AEPO / C. FROMENT CORRIGE BTS OL OPTIQUE GEOMETRIQUE ET PHYSIQUE / SESSION 2008

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1 AEPO / C. FROMENT CORRIGE BTS O OPTIQUE GEOMETRIQUE ET PHYSIQUE / SESSION 8 Attention : ce corrigé n a pas de valeur officiel. e barème proposé en fin de correction, est une supposition et n est pas nécessairement celui qui sera adopté lors des corrections officielles. Il ne pourra en aucun servir à des fins personnelles pour d éventuelles contestations de correction. I Etude de l oculaire. objectif oculaire AB A' B' A' B' // Calcul de la distance focale image de l oculaire. On utilise la valeur du grossissement commercial : f ' oc 4,7 mm Pi 4 Gc 4 6 oc // Calcul du paramètre a du doublet : f ' f ' 3a a 3a f ' oc 4,6 f ' oc a 7, 7 mm f ' + f ' e 3a + a a 3 3 a valeur du paramètre a permet le calcul de f, f et : f ' 3a 3 7, 7 83,3 mm a 7, 7 f ' a 7,7 mm 55,5 mm 3 // Pour déterminer la nature, positif ou négatif de cet oculaire il faut calculer la position de son foyer principal objet F oc : f ' oc 4, 6 Foc e f ' oc 55,5 4, 6 4,6 mm f ' 7,7 Puisque F oc >, on en déduit que l oculaire est négatif. On se retrouve avec un oculaire à foyer principal objet virtuel. Pour déterminer si l oculaire est achromatique apparent il faut étudier la relation d achromatisme f ' + f ' Calcul de f ' + f ' : f ' + f ' 83,3 + 7, 7, mm Calcul de : 55,5, mm Conclusion : la relation d achromatisme étant satisfaite, l oculaire est achromatique apparent. Page sur 6

2 II Etude de l objectif. // a condition d achromatisme pour un doublet accolé est (avec les notations du sujet) : ν + ν On en déduit pour le doublet étudié : + 6,5 35,5 6,5 35,5 // Calcul des vergences et : e doublet étant constitué de deux lentilles minces accolées, la relation d association de ces deux lentilles s écrit : f ',8 +,5 En utilisant la relation entre et vue dans la question précédente, on obtient : 6,5 +,5 7, 75 δ 35,5 En reportant dans la relation toujours vue dans la question //, on obtient la valeur de : +,5 7,75, 5 3, 5 δ 3 // Expression de la vergence de la lentille supposée mince en fonction des rayons de courbure R et R : n n + R R es valeurs de R et R étant opposées (car la lentille est équiconvexe), on en déduit : n n n + R R R n 3,5,34 n, 54 III / Etude du viseur. // Calcul de l intervalle optique : observateur est emmétrope, il n accommode pas. On en déduit que l image instrumentale est à l infini et que l image objective A est confondue avec le foyer F oc. a chaîne d image peut s écrire de la façon suivante : objectif AB A Calcul de la position de A : oculaire ' B' [ Foc ] A' B' ( ) A' ' f A A' 3 8 A 8 mm ' On en déduit F oc puis F F oc : Page sur 6

3 F oc A 8 mm ' F' F F' + F mm. oc oc // Calcul du grandissement de l objectif : γ A' 8 3 A,6 3 // éfinition de la puissance P du viseur : On note, pour exprimer cette puissance, y la hauteur de l objet et α l angle exprimé en radian, sous lequel est vue l image. a puissance est alors définie par : α' P, elle s exprime en dioptrie. y On peut également proposer la définition suivante (lorsque l angle α est petit) : tan α' P y Expression de la puissance du viseur en fonction de γ et de la puissance P oc de l oculaire : P Ou alors : P α' α' y' Poc y y' y tan α' tan α' γ y' Poc y y' y Calcul de la valeur de la puissance : (,6) 38, 4 P γ 4 P oc γ 4 // Etude des champs. 4-a // Position et diamètre de la lucarne d entrée. δ Cette lucarne est définie par la conjugaison du diaphragme de champ à travers l objectif : e C (e C étant dans le plan de la lentille ) Position de e : f ' e F f ' oc + Foc e 8 4, 6 e 8 54,3 mm e Page 3 sur 6

