Exemple de calcul d intégrale
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- Gabrielle Gamache
- il y a 5 ans
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1 . Corrigés Devoir Libre n 7 (Pr. Pae) Inégrales à paramère Eemple de calcul d inégrale MP- Blague du jour C es un ype qui se promène dans la rue, e accroché sur la pore d une enrée d un jardin, il voi : ATTENTION PERROQUET MÉCHANT! E un peu plus loin dans le jardin, il aperçoi nore bêe, aachée sur un perchoir. Nore, un hardi gaillard se marre en voyan la besiole aachée sur son perchoir. Décidan de ener le diable, il passe la barrière e pénère dans le jardin. Soudain, le perroque : REX, ATTAQUE!!!! Al-Baani (env ) Asronome e mahémaicien musulman, d origine urque. On le désigne parfois comme le Polémée des Arabes. Il a découver le mouvemen de l apogée du Soleil, calculé l inclinaison de l ae erresre (3 35 ). Il a inrodui l usage du sinus dans les calculs, e en parie celui de la angene, forman ainsi les bases de la rigonomérie moderne. Mahémaicien du jour 1 Parie I 1 On suppose I non rédui à un singleon. L équaion différenielle (E ) es une équaion différenielle linéaire d ordre, résolue en y, homogène, à coefficiens coninus sur l inervalle I. L ensemble des soluions sur I es un espace vecoriel de dimension deu. Les foncions sin e cos son deu soluions de (E ), indépendanes (de wronskien consan non nul). Elles formen donc une base de l espace vecoriel des soluions sur I. On suppose que I es un voisinage de +. On écri g comme combinaison linéaire de sin e cos : g = ( A.cos+B.sin. Alors les suies (g()) e g( n+1 ) π) son respecivemen (( 1) n.a) e (( 1) n.b). Elles ne peuven converger que si A = B =. 3 On suppose encore que I es un voisinage de + e on reprend les noaions de la quesion précédene. ( ) n+1 On noe l la limie de g en +. Comme les suies () e π enden vers +, les ( suies (g()) e g( n+1 ) π) enden vers l. D après la quesion précédene, A = B =. Donc g es la foncion nulle. 79
2 Parie II Il fau préciser que C (R) es le R-espace vecoriel des foncions réelles de classe C sur R. 1 L applicaion H qui envoie v sur h v es linéaire de R 4 dans C (R) e V en es l image. Donc V es un sous-espace vecoriel de C (R). Il rese à jusifier que H es injecive. Soi v = (a,b,c,d) dans R 4 el que h v =. Alors h v () = e h v() = (a+d+c)cos+(c b a)sin = pour ou R. h v () = b = h On a donc le sysème v (π/) = d+c.π/ = h v(). = a+d = h v(π/) = c a.π/ = On calcule a e c en foncion de d dans les équaions e 3 : a = d ; c = d/π ; e en reporan dans la dernière équaion : d( /π π/) =. D où d =, puis a = c =. Donc v =. Donc H es injecive : c es un isomorphisme de R 4 sur V. Comme C es une base de R 4, son image B es une base de V. 3 Avec les noaions précédenes, h v = a.h e1 +b.h e +c.h e3 +d.h e4 e, après deu lignes de calcul, ψ(h v ) = ccos asin = c.h e a.h e4 i ψ es linéaire par linéarié de la dérivaion, e à valeurs dans V. ii ψ(h v ) = c = a = h v Vec(h e,h e4 ). Donc ker(ψ) = Vec(h e,h e4 ). On en dédui que (h e,h e4 ) es une base de ker(ψ), donc dim(ker(ψ) =. Le héorème du rang donne alors rg(ψ) = dimv dimker(ψ) =. Le calcul de ψ(h v ) donne aussi Im(ψ) = Vec(h e,h e4 ) e (h e,h e4 ) es une base de Im(ψ). iii Comme ψ(h e ) = ψ(h e4 ) =, que ψ(h e1 ) = h e e ψ(h e ) = h e4, la marice de ψ dans V vau 1. 1 Cee marice es de rang, donc dim(im(ψ)) = rg(ψ) =. L image de ψ conien les élémens indépendans h e e h e4 : donc (h e,h e4 ) es une base ψ. 4 cos = h e = ψ(h e1 ). Donc h e1 : cos es une soluion pariculière de (E 1 ). On en dédui la soluion générale de (E 1 ) : somme d une soluion pariculière e de la soluion générale de l équaion homogène associée (E ), soi cos+acos+bsin avec A e B consanes réelles. 3 Parie III 1 Soi un réel posiif. a R +,e 1 e 1 e 1+, donc b La foncion e 1+ es coninue sur R +. D aure par, elle es posiive. D après 1b, elle es dominée au voisinage de + par 1 e, qui es inégrable sur [1,+ [. Donc es inégrable 1+ sur [1,+ [ donc sur R +. Donc l inégrale F(, ) d es convergene. 8
