PROBABILITES CONDITIONNELLES

Transcription

1 PROAILITES CONITIONNELLES I INTROUCTION On considère les données suivantes, concernant le personnel d'une entreprise de 1500 personnes, suite à une étude sur le travail à temps partiel, selon le sexe des individus. F Femmes H Hommes total Plein temps A Temps Partiel total T ableau de Caroll (Lewis) 1. Quelle est la probabilité, en tirant au hasard un nom sur le listing de l'entreprise, de tomber sur une personne travaillant à temps partiel (événement noté A)? card (A) On a une probabilité uniforme, c'est à dire que les événements élémentaires sont équiprobables, on a donc : P (A) = card () = 600 = 0:40 soit 40%; cette probabilité est en terme statistique, la fréquence du caractère temps partiel dans la population totale 1500 de cette entreprise. 2. Quelle est la fréquence du caractère temps partiel dans la population féminine de cette entreprise? card (A \ F ) Cette fréquence est : f = = 300 = 0:60 soit 60% ; c'est la proportion d'employés travaillant à temps partiel parmi card (F ) 500 les femmes; on a changé d'univers, on travaille non plus sur la population totale ; mais sur F: On notera que la fréquence f peut card (A \ F ) card (A \ F ) card () s'écrire : f = = = P (A \ F ) ; cette fréquence relative, sera notée P (A=F ) ; lu P de A sachant card (F ) card (F ) P (F ) card () F (réalisé) ou P F (A) : II PROAILITE CONITIONNELLE 1. dénition : Soit un univers ;et un événement ;de probabilité non nulle ; pour tout événement A de ;on dénit : P(A \ ) P (A) = P() cette probabilité, se lit :"P de A conditionné par " et était notée avant également : P (A=) (on a changé d'univers, on travaille sur et non plus sur ): 2. Remarque : on notera que si la connaissance de la réalisation de double la probabilité de la réalisation de A; c'est à dire si : P (A) = 2P(A); alors on a également P A () = 2P():émontrer le. 3. Propriétés : On démontre que P est une probabilité sur ; elle en vérie donc toutes les propriétés ; en particulier : a. 0 P (A) 1 b. P () = 1 c. Si A 1 et A 2 sont incompatibles (A 1 \ A 2 = ;) : P (A 1 [ A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) d. P (A=) = 1 P (A=) c'est à dire P (A) = 1 P (A). III THEOREME ES PROAILITES COMPOSEES 1. Théorème : Il vient directement de la dénition d'une probabilité conditionnelle : P(A \ ) = P (A) P() P(A \ ) = P A () P(A) 2. ATTENTION : Ne pas confondre P (A \ ) et P (A) ; celà semble simple...mais c'est une source d'erreur très fréquente. Reprenons l'exemple de l'introduction : Quelle est la probabilité p 1 ;en tirant au hasard un nom sur le listing de l'entreprise, de tomber sur une femme travaillant à temps partiel? Quelle est la probabilité p 2 de tomber sur une femme, sachant qu'il s'agit d'une personne travaillant à temps partiel? page 1 UFR 14 Université Paris 8

2 2 PROAILITES CONITIONNELLES p 1 = P (A \ F ) = = 1 5 = 0:20 et p 2 = P (F=A) = = 0:5: 3. Promenades aléatoires : la règle multiplicative I 0:50 % F P (F \ A) = 0:4 0:5 = 0:20 = 3 15 A 0:40 % 0:50 F P F \ A = 0:4 0:5 = 0:20 = : % F P (F \ ) = 0: = F P F \ = 0: = 7 15 T otal : 1 Representation par un arbre IV INEPENANCE 1. énition : A et indépendants () P (A) = P(A) ou P(A \ ) = P(A) P() ceci revient à dire que la réalisation de l'un n'inue pas sur la réalisation de l'autre. eux événements sont dépendants si P (A) 6= P (A) :::: Remarque : Il faut bien distinguer incompatibilité et indépendance ; on note A;l'événement : obtenir l'ue mineure et : " avoir 20 en statistiques et mathématiques appliquées ; Que pensez -vous des événements A et du point de vue de l'incompatibilité et de l'indépendance? 2. Exemple: Femmes- Hommes - Fumeurs- A Non-fumeurs -A Les événements A et sont-ils indépendants? même question pour A et : 3. Epreuves répétées : a. Exemple Si on joue deux fois de suite à pile ou face et que l'on note A 1 l'événement : obtenir face au premier jet et A 2 : obtenir face au deuxième jet, il est clair que ces deux événements sont indépendants, car la pièce n'a aucune mémoire et le résultat du premier jet n'a ancune inuence sur le résultat du second. b. Règle : le cas des épreuves répétées identiques, est le seul cas où l'on pourra afrmer l'indépendance de deux résultats; on retrouvera cette notion importante dans le schéma de ernoulli.ans les autres cas, on doit tester l'indépendance éventuelle par le calcul. 2 UFR 14 Université Paris 8

