Temps-fréquence et traitement statistique

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1 in Temps-réquence: conceps e ouils, eds. F. lawasch and F. Auger, Paris, France: ermes/lavoisier, 2005, Chap. 10, pp Copyrigh 2005 ermes/lavoisier Chapire 10 Temps-réquence e raiemen saisique Résumé : Les méhodes emps-réquence (TF) permeen l analyse e le raiemen des processus non saionnaires d une manière eicace e inuiive. Ce chapire présene quelques-unes de ces méhodes en se resreignan au champ des méhodes non paramériques. On discue d abord deux açons diérenes de déinir un «specre TF» pour les processus non saionnaires. Pour la sous-classe imporane des processus dis «underspread», il es démonré que les diérens specres TF son quasi équivalens e qu ils saison de manière approximaive plusieurs propriéés désirables. Des méhodes pour l esimaion des specres TF son ensuie présenées e éudiées. Finalemen, nous discuons l emploi des specres TF pour le raiemen des processus non saionnaires de ype underspread. Nous proposons des ormulaions simples d esimaeurs e de déeceurs quasi-opimaux qui généralisen les méhodes du cas saionnaire (comme par exemple les ilres de ype Wiener). Ces «esimaeurs/déeceurs TF» on l avanage d admere une inerpréaion inuiive e d êre numériquemen sables e eicaces. Mos-clés : Processus non saionnaires underspread, raiemen saisique, specres non saionnaires, specre de Wigner-Ville, specre évolui, analyse emps-réquence, esimaion non saionnaire, ilre de Wiener, déecion non saionnaire Inroducion Bien que la plupar des ravaux sur les conceps e méhodes emps-réquence (TF) se placen dans un cadre déerminise, la «philosophie TF» se prêe égalemen au cadre aléaoire non saionnaire. Tan que les processus aléaoires son saionnaires, il y a peu de raison pour aire inervenir les méhodes TF. En ee, pour un processus Chapire rédigé par Franz LAWATSC e Gerald MATZ. 289

2 290 Temps-réquence : conceps e ouils saionnaire x(), la densié specrale de puissance r x () = r x (τ) e j2πτ dτ, (10.1) où r x (τ) = E{x(+τ) x ()} avec E{ } l opéraeur d espérance mahémaique, ourni une descripion complèe des propriéés saisiques de deuxième ordre [PAP 91]. Du ai de la saionnarié de x(), le specre r x () ne dépend pas du emps. Par conre, lorsque le processus x() es non saionnaire, il es bien éviden que ses propriéés specrales e donc oue descripion perinene de ces propriéés doiven dépendre du emps. Par conséquen, on s inéressera à un specre de puissance du ype P x (, ). Un el specre peu s inerpréer comme une représenaion TF des saisiques de deuxième ordre de x(). Comme nous allons le monrer, cee siuaion es éroiemen liée à la descripion des sysèmes linéaires. Tan qu un sysème es saionnaire (en emps invariable), la oncion de ranser ĥ() = h(τ) e j2πτ dτ, (10.2) où h(τ) es la réponse impulsionnelle, ourni une descripion complèe de ses propriéés specrales [PAP 84]. Par conre, dans le cas d un sysème non saionnaire (en emps variable), les caracérisiques specrales dépendron du emps ; aussi il audra s inéresser à une oncion de ranser du ype (, ). Cee oncion peu s inerpréer comme une représenaion TF du sysème. Quelques quesions ondamenales s imposen à ce poin : Commen déinir P x (, ) e (, )? La déiniion es-elle unique comme dans le cas saionnaire? Es-ce qu on peu uiliser P x (, ) e (, ) comme on uilise r x () e ĥ() dans le cas saionnaire? Pour illusrer ce que nous enendons par là, considérons par exemple l esimaion d un processus saionnaire s() à parir d une version bruiée s() + n(), e ceci à l aide d un ilre linéaire. Le ilre opimal selon le crière d erreur quadraique moyenne minimale (ilre de Wiener non causal) es saionnaire avec oncion de ranser donnée par [PAP 91, VAN 68, POO 88, SC 91, TE 92, WIE 49] r s () ĥ() = r s () + r n (). (10.3) Si, par conre, s() e n() son non saionnaires, il es bien connu que le ilre opimal es égalemen non saionnaire [VAN 68, POO 88, SC 91, TE 92]. Es-ce que sa oncion de ranser (, ) peu s exprimer parallèlemen à (10.3), c es-à-dire comme P s (, ) (, ) = P s (, ) + P n (, )? (10.4)

