Chapitre 1. La géométrie Plane. Rappels du cours du secondaire... I.1...sur le monde affine

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1 Chapitre 1 La géométrie Plane I Rappels du cours du secondaire... I.1...sur le monde affine C est celui qui s occupe des objets et des propriétés suivantes : points, vecteurs, droites, alignements, intersection de droites, segments, colinéarité, barycentres. Nous noterons P le plan euclidien maintes fois vu en TS. Soient u un vecteur du plan et A, B P. Si AB = u, on note B = A + u. Rappelons que la colinéarité de u et v signifie l inexistence d un réel x qui vérifie soit u = x v, soit v = x u. Mais les mathématiciens n aiment pas la non existence et préfèrent la formulation suivante : Définition I.1 (Colinéarité) Soient u et v deux vecteurs du plan. Ils sont dits non colinéaires lorsque pour tous x, y réels, si x u + y v = 0, alors x et y sont nuls. Une base du plan P est un couple ( u, v) de vecteurs non colinéaires. u et v sont colinéaires lorsqu il existe deux réels x et y non tous nuls (i.e dont l un au moins est non nul) tels que x u + y v = 0. Ainsi le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan car 0. u = 0. D où l on déduit sans difficulté notre première proposition de l année : Proposition I.2 Soient u, v deux vecteurs non colinéaires et x, y, a, b quatre réels. Alors si a u + b v = x u + y v, nous avons a = x et b = y. Démonstration : Les propriétés élémentaires des lois sur les ensembles de vecteurs impliquent que (a x) u + (b y) y = 0, et on conclut avec la non-colinéarité des deux vecteurs. L intérêt des bases réside dans le résultat suivant : Propriétés I.3 Soient B := ( u, v) une base de P. Alors pour tout vecteur w, il existe un unique couple 1

2 de réels (x, y) tel que w = x u + y v. x sont les composantes de w dans la base B. y Un repère de P est un triplet (Ω, u, v) où Ω est un point quelconque du plan et u et v sont deux vecteurs non colinéaires. On appelle cordonnées cartésiennes du point M P dans le repére R les composantes de ΩM dans la base B. Remarque : En effet, ce procédé, qui remonte à Descartes, construit une bijection entre le plan et R 2. Il permet de transformer un problème géométrique en une question analytique, offrant ainsi un nouveau débouché à l algèbre et l analyse. I.2...sur le monde euclidien Apparait ensuite le monde euclidien, celui où il devient possible de mesurer, et dont l outil principal est la distance dite euclidienne, dont découleront les notions d angle, orthogonalité, cercle, aire. Nous suivrons pour ce cours seulement (et parce que c est l esprit de cette première partie de l année) la structure proposée dans le cursus du secondaire, à savoir que nous admettrons que nous savons mesurer les angles, et que nous disposons d une distance dite euclidienne dont l expression dans une base orthonormée découle du théorème de Pythagore. Un tel exposé présente l avantage de mettre immédiatement à disposition l outil mathématique, en particulier pour l optique géométrique, mais fait peu de cas de la cohésion interne des mathématiques qui est la base de son élégance. Les objets correspondent à l intuition géométrique que nous en avons, mais cette construction ne bénéficie pas d une assise rigoureuse et ne permet pas de savoir en particulier si l aire dépend du produit scalaire, ou si c est l inverse. Heureusement, nous verrons ultérieurement qu il suffit de définir dans une base quelconque B 0 le produit scalaire de deux vecteurs par la formule bien connue pour disposer sans efforts de la notion d orthogonalité et de norme de vecteurs. On constatera que la base B 0 est orthonormée, puis quelques efforts supplémentaires permettront la définition de ce qu est un angle. Nous fixons ici les notations : Dans tout ce cours, P est le plan euclidien usuel. On CHOISIT un repère orthonormé direct (ROND) R 0 = (O, i, j), dans lequel par défaut toutes les composantes seront calculées. Ainsi, pour tous réels x et y, x i + y j 2 = x 2 + y 2 et AB = A B = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2, si (x A, y A ) sont les coordonnées du point A et (x A, y A ) celles de B. Intéressons-nous aux angles maintenant, qui est la notion la plus délicate et pour laquelle nous nous appuierons le plus sur votre intuition. Ne pouvant dire que 0 est égal à 2π sans risque que tout l édifice mathématique ne s écroule, nous dirons de deux nombres qu ils sont congrus l un à l autre modulo 2π : Définition I.4 Soient x, y deux réels. Nous noterons x y mod 2π lorsqu il existe un entier relatif k tel que x y = k 2π. Voici les propriétés que vérifie cette relation : 2

