 0 S 0 U 0 et la formule proposée est vraie quand n Soit n 0 Supposons que U n S Alors + n+ U n+ + T n n+ 0 n+ 0 n+ 0 + S S S + + n + + S + + S + + n S + 0 n+ 0 n+ 0 n+ 0 n+ 0 n+ 0 n a + T n + a n+ T n + + a n+ U n + n + n + n + n + n + S S S par hypothèse de récurrence S S S S car n+ 0 0 n + S 0 + S car S n + + S + + n+ 0 n+ 0 n + n + S a + S + http ://wwwmaths-francefr 4 c Jean-Louis Rouget, 006 Tous droits réservés

5 On a montré par récurrence que n N, U n 0 + S + II3/ Pour n N, posons S n S n Alors 0 a T n U n + S n+ n+ 0 0 n + + S + + S + n+ 0 n + + S + Supposons alors que la série de terme général a n soit convergente et notons S sa somme Par définition, lim S n S et donc lim S n S La question II4/ permet alors d affirmer que la suite S n converge et que lim S n S Mais n alors la suite a converge et lim a S Finalement la série de terme général a n converge et a pour somme S 0 0 n0 a n n0 a n S II4/ La question I3/ montre qu il est possible que la série de terme général a n diverge et que la série de terme général a n converge La convergence de la série de terme général a n n est donc pas équivalente à la convergence de la série de terme général a n PARTIE III Une étude de fonctions III/ Etude de f III/ Puisque pour tout entier naturel n, on a n +! et que la série entière a un rayon de convergence infini, la série entière a un rayon de convergence infini On sait alors que f est définie et de classe n +! C sur R et en particulier III/ Soit x un réel xfx n0 f est définie et continue sur R + + n +! n ex x R, xfx e x III3/ Si x 0, e 0 f0! Sinon, pour x réel non nul donné e x fx e x ex x x R, e x fx e x x e x si x 0 x si x 0 http ://wwwmaths-francefr 5 c Jean-Louis Rouget, 006 Tous droits réservés

6 III/ Etude de g III/ Pour n entier naturel non nul, on a 0 σ n n termes {}}{ n et donc 0 σ n n n! La série entière n! a un rayon de convergence infini x R, + n! xex, il en est de même de la série n n entière de somme g g est donc définie et de classe C sur R et en particulier g est définie et de classe C sur R III/ Pour tout réel x, g x n n0 σ n nxn n σ n n! xn n0 σ n + + n + xn σ n + n0 n0 x R, g x gx fx σ n+ gx + fx n +! III3/ On note tout d abord que g0 σ 0 0! 0 Mais alors t R, g t gt ft t R, e t g t e t gt e t ft t R, e t g t e t ft x R, e x gx e 0 g0 + x x x R, gx e x e t ft dt 0 0 e t ft dt x x R, gx e x e t ft dt 0 III3/ La fonction F III3/ D après la question I3/, pour x réel non nul, on a e x fx e x x + x n xn x n0 n n xn + n n xn n0 n n +! Puisque f0, cette égalité reste valable quand x 0 et donc x R, e x fx n0 n n +! Maintenant, puisque la fonction x e x fx est développable en série entière sur R, on sait que la fonction F est développable en série entière sur R et que son développement développement s obtient par intégration terme à terme Ainsi, pour tout réel x on a Fx F0 + n0 n + + n +! n + n + + n + n +! x R, Fx n0 n n xn n n xn http ://wwwmaths-francefr 6 c Jean-Louis Rouget, 006 Tous droits réservés n n

7 III3/ D après la question III3/, pour tout réel x on a gx e x Fx et donc d après la question précédente pour tout réel x on a n0 + σ n + n xn xn n n0 n n produit de Cauchy de deux séries entières! n! n n γ n car + Par unicité des coefficients d une série entière, on a alors n N, γ n σ n III4/ La série + III4/ III4/ Quand tend vers +, + ln + ln O + O O On en déduit que la série de terme général w est convergente III4/ Soit n un entier naturel supérieur ou égal à et donc n n w ln + ln lnn ln lnn σ n +, n n σ n lnn w Puisque la série de terme général w converge, on en déduit que + somme télescopique la suite σ n lnn converge On note dorénavant γ la limite de σ n lnn τ n III4/ Soit n un entier naturel non nul n n + n n n n + σ n σ n n n http ://wwwmaths-francefr 7 c Jean-Louis Rouget, 006 Tous droits réservés

8 Finalement n N, τ n σ n σ n III43/ D après la question III4/, quand n tend vers + on a σ n lnn + γ + o et donc τ n lnn + γ + o lnn + γ + o ln + o Ainsi, quand n tend vers vers +, τ n tend vers ln Ensuite τ n+ τn + ln + o n + Finalement les deux suites τ n et τ n+ convergent et ont même limite On sait alors que la suite τ n converge et que + ln III5/ Etude de la fonction ϕ III5/ Pour tout entier naturel non nul, on a σ n et donc R et aussi σ n n et donc R Finalement R III5/ Puisque R, on a ], [ [, ] Mais si x, σ n σ n et en particulier σ n ne tend pas vers 0 quand n tend vers + Ainsi, la série de terme général σ n n est grossièrement divergente de même que la série de terme général σ n n Finalement ], [ Soient x et y deux réels tels que 0 x y Puisque la suite σ est positive, pour tout entier naturel n on a σ n σ n y n et donc σ n σ n y n ou encore ϕx ϕy On a montré que n0 n0 ϕ est croissante sur [0, [ σ n III53/ ϕ + σ n Posons alors a 0 0 et pour n, a n n+ n n n0 D après la question III3/, pour tout entier naturel non nul n, on a σ n γ n ce qui reste vrai pour n 0 En résumé +!n! ϕ a n n0 0 a a n, Maintenant, d après la question III43/, la série de terme général a n converge et permet alors d affirmer que n0 a n ln La question II3/ n0 a n ϕ n0 a n ln ln http ://wwwmaths-francefr 8 c Jean-Louis Rouget, 006 Tous droits réservés

9 III54/ Soit x ], [ n + + ϕx produit de Cauchy de deux séries entières n n n0 n ln x x ln x x ], [, ϕx x En particulier, pour x, on obtient et on retrouve bien ϕ ln ϕ ln ln, http ://wwwmaths-francefr 9 c Jean-Louis Rouget, 006 Tous droits réservés