3 Temps-réquence e raiemen saisique 291 Dans ce chapire, nous discuerons des specres non saionnaires e de leur applicaion à l esimaion e à la déecion des processus non saionnaires. Nous nous resreindrons aux specres non paramériques ; les specres paramériques seron discués au chapire 11. Pour commencer, le paragraphe préparaoire 10.2 considérera la représenaion TF des sysèmes non saionnaires, ce qui ournira des élémens indispensables pour nore raiemen des specres non saionnaires. Quelques principes de base des processus non saionnaires e la sous-classe imporane des processus underspread seron discués au paragraphe Deux larges classes de specres non saionnaires eron ensuie l obje des paragraphes 10.4 e Nous verrons qu il exise un nombre inini de déiniions diérenes d un specre non saionnaire. Pouran, nous allons monrer au paragraphe 10.6 que pour un processus underspread, ous ces specres diérens ournissen des résulas quasi ideniques e qu ils saison de manière approximaive plusieurs propriéés désirables. L esimaion des specres non saionnaires à parir d une seule réalisaion du processus sera considérée au paragraphe L applicaion des specres non saionnaires à l esimaion (ilrage quasi-opimal) e à la déecion d un processus non saionnaire sera inalemen éudiée aux paragraphes 10.8 e Pour les processus underspread, il es possible de développer des esimaeurs TF e des déeceurs TF qui son presque opimaux ainsi que numériquemen sables e eicaces, ou en admean une inerpréaion inuiive dans l espri de (10.4) Sysèmes non saionnaires Les sysèmes non saionnaires inervenan plusieurs ois au cours de ce chapire, nous en développerons d abord quelques principes de base. La relaion enrée-sorie d un sysème (opéraeur) non saionnaire à noyau h(, ) s écri y() = (x)() = h(, ) x( ) d. Le symbole de Weyl généralisé d un sysème non saionnaire es déini comme [KOZ 92a, KOZ 97a, MAT 98c] L (α) (, ) := h (α) (, τ) e j2πτ dτ (10.5) avec la réponse impulsionnelle généralisée ( h (α) (, τ) := h + ( 1 2 α ) τ, ( 1 ) ) 2 + α τ, (10.6) où α R es un paramère. Pour la sous-classe imporane des sysèmes non saionnaires «underspread» (voir plus bas), L (α) (, ) peu êre inerpréé e uilisé comme une «oncion de ranser non saionnaire» qui généralise la oncion de ranser sa-

4 292 Temps-réquence : conceps e ouils ionnaire ĥ() déinie en (10.2). Dans le cas d un sysème saionnaire, L(α) (, ) se rédui à ĥ() qui es indépendan du emps. Des cas pariculiers son les symboles de Weyl (α = 0), de Zadeh (α = 1/2), e de Kohn-Nirenberg (α = 1/2) [KOZ 97a, FOL 89, JAN 89, KOZ 92b, SE 94, MAT 98c, ZAD 50, BEL 63, KO 65]. Pour sa srucure symérique, le choix α = 0 a quelques avanages sur d aures choix de α [KOZ 92b, MAT 98c, FOL 89]. Une représenaion duale à L (α) (, ) es donnée par la oncion de dispersion généralisée (generalized spreading uncion) [KOZ 92a, KOZ 97a, MAT 98c] D (α) (τ, ξ) := h (α) (, τ) e j2πξ d. (10.7) Cee représenaion caracérise les ranslaions TF causées par un sysème non saionnaire sur le signal d enrée. Il es possible de monrer que la valeur absolue de D (α) (τ, ξ) ne dépend pas de α, de sore que l on peu écrire D(α) (τ, ξ) = D (τ, ξ). En oure, D (α) (τ, ξ) es la ransormée de Fourier bidimensionnelle du symbole de Weyl généralisé déini en (10.5). La oncion de dispersion généralisée D (α) (τ, ξ) es le coeicien dans un développemen de en des opéraeurs de ranslaion TF élémenaires S (α) τ,ξ déinis par ( (α) S τ,ξ x) () = x( τ) e j2πξ e j2π(α 1/2)ξτ [KOZ 92a, KOZ 97a, FOL 89, MAT 98c, KOZ 97b, SE 94, BEL 63]. En ee, on a (x)() = D (α) (τ, ξ) ( S (α) τ,ξ x) () dτ dξ. (10.8) Ainsi, pour (τ, ξ) donné, D (τ, ξ) mesure la conribuion du signal d enrée ranslaé ( S (α) τ,ξ x) () = x( τ) e j2πξ e j2π(α 1/2)ξτ au signal de sorie (x)(). Par conséquen, les ranslaions TF causées par un sysème non saionnaire son globalemen caracérisées par le suppor eeci de D (τ, ξ). Un sysème non saionnaire es appelé underspread s il n inrodui que de aibles ranslaions TF ; il es appelé overspread dans le cas conraire. Rapporée à (10.8), la propriéé underspread revien à dire que D (τ, ξ) es concenré auour de l origine du plan (τ, ξ) [KOZ 97a, MAT 98c, KOZ 97b]. Pour une mesure quaniaive de la concenraion de D (τ, ξ), inroduisons l inégrale pondérée m (φ) := φ(τ, ξ) D (τ, ξ) dτ dξ D (τ, ξ) dτ dξ 0, (10.9) où φ(τ, ξ) es une oncion de pondéraion qui pénalise les conribuions de D (τ, ξ) placées loin de l origine, avec φ(τ, ξ) φ(0, 0) = 0. Des cas pariculiers de m (φ) son donnés par les momens m (k,l) (où k, l N 0) don la oncion de pondéraion a la