3 On vérifie les hypohèses du héorème de coninuié des inégrales à paramères. * Pour ou R +, la foncion e 1+ es coninue (par morceau) (e inégrable) sur R +. * Pour ou R +, la foncion e 1+ es coninue sur R +. * Dominaion :, R +, e e la foncion es indépendane de, coninue sur R +, inégrable sur R + (id b). Le héorème affirme alors la coninuié de G sur R +. a Les foncions polynômes (,) e (,) 1+ son de classe C sur R e la seconde ne s annule pas. Par composiion avec la foncion eponenielle, de classe C sur R, puis quoien, F es de classe C sur R. On a F e (,) = F(,) = 1+. b Pour, ou bien 1 1+, ou bien 1+ ; donc e 1+ e. Si ǫ, alors e 1+ e ǫ. 1. Donc 1+ i Même raisonnemen qu au 1b en remarquan que e ǫ es dominée au voisinage de + par 1. ii On vérifie les hypohèses du héorème de dérivaion sous une inégrale. * Pour ou R +, la foncion F(,.) : e 1+ es coninue (par morceau) e inégrable sur R +. * F eise sur ]ǫ,+ [ R + e pour ou > ǫ, la foncion F e (,.) : es coninue (par 1+ morceau) (e inégrable) sur R +. * Pour ou R +, la foncion F e (.,) : es coninue sur ]ǫ,+ [. 1+ * Dominaion : > ǫ, R +, F (,) = e 1+ e ǫ elafoncion e ǫ esindépendane de, coninue sur R +, inégrable sur R +. D après le héorème de dérivaion sous une inégrale, la foncion G es dérivable (e même de classe C 1 ) sur l inervalle ]ǫ,+ [ e on a ]ǫ,+ [,G e () = 1+ d. c Comme ou > adme un voisinage du ype ]ǫ,+ [ avec ǫ > e que la dérivabilié es une noion locale, la foncion G es dérivable sur R + e la formule précédene es valable sur ou ce ensemble. 3 On noe φ(,) = F e (,) = F(,) = 1+ de sore que ],+ [,G () = φ(,) d. Soi ǫ >. * Pour ou > ǫ, la foncion φ(,) es coninue (par morceau) e inégrable sur R +. * φ eise sur ]ǫ,+ [ R + e pour ou > ǫ, la foncion φ (,.) : e es coninue (par 1+ morceau) (e inégrable) sur R +. * Pour ou R +, la foncion φ (.,) : e es coninue sur ]ǫ,+ [. 1+ * Dominaion : > ǫ, R +, φ (,) = e 1+ e ǫ e la foncion e ǫ es indépendane de, coninue (par morceau) sur R +, inégrable sur R +. 81
4 D après le héorème de dérivaion sous une inégrale, la foncion G es dérivable (e même de classe C 1 ) sur l inervalle ]ǫ,+ [ e on a ]ǫ,+ [,G () = e 1+ d. On ermine comme au 3c : la foncion G es deu fois dérivable sur R + (e même de classe C ) e la formule précédene es valable sur ou ce ensemble. 4 G()+G () e = 1+ d+ e 1+ d = e 1+ + e 1+ d = Donc G es une soluion de l équaion différenielle E. e d = [ ] 1 + e = 1 5 a Pour ou >, G () e G es coninue sur R +. Donc G es une applicaion décroissane sur l inervalle R +. b Comme G es décroissane e minorée par sur l inervalle R +, G() adme une limie finie posiive lorsque end vers +. Pour > : comme end vers , on a G() e d = 1. Donc G() end vers quand 4 Parie IV 1 La suie (u n ) es croissane e f décroissane. La suie (f(u n )) es donc décroissane. Comme elle es de limie nulle, la série de erme général ( 1) n f(u n ) es convergene (crière des séries alernées). Au voisinage de, sin()f() f(), donc sin()f() adme une limie finie lorsque end vers par valeurs supérieures. On en dédui que la foncion sin() f(), coninue sur R +, es prolongeable par coninuié en, donc inégrable sur l inervalle [, ] pour ou > e, plus généralemen, sur ou segmen de R +. 