3 PROAILITES CONITIONNELLES V THEOREME ES PROAILITES TOTALES 1. Exemple Une agglomération est constituée de trois villes, V 1 ; V 2 et V 3 ; 40% des gens habitent V 1 ;25%V 2 et 35% V 3 : Une enquête a révélé que ces trois villes comportent respectivement 10%, 20% et 30% de fumeurs.on prend au hasard une personne sur le listing des habitants de l'agglomération ; quelle est la probabilité de l'événement F : la personne fume. V 1 0:10 % F P (F \ V 1 ) = 0:4 0:1 = 0:0 4 0:40 % 0:90 F P F \ V 1 = 0:4 0:9 = 0:36 0:20 % F P (F \ V 2) = 0:25 0:20 = 0:0 5 I 0:25! V 2 0:35 V 3 2. LE THEOREME 0:80 F P F \ V 2 = 0:25 0:80 = 0:20 0:30 % F P (F \ V 3) = 0:35 0:30 = 0:105 0:70 F P F \ V 3 = 0:35 0:7 = 0:245 Total : Xi=n P (A) = P i (A) P ( i ) i=1 5 Les i constituant une PARTITION de 3. La représentation par un arbre 3 4 On peut noter sur l'arbre que la probabilité de l'évenement F est la somme des probabilité des différents chemins aléatoires menant à la réalisation de F: VI LE THEOREME E AYES( ): probabilité des causes 1. EXEMPLE Une société a effectué 200 expéditions de radios à ses revendeurs et a acquis la réputation de faire de mauvais contrôle de qualité. ans les 128 premières expéditions, il y avait 44% de radios defectueuses; après des mesures de remaniement, le taux de radios defectueuses dans les 72 envois restants a été réduit à 15%. En tant que responsable d'un magasin, vous devez prendre une décision quant à une livraison de ces radios qui a été stockée dans un de vos entrepôts : garder la livraison ou la renvoyer, that is the question. a. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une bonne livraison? b. Pour tester la livraison, vous prenez une radio au hasard ; cette radio est defectueuse ; quelle est maintenant la probabilité qu'il s'agisse d'une mauvaise livraison? d'une bonne? Solution : c. Question a : A PRIORI (avant le test). Notons l'événement la livraison est bonne et l'événement contraire ; de même : " la radio tirée est defectueuse et son contraire. P () = = 0:36 et P () = = 0:64: A page 3 UFR 14 Université Paris 8

4 4 PROAILITES CONITIONNELLES d. Question b : A POSTERIORI ( après le test) P ( \ ) P () = ; on connait P P () () = 0:44; ce qui donne :P ( \ ) = P () P () = 0:44 0:64 = 0: 281 6: Il reste à calculer P (); nous utiliserons le théorème des probabilités totales: P () = P () P () + P () P () = 0:44 0:64 0:36 0:15 + 0:64 0:44 = 0: On en déduit: P () = ' 0: 839 1: On en conclut que si la radio choisie 0:3356 au hasard est defectueuse, il est très vraisemblable qu'elle provienne d'une mauvaise livraison.il faut sans doute renvoyer la livraison. 0:15 % 0:36 % 0:85 0:64 0:44 % 0:56 ARRE 0:84 % 0:3356 % 0:16 0:6644 0:46 % 0:54 ARRE INVERSE 2. LE THEOREME Les événements i formant une partition de l'univers (système complet d'événement) : La probabilité que i soit la cause de la réalisation de A est : P A ( i ) = P i (A) P ( i ) P (A) = i (A=) P ( i ) P Pj (A) P ( j ) Cette probabilité mesure le poids probabiliste du chemin aléatoire allant vers A et venant de i comparé à la somme des probabilités de tous les chemins conduisant à A: Application : reprenons l'exemple 1 du paragraphe 5 et calculons : P F (V 3 ) = V 3(F ) P (V 3 ) P PVj (F ) P (V j ) = 0:30 0:35 ' 0: 538 5: 0:10 0:40 + 0:20 0:25 + 0:30 0:35 VII"TO E OR NOT TO E" VII.1 Epreuve de ernoulli 1. énition : On appelle épreuve de ernoulli, une expérience aléatoire admettant deux résultats possibles que l'on pourra noter S (succès) et E = S (échec). On note p la probabilité d'un succès et q = 1 p la probabilité d'un échec. p = P (S) et q = P S ; p est appelé le paramètre de l'épreuve. 2. Variable de ernoulli On appelle variable aléatoire de ernoulli, l'application notée X; de l'univers dans f0; 1g dénie par : X(!) = 1 si! 2 S : X() = f0; 1g est l'ensemble des valeurs possibles de X ; on l'appelle l'univers image. X(!) = 0 si! =2 S 3. Loi INOMIALE (1; p) a. Exemple : On tire deux cartes d'un jeu de 52 cartes et on appelle succès, l'événement : les deux cartes tirées sont de même couleur (il y a quatre couleurs : pique, coeur, carreau et treie ).Soit X la variable aléatoire de ernoulli associée: X = 1 si les deux cartes sont de même couleur ; déterminons P (X = 1) et P (X = 0) ; on aura déterminé la loi de probabilité de X: Card() = 52 X = 0 si elles sont de couleurs différentes 2 et Card(X = 1) = donc p = P (X = 1) = = ' 0: et q = P (X = 0) = 1 p ' 1 0:2353 = 0: b. énition : éterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire, c'est déterminer l'ensemble des nombres p i = P (X = x i ) quand i prend toutes les valeurs de f1; 2; ::; ng : ans le cas d'une variable de ernoulli, cette loi sera notée (1; p) (voir suite), 1 désignant le nombre de parties et p la probabilité de succès lors d'une partie. 4 UFR 14 Université Paris 8