5 Temps-réquence e raiemen saisique 293 orme φ(τ, ξ) = τ k ξ l. Un sysème es alors underspread si ceraines inégrales pondérées m (φ) e/ou cerains momens m(k,l) son aibles. La propriéé underspread n es pas équivalene à la propriéé de variaion emporelle lene (propriéé de quasi-saionnarié). En ee, une variaion emporelle lene s exprime par une concenraion de D (τ, ξ) par rappor à ξ seulemen. Par conre, la propriéé underspread s exprime par une concenraion par rappor à τ e ξ conjoinemen, la concenraion par rappor à τ e celle par rappor à ξ pouvan êre échangées l une conre l aure. Ainsi, un sysème à variaion emporelle lene risque de n êre pas underspread si sa mémoire (exension de D (τ, ξ) par rappor à τ) es rop longue, e inversemen un sysème qui n es pas à variaion emporelle lene peu ou de même êre underspread si sa mémoire es suisammen aible Processus non saionnaires Le suje principal de ce chapire es l analyse e le raiemen des processus aléaoires non saionnaires. Les propriéés saisiques de deuxième ordre d un processus non saionnaire x() son caracérisées par la oncion de moyenne m x () := E{x()} (qui sera généralemen supposée nulle dans ce qui sui) e la oncion de corrélaion R x ( 1, 2 ) := E { x( 1 ) x ( 2 ) }. Parois, nous allons inerpréer R x ( 1, 2 ) comme le noyau d un opéraeur linéaire R x que nous appellerons opéraeur de corrélaion du processus x(). Il y a encore un aure lien enre processus non saionnaires e sysèmes (opéraeurs) non saionnaires. Sous des conraines appropriées, on peu représener x() comme sorie d un sysème linéaire non saionnaire don l enrée es du brui blanc saionnaire, noé b(), avec densié specrale de puissance r b () 1 [CRA 61] : x() = (b)() = h(, ) b( ) d. (10.10) (Si x() es saionnaire, es égalemen saionnaire e la densié specrale de puissance de x() s écri comme r x () = ĥ() 2.) Le sysème es appelé sysème d innovaion du processus x(). Il es obenu par la acorisaion = R x, où R x es l opéraeur de corrélaion de x() e es l adjoin de (c es le sysème à noyau h (, ) = h (, )). Ainsi, es une «racine carrée» de R x. Cee racine carrée n es unique qu à un aceur A saisaisan AA = I près : si es un sysème d innovaion de x() (donc, = R x ) e si A saisai AA = I, alors = A es un aure sysème d innovaion de x(). À parir de R x ( 1, 2 ) (ou de R x ) on peu calculer diérens specres non saionnaires que nous discuerons aux paragraphes Une représenaion de deuxième ordre qui n a cependan pas l inerpréaion d un specre es la oncion