3 Propriétés I.5 Soient x, y, z trois nombres réels. x x mod 2π. Si x y mod 2π, alors y x mod 2π. Si x y mod 2π et y z mod 2π, alors x z mod 2π. Si x y mod 2π, alors ax ay mod a 2π, pour tout réel a non nul. Les angles possèdent plusieurs mesures, que nous noterons en radians. Par exemple, si π/2 est une mesure de notre angle, il en est de même de π/2 + 2π, ainsi que π/2 8π. Nous en distinguerons une, la mesure principale : c est l unique mesure comprise dans l intervalle [0, 2π[. Nous noterons donc, si α est une mesure de l angle orienté entre les deux vecteurs u et v, θ or ( u, v) α mod 2π. On traduit facilement en particulier la coliéarité et l orhtogonalité sur les angles orientés : Définition I.6 Soient u, v deux vecteurs non nuls. Alors ils sont colinéaires ssi θ or ( u, v ) 0 mod π. ils sont orthogonaux ssi θ or ( u, v ) π/2 mod π. Les propriétés des angles orientés sont les suivantes : Propriétés I.7 Pour tous vecteurs u, v, w non nuls, θ or ( u, v) θ or ( v, u) mod 2π, θ or ( u, v) π + θ or ( u, v) mod 2π, θ or ( u, v) + θ or ( v, w) θ or ( u, w) mod 2π. Une base ( u, v) sera dite directe lorsque θ or ( u, v) sera congru à un angle compris dans l intervalle ]0, π[. Nous utiliserons presque exclusivement les bases orthonormées directes (BOND) : Définition I.8 Soient u et v deux vecteurs du plan. ( u, v ) est une BOND lorsque u = v = 1 et que θ or ( u, v ) π/2 mod 2π. Une BOND est évidemment une base au sens où nous l avons définie dans le chapitre précédent. Remarque : Attention aux angles non-orientés ( u, v) [0, π]. ( u, v) = ( v, u), donc cette notion d angles ne vérifie pas la relation de Chasles. Ce sont les angles dont il s agit dans le théorème sur la somme des angles d un triangle. A la demande de Mme Ponsolle, je vous rappelle ce que sont les fonctions cos, sin, tan sur le cercle trignonométrique ainsi que dans un triangle rectangle. 3

4 II Repérage du point d un plan II.1 Les coordonnées polaires O est appelé pôle et (O, i) axe polaire. Définition II.1 Soit M P. Un système de coordonnées polaires de M (SCP) est un couple (r, θ) de réels qui vérifie OM = r(cos θ i + sin θ j) Remarque : Un SCP n est pas unique. On parle du couple de coordonnées cartésiennes, mais des couples de coordonnées polaires. Les SCP de l origine O sont tous les couples (0, θ), où θ est un réel quelconque. Si (r, θ) est un SCP, alors ( r, θ + π) aussi. r 1 = r 2 et θ 1 θ 2 mod [2π], ou Pour résumer, (r 1, θ 1 ) et (r 2, θ 2 ) sont deux SCP de M ssi r 1 = r 2 et θ 1 θ 2 + π mod [2π]. Pour passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes, pour tout r 0, x = r cos θ y = r sin θ r = x 2 + y 2 cos θ = x/r sin θ = y/r. II.2 Changement de repère orthonormé Proposition II.2 Si ( u, v) est une BOND du plan, alors où θ est une mesure de θ or ( i, u). u = cos θ i + sin θ j, v = sin θ i + cos θ j Démonstration : Que u soit égal à cos θ i + sin θ j vient des définitions même de cos et sin. De même, puisque v est directement orthogonal à u, v est le vecteur cos(θ+π/2) i+sin(θ+ π/2) j = sin θ i + cos θ j (se conférer aux relations de trigonométrie). Le vecteur cos θ i + sin θ j sera noté u θ et le vecteur sin θ i + cos θ j sera noté v θ (notation qui deviendront u r et u θ en physique). Proposition II.3 Fixons deux repères orthonormés directs (ROND) R = (O, i, j) et R = (Ω, u, v). Notons (a, b) les coordonnées de Ω dans le repère R. Soit M un point du plan de coordonnées (x, y) dans R et de coordonnées (x, y ) dans 4