5 PROAILITES CONITIONNELLES VII.2 Schéma de ernoulli 1. Jacobi ernoulli ( ) est un des huit mathématiciens que donna la famille ernoulli, sur trois générations, de 1650 à 1800; son célèbre ouvrage de probabilité Ars conjectandi fut publié en 1713, quelques années après sa mort. On appelle schéma de ernoulli, une suite de n épreuves de ernoulli, identiques et indépendantes; on note X le nombre de succès, à l'issue des n parties ; X est une variable aléatoire, c'est à dire une application de l'univers des cas possibles dans IR: L'ensemble des valeurs possibles de X, appelé univers image, et noté X(); est : X() = f0; 1; 2; :::; ng ; c'est le nombre de points que l'on peut avoir à l'issue de n parties, si à chaque partie, on marque un point pour une partie gagnante et 0 en cas de perte; X est le compteur des succès.on a pour k entier naturel variant de 0 à n : On dit que X suit la loi binomiale (n; p) ( n parties). On retrouve ici la patte du Lion, Isaac Newton :(p + q) n = l'univers). 2. Justication rapide de la formule : P (X = k) = n k p k q n k k=n X k=0 k=n X n k p k q n k = 1, qui donne P (X = k) = 1 (probabilité de On suppose que l'on joue 5 fois de suite à pile ou face, avec une pièce truquée, telle que la probabilité de faire face soit de 1 3 : Si l'on joue 5 fois de suite, on a évidemment un schéma de ernoulli ; notons X le nombre de face obtenu à l'issue des 5 parties, et calculons P (X = 3) ; fx = 3g = f(1; 1; 1; 0; 0) ; (1; 1; 0; 1; 0) (1; 1; 0; 0; 1) ; ::::; (0; 0; 1; 1; 1)g ; Il est clair que ces événements élémentaires sont équiprobables et que du fait de l'indépendance, chacun a pour probabilité : ; il reste à les compter 3 3 compter pour déterminer P (X = 3): pour les dénombrer il suft de calculer le nombre de possibilités de positions pour les trois succès parmi les cinq parties : il y en a donc P (X = 3) = : 3 3 ans le cas général, c'est la même chose : pour (n; p) ; X () = f0; 1; 2; :::; ng : Si k 2 X () ; chaque événement élémentaire de l'événement fx = kg est un n uplet formé de k chiffres 1 et de (n k) chiffres 0; par exemple : (1; 1; 1; 1; :::; 1; 0; 0; :::; 0) ; {z } {z } chaque événement élémentaire a une probabilité de : p k q n k (indépendance) et il y en a n k : le nombre de possibilités de choisir la place des k succès parmi les n parties. C.Q.F.. 3. Fonction de répartition : on appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X;la fonction F dénie de R dans [0; 1] ; par : F (x) = P (X x) Cette fonction de répartition est à rapprocher des effectifs cumulés croissants en statistique. a. Exemple : Calculs et représentation : la loi (5; 1=3) : loi de probabilité et fonction de répartition. k=0 k succes (n-k) echecs k P(X=k) F(k) 0 0,1317 0, ,3292 0, ,3292 0, ,1646 0, ,0412 0, ,0041 1,0000 Total 1, page 5 UFR 14 Université Paris 8