3 a Sur le segmen [,(n+1)π], par décroissance de f e posiivié de sin(), on a l encadremen En inégran, on obien f((n+1)π) sin() f((n+1)π) sin() f() sin() f(). sin() d w n f() Comme sin es de signe consan sur [,(n+1)π] (celui de ( 1) n ), sin() d = sin() d = =. D où l encadremen demandé. sin() d. b Comme f es une foncion coninue sur [,(n+1)π], il eise u n [,(n+1)π] el que w n = f(u n ). c Sur [,(n+1)π], sin() = sin( +) = ( 1) n sin( ) = ( 1) n sin(). }{{} D où l égalié w n = ( 1) n sin()f() d. 8
5 4 On noe p n = a p n+1 p n = sin()f() d e q n = sin()f() d = sin()f() d. sin()f() d + (n+1)π sin()f() d = ( 1) n w n +( 1) n+1 w n+1 = w n w n+1. Comme au 1, (f(u n )) es décroissane. Donc (w n ) es décroissane e p n+1 p n pour ou n. Concluion : (p n ) es croissane. b De même, q n+1 q n = w n+1 +w n+. Donc (q n ) es décroissane. c q n p n = ( 1) n w n = ( 1) n f(u n ). Comme f a une limie nulle en + e que (u n ) end vers +, (q n p n ) end vers. Les deu suies (p n ) e (q n ) son adjacenes. Elles convergen donc vers une limie commune. { } 5 On dédui de la quesion 4 que la suie sin()f() d converge vers un cerainl. Soi mainenan y. Soi n N el que y < (n+1)y : n es la parie enière de y/π. Alors I f (,y) = sin()f() d + sin()f() d. Dans cee somme, comme n end vers + quand y end vers +, le premier erme end vers l quand y end vers +. De plus sin()f() d sin() f() d sin( )f() d = w n. Comme w n end vers quand n end vers +, sin()f() d end vers quand y end vers +. Finalemen, I f (,y) end vers l quand y end vers +. Pour erminer, I f (,y) = I f (,y) I f (,) end vers l I f (,) quand y end vers +. 6 Il suffi de vérifier que f : 1 saisfai les hypohèses de la parie IV, ce qui es immédia. 5 Parie V 1 Immédia!!! Lechangemende variables (u = +) esimmédiaàrepérer,maisaucunhéorèmeducoursnel auorise car la foncion sous l inégrale n es pas inégrable. On le fai en revenan à la définiion. sin() +y + d = sin(u ) du. Puis on fai endre y vers + e on obien l égalié annoncée dans u l énoncé. 3 En écrivan sin( ) = sin()cos() sin()cos() e en posan dans l une des inégrales u = π/, on obien : sin( ) y sin() y cos() d = cos() d sin() d sin() cos() y cos() = cos() d+sin() d sin() d = cos() On fai endre y vers + : H() = cos() sin() sin() d cos() d cos() sin() 83 π/ sin() d+sin() cos() d+sin() π/ π/ π/ cos() π/ d sin() d sin() u+π/ du. u+π/
6 Comme sin() es prolongeable en une foncion coninue sur R +, R+ (e même R + ) de dérivée sin(). De même, cos() es coninue sur R +, es dérivable sur R+ de dérivée cos(). Par produi e combinaison linéaire, H es dérivable sur R+ e D où H () = sin() H () = sin() +cos() sin() π/ cos() De même, H es dérivable sur R + e H () = cos() sin() sin() sin() d+sin() d+sin(). cos() d cos(). sin() cos() u+π/ du sin() d es dérivable sur π/ cos() sin() cos() + d+sin() d+cos() d cos() π/ u+π/ du. π/ cos() sin() sin() d+cos() d+cos(). cos() d+sin(). sin() +sin() u+π/ du d D où H sin() () = cos() sin() d+cos() d+ 1 +sin() u+π/ du = H()+ 1 4 On reprend l epression de la quesion 3 : H() = cos() d cos() d+sin() sin() sin() { sin() } sin() = cos() d d +sin() }{{} + π/ { π/ Comme sin e cos son bornées, H() end vers quand end vers +. d sin() cos() u+π/ du } + u+π/ du u+π/ du }{{} + 5 La foncion H G es soluion de l équaion (E ) sur R + e a une limie finie en +. D après la première parie, c es donc la foncion nulle. Donc G = H sur R +. F F n i i n À la prochaine 84
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