5 R. Alors, en notant θ une mesure de θ or ( i, u), nous avons la relation : x = a + x cos θ y sin θ, y = b + x sin θ + y cos θ Démonstration : Rappelons pour commencer que la phrase M un point du plan de coordonnées (x, y) dans R et de coordonnées (x, y ) dans R signifie précisément OM = x i + y j et ΩM = x u + y v. x i + y j = OM = OΩ + ΩM = ( a i + b j ) + ( x u + y v ) = ( a i + b j ) ( + x ( cos θ i + sin θ j ) + y ( sin θ i + cos θ j ) ) v = ( a + x cos θ y sin θ ) i + ( b + x sin θ + y cos θ ) j. On conclut grâce à la première proposition de l année. III Produit scalaire et Déterminant Ce sont deux outils pratiques qui traduisent l orthogonalité ou la colinéarité de deux vecteurs à l aide d une équation intrinsèque, i.e qui ne nécessite pas l introduction d une variable auxiliaire. III.1 Le déterminant Soient u et v deux vecteurs du plan et A, B, C, D quatre points tels que u = AB, v = AC et AD = AB + AC. Notons det( u, v) l aire algébrique du parallélogramme ABCD. Par algébrique, nous signifions 0 si les deux vecteurs sont colinéaires, det( u, v) = +A(ABCD) si ( u, v ) est une base directe A(ABCD) si ( u, v ) est une base indirecte. L avantage de cette définition, outre qu elle est purement géométrique, est qu elle permet d établir sans difficulté les propriétés essentielles. Pour commencer : Propriétés III.1 Le réel det( u, v) est nul si et seulement si u est colinéaire à v. On peut la reformuler ainsi : ( u, v) est une base ssi son déterminant est non nul, et elle est alors directe ssi il est strictement positif. L aire d un triangle s exprime depuis le collège à l aide de la fonction sinus, ce qui nous permet d écrire (remarquer que les signes coïncident) : det( u 1, u 2 ) = u 1 u 2 sin θ or ( u 1, u 2 ). (1.1) 5

6 On en déduit l inégalité d Hadamard det( u 1, u 2 ) u1 u 2, l égalité étant vérifiée ssi les deux vecteurs sont orthogonaux. Etablissons maintenant une expression simple de cette aire en fonction des composantes des deux vecteurs dans une BOND : Propriétés III.2 Soient deux vecteurs u x y et v x BOND, alors det( u, v ) = xy x y y dont les coordonnées sont exprimées dans une Démonstration : Passons en coordonnées polaires en posant x = r cos α y = r sin α et x = r cos β y = r sin β, où r, r 0. Alors, l angle orienté entre u et v vaut β α. On peut donc commencer le calcul : det( u, v ) = u v sin θ or ( u, v ) = rr sin(β α) = rr (sin β cos α sin α cos β) = xy x y. Le point clé et la beauté de cette quantité est qu elle est linéaire par rapport à u et à v : Propriétés III.3 Le déterminant est une application antisymétrique, et bilinéaire, ce qui signifie : Pour tous vecteurs u, v, w et x, y réels, Pour tous vecteurs u, v, det(x u + y v, w ) = x det( u, w ) + y det( v, w ). det( u, v ) = det( v, u ). Remarque : Montrer que l ensemble d équation cartésienne det( AM, u) = α, où α R, est une droite. Le déterminant permet dans la pratique de vérifier l alignement, ou de trouver des expressions cartésiennes de droites : M(x, y) appartient à la droite passant par A et parallèle à (BC) ssi det( AM, BC) = 0. Dans une base quelconque, l expression xy x y ne représente plus l aire euclidienne, mais garde la caractérisation de la colinéarité. III.2 Le produit scalaire Pythagore (-580) nous incite à poser : et à en déduire : u. v = u + v 2 u 2 v 2, 2 6

7 Propriétés III.4 u. v = 0 ssi u est orthogonal à v. Formule d Al-Kashi (1380, Perse) : u 1 + u 2 2 = u u u 1. u 2. Calculons tout de suite son expression dans une bon : Propriétés III.5 Dans toute BON, u. v = xx + yy. Démonstration : Il suffit d utiliser la définition de la norme euclidienne dans toute BON. De là on déduit l essentiel : Propriétés III.6 Le produit scalaire est bilinéaire et symétrique. Démonstration : C est la même que pour le déterminant. Lemme 1 Soit u un vecteur dont les composantes sont (a, b) dans une BOND. Alors le vecteur v de composantes ( b, a) est l image de u par la rotation d angle π/2, i.e : v = u, θ or ( u, v ) π/2 mod 2π. Démonstration : Le premier point est immédiat. Quand au deuxième, le produit scalaire u. v = a ( b)+b a = 0, donc θ or ( u, v ) ±π/2 mod 2π. De plsu, det( u, v ) = a 2 +b 2 > 0, donc sin θ or ( u, v ) > 0 et la base ( u, v ) est par conséquent directe. La seule solution possible est : θ or ( u, v ) π/2 mod 2π. Propriétés III.7 Soient u 1, u 2 deux vecteurs non nuls. u 1. u 2 = u 1 u 2 cos θ or ( u 1, u 2 ). Inégalité de Cauchy-Schwarz : u 1. u 2 u 1 u 2 avec égalité ssi les deux vecteurs sont colinéaires. Démonstration : Notons α une mesure de l angle entre ces deux vecteurs, et posons v le vecteur de composantes ( b, a) si (a, b) sont celles de u 1, et (a, b ) celles de u 2. Alors u 1. u 2 = aa + bb = a b b a = det( u 2, v ) = u 2 v sin θ or ( u 2, v ) = u 2 v sin = u 2 u 1 sin ( α + π/2) = u 1 u 2 cos α. ( θ or ( u 2, u 1 + θ or ( u 1, ) v L inégalité de Cauchy-Schwarz se déduit de cos α 1, et le cas d égalité de cos α = ±1 ssi α est congru à π/2 modulo π. 7