6 6 PROAILITES CONITIONNELLES b. Calculatrice : la calculatrice utilise le menu ISTR (2nd VARS), et la fonction binompdf( n; p; k) pour la loi de probabilité La fonction binomcdf( n; p; k) désigne la fonction de répartition (c pour cumulée). VIIIEXERCICES 1. On considère les résultats suivants provenant des départements de Lettres et de Sciences d'une université : LETTRES SCIENCES Etudiants Inscrits Reçus Inscrits Reçus Garçons Filles a. On considère le département de Lettres: Les évènements être reçu et être une lle sont-ils indépendants? b. Même question dans le département de Sciences. c. Même question dans l'université, pour l'ensemble des deux départements.commenter. 2. Un detecteur de mensonges est able dans 90% des cas, tant pour détecter les menteurs que ceux qui disent la vérité. Pour réduire les vols, une grande surface licencie tous les employés détectés par l'appareil. Avant la mise en place du détecteur, la proportion de voleurs était p = 0:1. a. Calculer la probabilité qu'un individu licencié soit un voleur. b. On note r la probabilité qu'un individu licencié soit un voleur. Exprimer r en fonction de p et compléter le tableau suivant: p 0; 1 0; 05 0; 01 0; Une urne contient 7 boules rouges et 5 boules bleues. a. On tire simultanément trois boules de cette urne. Quelle est la probabilité d'obtenir trois boules de même couleur? b. On tire cette fois les trois boules successivement et sans remise. reprendre la question précédente. 4. On jette n pièces, et on dénit les événements : A : "obtenir exactement deux fois le même résultat " et :" obtenir au moins deux fois pile ". a. Calculer les probabilités des événements A et. b. Etudier leur indépendance dans les deux cas suivants : i. n = 2 ii. n = 3 5. Le roi est issu d'une famille de deux enfants, quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une lle? 6. Le dirigeant d'une société constate que 70% des cadres embauchés sont encore dans l'entreprise 5 ans après. Il recrute 6 jeunes cadres. Calculer la probabilité que cinq ans après : a. Les 6 nouveaux cadres soient encore dans l'entreprise. b. Quatre d'entre eux aient quitté l'entreprise. 7. eux événements A et de probabilités respectives non nulles sont disjoints. Etudier l'indépendance de ces événements. P (A) P () P (A [ ) cas1 0:1 0:9 0:91 8. ; Etudier dans chaque cas l'indépendance des événements A et. cas2 0:4 0:6 0:76 cas3 0:5 0:3 0: UFR 14 Université Paris 8

7 PROAILITES CONITIONNELLES 9. Pour dépister une maladie, on applique un test. Si le patient est effectivement atteint, le test donne un résultat positif dans 99% des cas. Mais il se peut aussi que le résultat du test soit positif alors que le consultant est en bonne santé, et ceci se produit dans 2% des cas.on sait qu'en moyenne, un consultant sur 1000 est atteint de la maladie. a. Calculer la probabilité pour qu'un consultant soit atteint de la maladie et que son test soit positif. b. Calculer la probabilité pour qu'un consultant soit atteint de la maladie sachant que son test est positif. 10. Pour garantir l'anonymat dans certaines enquêtes par sondage, on introduit le hasard dans les réponses possibles. Pour déterminer la proportion de médecins ayant pratiqué l'avortement illégallement (avant la loi), on a demandé à chaque médecin interrogé de se retirer dans son cabinet et de jouer à pile ou face de la façon suivante.? S'il obtient pile, il doit répondre par oui ou par non à la question : avez vous un jour pratiqué l'avortement illégal??s'il obtient face, il doit rejouer à pile ou face et répondre par oui ou par non à la question : avez vous obtenu face la 2ème fois? Quand le médecin sort de son cabinet, le seul mot qu'il échange avec l'enquêteur est oui ou non; il est donc protégé car l'enquêteur ne sait pas à quelle question il répond, et celà réduit au maximum les non-réponses et les fausses réponses. L'enquêteur ne tire aucun renseignement sur la réponse de chaque individu, mais va en tirer une réponse globale sur la pratique de l'avortement illégal. a. On suppose que 20% des médecins ont pratiqué l'avortement illégal. éterminer la probabilité qu'un médecin sondé réponde oui à l'enquêteur. b. On suppose que l'enquêteur a récolté 41% de oui, en déduire la probabilité pour qu'un médecin ait pratiqué l'avortement illégal. 11..Le professeur Nébuleux voyage par avion de Los Angeles à Paris, avec deux escales : New York et Londres. La probabilité de perdre un bagage est la même, p, à Los Angeles, New York et Londres. Arrivé à Paris, le professeur Nébuleux constate l'absence de sa valise. Calculer les probabilités que celle -ci soit restée à Los Angeles, New York et Londres respectivement. 12. ans une région pétrolifère, la probabilité pour qu'un forage conduise à une nappe de pétrole est de 1 10 : a. Quelle est la probabilité pour que sur 10 forages, 3 conduisent à une nappe de pétrole? b. On effectue n forages; déterminer le nombre minimal (n) de forages nécessaires, pour atteindre au moins une fois une nappe de pétrole, avec une probabilité supérieure ou égale à 50%? page 7 UFR 14 Université Paris 8