6 294 Temps-réquence : conceps e ouils d ambiguïé moyenne généralisée (FAMG) déinie par [KOZ 97a, KOZ 94a] avec Ā (α) x (τ, ξ) := r x (α) (, τ) e j2πξ d = E { x, S (α) τ,ξ x }, (10.11) ( 1 ) ( 1 ) ) r x (α) (, τ) := R x ( + 2 α τ, 2 + α τ, (10.12) où α R es un paramère. On s aperçoi en comparan (10.11) à (10.7) que la FAMG es la oncion de dispersion généralisée de l opéraeur de corrélaion R x, Ainsi, Ā(α) x Ā (α) x (τ, ξ) = D (α) R x (τ, ξ). (τ, ξ) ne dépend pas de α, de sore que l on peu écrire Ā(α) x (τ, ξ) = Āx(τ, ξ). L inerpréaion de la FAMG Ā(α) x (τ, ξ) es qu elle caracérise la corrélaion moyenne de oues les paires de poins TF séparés par τ en emps e par ξ en réquence [KOZ 97a, KOZ 94a]. Un processus non saionnaire x() es appelé underspread si les composanes de x() qui son suisammen séparées dans le plan TF (correspondan à des τ e/ou ξ pas rop aibles) son eecivemen décorrélées ; il es appelé overspread dans le cas conraire. La propriéé underspread es saisaie par de nombreux processus non saionnaires qui surviennen dans les applicaions. En vue de l inerpréaion de la FAMG, cee propriéé revien à dire que Āx(τ, ξ) es concenré auour de l origine du plan (τ, ξ). La concenraion de la FAMG peu êre caracérisée par l inégrale pondérée m (φ) x := φ(τ, ξ) Āx(τ, ξ) dτ dξ Āx(τ, 0, (10.13) ξ) dτ dξ où φ(τ, ξ) es une oncion de pondéraion comme en (10.9). Nous uiliserons aussi les momens m (k,l) x don la oncion de pondéraion es donnée par φ(τ, ξ) = τ k ξ l. Un processus es alors underspread si ceraines inégrales pondérées m (φ) x e/ou cerains momens m (k,l) x son aibles. La igure 10.1 oppose la FAMG d un processus underspread à celle d un processus overspread. Quelques specres non saionnaires de ces deux processus seron présenés plus ard au paragraphe (voir les igures 10.3 e 10.4). La propriéé underspread n es pas équivalene à la propriéé de quasi-saionnarié qui s exprime par une concenraion de Āx(τ, ξ) par rappor à la seule variable ξ. En ee, la propriéé underspread s exprime par une concenraion par rappor à τ e ξ conjoinemen, les deux concenraions par rappor à τ e ξ pouvan êre échangées l une conre l aure. Par conséquen, il se peu qu un processus quasisaionnaire ne soi pas underspread si son horizon de corrélaion emporelle (exension de Āx(τ, ξ) par rappor à τ) es rop large, e inversemen un processus qui n es

7 Temps-réquence e raiemen saisique 295 ξ ξ τ τ (a) Figure Module de la FAMG (a) d un processus underspread e (b) d un processus overspread. Les peis carrés auour de l origine on la surace 1 e permeen ainsi de juger le caracère underspread ou overspread. La courbe de niveau la plus basse es à 20 db au-dessous de la valeur maximale de la FAMG, Ā x(0, 0). (b) pas quasi-saionnaire peu êre underspread si son horizon de corrélaion emporelle es suisammen aible (processus «quasi-blanc»). Noons enin que des déiniions de corrélaion TF limiée un peu semblables concepuellemen on éé proposées e discuées dans [MAL 98a, MAL 98b, SIL 95a, SIL 95b]. Les deux conceps de sysèmes underspread e de processus underspread son liés puisque Ā(α) x (τ, ξ) es la oncion de dispersion généralisée de R x : ainsi un processus x() es underspread si e seulemen si son opéraeur de correlaion R x es un sysème underspread. De plus, il y a un lien enre la srucure des corrélaions TF de x() e les ranslaions TF causées par le sysème d innovaion de x(). Si le sysème d innovaion es underspread, l opéraeur de correlaion R x = es égalemen underspread, e par conséquen le processus x() es lui aussi underspread. Par conre, si x() es underspread, il n en s ensui pas que ous les sysèmes d innovaion son underspread mais il y a oujours un pariculier qui es underspread Analyse TF des processus non saionnaires specres de ype I Comme nous l avons déjà remarqué, ou specre d un processus non saionnaire doi dépendre du emps en plus de la réquence. Pour déinir un specre non saionnaire dans le cadre non paramérique éudié ici, deux approches diérenes son possibles qui abouiron à deux classes de specres que nous allons dénommer «de ype I» e «de ype II». Les specres de ype I on l obje du présen paragraphe, andis que les specres de ype II seron inroduis e éudiés au prochain paragraphe Specre de Wigner-Ville généralisé Nous considérons d abord une amille imporane de specres non saionnaires de ype I, connue sous le nom de specre de Wigner-Ville généralisé (SWVG) [FLA 89,