8 Remarque : Le produit scalaire permet dans la pratique de trouver des expressions cartésiennes de perpendiculaires : M(x, y) appartient à la droite passant par A et perpendiculaire à (BC) ssi AM. BC = 0. Ainsi si A(1, 1), B(2, 3) et C( 1, 3), cette droite admet pour équation cartésienne x 1 y 1. 3 = 0. 0 Résoudre AM. u = α. On prouvera que l ensemble de solutions est une droite de vecteur normal u. Résoudre AM. BM = 0 en introduisant le milieu I de [AB]. On prouvera que l ensemble de solutions est le cercle de diamètre [AB]. IV Droites et Cercles IV.1 droites Equations Cartésiennes Soit ( ) une droite. Elle possède une équation cartésienne du type ax + by = c, où (a, b) (0, 0). Le vecteur de composantes (a, b) est alors un vecteur normal de ( ). Réciproquement, si (a, b) (0, 0), l ensemble d équation cartésienne ax + by = c est une droite de vecteur normal u (a, b). Deux droites d équations cartésiennes respectives ( ) : ax + by = c et ( ) : a x + b y = c sont a b parallèles si et seulement si a b = 0, confondues si et seulement s il existe un réel t tel que a = ta, b = tb, c = tc, a b sécantes si et seulement si a b 0. Lorsque ces deux droites sont sécantes, le point d intersection de ces deux droites est ax + by = c celui dont les coordonnées (x, y) vérifient le système (Σ) a x + b y = c a b Le réel d = a b est appelé déterminant de (Σ). Ces coordonnées sont données par les formules de Cramer : c b a c c b a c x = et y =. d d Ajoutons que, le triplet (a, b, c) qui défini une droite n étant pas unique, la plupart d entre elles possède une équation dite réduite : toute droite non verticale possède une équation du type y = px + m, où p, m sont des réels. p est alors appelé pente de cette droite, et d (1, p) en est un vecteur directeur. Deux droites de pentes respectives p et p sont parallèles ssi elles ont même pente et orthogonales ssi leurs pentes vérifient pp = 1. 8

9 Distance à une droite Soit ( ) une droite et M un point du plan. On note d (M) le réel MH, où H et le projeté orthogonal de M sur la droite ( ). Notons que H est le point de ( ) le plus proche de M, i.e Pour tout point N sur ( ), NM > HM si N H. Démonstration : Il suffit d utiliser Pythagore : NM 2 = NH 2 + HM 2, et d utiliser la stricte positivité de NH 2 pour obtenir NM 2 > HM 2. on conclut alors avec la stricte croissance de la fonction racine carré. Proposition IV.1 Soit ( ) d équation cartésienne ax+by +c = 0, et Ω(x 0, y 0 ) un point du plan. La distance de Ω à la droite nous est donnée par d (Ω) = ax 0 + by 0 + c a2 + b 2. Démonstration : Equations polaires Propriétés IV.2 Toute droite du plan ne passant pas par l origine du repère possède une équation polaire p du type r =. Les réels p et θ peuvent être choisis de la manière suivante : cos(θ θ 0 ) p = d (O) et u θ0 est normal à ( ). Démonstration : Soit u θ0 un vecteur normal à ( ). Alors elle possède une équation cartésienne du type cos θ 0 x + sin θ 0 y = c, où c est un réel. Posons x = r cos θ et y = r sin θ. On obtient r cos(θ θ 0 ) = c. On conclut en remarquant que le point de ( ) d argument θ 0 est le projeté de O, donc que c = p. Equations paramétriques Je vous renvoie au cours de Terminale. V Cercles Pythagore, encore lui, nous affirme que le cercle de centre Ω(a, b) et de rayon R possède pour équation cartésienne : (x a) 2 + (y b) 2 = R 2. Il possède aussi pour équation paramétrique x = a + R cos θ où θ parcourt [0, 2π]. y = R sin θ 9

10 Une droite (D) est dite tangente eu cercle de centre Ω et de rayon R lorsque d (Ω) = R. L intersection entre cette droite et ce cercle est alors un singleton. 10