4 iamètre de e : φ φ C e e 66, 6 54,3 54,3 φe 8 6, 7 mm 66,6 4-b // Calcul du champ objet. ans l espace objet les éléments nécessaires au calcul du champ sont : a position du plan objet [A], donnée par la distance A a position et le diamètre de la pupille d entrée, confondue pour ce viseur avec le plan de la lentille a position et le diamètre de la lucarne d entrée, vues dans la question précédente. On en déduit le schéma suivant : Y [A] Pupille B tot C B pl 4,3 X lucarne 54,3 ans le repère XY, les coordonnées des points C et sont : C( ; 8,34) (54,3 ; -) On détermine à partir des points C et l équation de la droite (C) : y yc 8,34 8,34 Coefficient directeur : a x xc 54,3 54,3 Ordonnée à l origine : b +8, 34 8,34 Equation de la droite : y ax + b x + 8, 34 54,3 ordonnée du point B pl (limite du champ de pleine lumière) est : 8,34 8,34 y pl x pl + 8,34 4,3 + 8,34 5,47 54,3 54,3 On en déduit la valeur du rayon du champ de pleine lumière dans le plan objet [A] : R pl 5,47 mm. 4-c // Calcul du champ image. On peut utiliser la puissance du viseur, en prenant 5,47 pour la dimension de l objet et en calculant le diamètre apparent α P du demi champ de pleine lumière image : tanα ' P R 38,4 5,47 α, 9 P VIS P 3 ' P Page 4 sur 6

5 Remarque : la puissance a été utilisée en valeur absolue (le sens de l image n étant pas étudié dans cette question). 4-d // Pour éliminer le champ de contour, il faut placer un diaphragme dans le plan de l image intermédiaire réelle (ici le plan [F ]), le diamètre de ce diaphragme étant égal à celui du champ de pleine lumière déterminé dans le même plan. On doit donc déterminer la valeur du champ dans le plan [F ] : On utilise la valeur du champ image et la distance focale image de la lentille : P ( F ) f tan ' 7, 7 tan,9 5, 83 R α mm ' P e diamètre du diaphragme placé dans le plan [F ] sera donc au minimum de,7 mm. 4-e // Schéma en dernière page. OPTIQUE PHYSIQUE I // Schéma montrant la construction de deux rayons diffractés : rayon () rayon ( ) i i rayon () F rayon ( ) H H F Convention de signe : sens direct trigonométrique sens positif. Sur le schéma, l angle i est négatif et l angle i positif. II // a différence de marche est la somme des deux segments en traits épais dont l expression est : δ H F + F H a sin i + a sin ' avec a le pas du réseau. i III // es deux rayons diffractés interfèrent avec un maximum d intensité si δ kλ. On obtient alors à partir de cette condition et de l expression de δ, la relation des réseaux : a sin i + a sin i' kλ où k est l ordre de diffraction e pas a du réseau et le nombre N de traits par unité de longueur sont reliés par la relation suivante : a N a relation demandée est donc la suivante : sin i ' sin i Nkλ Page 5 sur 6

6 IV // incidence est nulle, donc l angle i vaut et la relation précédente devient : sin i ' Nkλ Pour λ : sin i ' Nkλ Exprimée en nanomètre, on obtient : sin i' λ Nk sin6, ,68 mm λ 468 nm ce qui correspond à une longueur d onde dans le bleu. es calculs sont identiques pour les deux autres longueurs d onde, et on obtient : λ 58 nm ce qui correspond à une longueur d onde dans le vert. λ3 644 nm ce qui correspond à une longueur d onde dans le rouge. V // Pour déterminer si les ordres et sont superposés il faut comparer les angles i pour λ3 à l ordre (donc i 3 ) et i pour λ à l ordre. Il faut donc calculer le second angle : sin ' 59 4,68 4 i i' ( λ ; ) 33, 5 k Cet angle étant supérieur à i 3 (valant,3 ), les spectres sont isolés. VI // a déviation est définie par la relation : i' i Au minimum de déviation, on a symétrie entre le faisceau incident et diffracté, et les angles i et i sont opposés. a relation des réseaux devient alors : ( i' ) sin i' knλ sin i ' sin i sin i' sin En reprenant la définition de la déviation et la condition i -i, on obtient : m i' i i' + i' i' i ' m On obtient finalement la relation demandée : m sin knλ Calcul de la valeur m : m 6 sin ,8 m 5,86 Barème supposé : OG : I sur 3 points, II sur,5 points, III sur 9,5 points. OP : sur 5 points. Page 6 sur 6