8 296 Temps-réquence : conceps e ouils FLA 97, KOZ 94a, MAT 98d]. Le SWVG es une simple exension de la densié specrale de puissance r x () déinie en (10.1) : W (α) x (, ) := r (α) x (, τ) e j2πτ dτ, (10.14) où r x (α) (, τ) avec α R es déini par l équaion (10.12). Lorsque le processus x() es saionnaire (au sens large), W (α) x (, ) devien égal à la densié specrale de puissance r x () e donc indépendan du emps. Une comparaison avec (10.5) monre que le SWVG es le symbole de Weyl généralisé de l opéraeur de corrélaion R x : W (α) x (, ) = L (α) R x (, ). Il es d ailleurs la ransormée de Fourier bidimensionnelle de la FAMG déinie en (10.11) : W (α) x (, ) = Ā x (α) (τ, ξ) e j2π(τ ξ) dτ dξ, (10.15) ce qui généralise la relaion de Wiener-Khinchine (10.1) aux processus non saionnaires. Enin, sous des condiions appropriées [FLA 98], W (α) x (, ) peu s écrire comme l espérance d une représenaion TF des signaux connue sous le nom de disribuion de Wigner-Ville généralisée e déinie comme [CLA 80, JAN 82, LA 97] ( ( 1 ) ) ( ( 1 ) ) W x (α) (, ) := x + 2 α τ x 2 + α τ e j2πτ dτ. (10.16) Des cas pariculiers du SWVG son donnés par le specre de Wigner-Ville (α = 0) [MAR 70, MAR 85, FLA 89, KOZ 94a, MAT 98d, FLA 97], qui a cerains avanages en raison de sa srucure symérique, e le specre de Rihaczek (α = 1/2) [FLA 89, FLA 97, RI 68]. Le specre de Wigner-Ville W (0) x (, ) es oujours réel bien que sa posiivié ne soi pas garanie [FLA 86b, FLA 98, MAT 00b, MAT 98d] andis que les aures specres W (α) x (, ) peuven prendre des valeurs complexes. Cependan, nous verrons par la suie que les problèmes d inerpréaion e de représenaion posés par des valeurs négaives ou même complexes disparaissen eecivemen dans le cas underspread Corrélaions TF e ermes croisés saisiques La déiniion de cerains des specres de ype I peu êre jusiiée par les ees que les corrélaions TF d un processus non saionnaire exercen sur son SWVG. Pour un processus underspread (corrélaions TF à aible horizon), la FAMG es bien concenrée auour de l origine du plan (τ, ξ). Il s ensui alors de (10.15) que le SWVG es une

9 Temps-réquence e raiemen saisique 297 oncion passe-bas, c es-à-dire une oncion lisse e à variaions lenes. Par conre, si le processus es overspread (corrélaions TF à large horizon), sa FAMG a des composanes à quelque disance de l origine du plan (τ, ξ). Il s ensui donc de la relaion (10.15) que le SWVG coniendra des composanes oscillaoires e pariellemen négaives. Ces composanes peuven s inerpréer comme des «ermes croisés saisiques» ; elles son révélarices dans une analyse TF puisqu elles accusen la présence de corrélaions TF dans le processus [TO 93, MAT 98d, MAT 00b, KOZ 97a]. Pour illusrer le mécanisme e la géomérie de ces ermes croisés saisiques, nous proposons d éudier l exemple élémenaire d un processus à deux composanes x() = x 1 () + x 2 (). Les composanes son données par x 1 () = a 1 x 0 ( 1 ) e j2π1, x 2 () = a 2 x 0 ( 2 ) e j2π2, où x 0 () es un processus don le SWVG es supposé localisé auour de l origine (, ) = (0, 0) du plan TF e a 1, a 2 son des aceurs aléaoires qui ne son pas corrélés avec x 0 (). On consae que les composanes x 1 () e x 2 () son localisées respecivemen auour des poins TF ( 1, 1 ) e ( 2, 2 ), e qu elles son corrélées si e seulemen si a 1 e a 2 son corrélés. Dans le cas où x 1 () e x 2 () son corrélés, on peu alors dire que «les poins TF ( 1, 1 ) e ( 2, 2 ) son corrélés». Considérons mainenan le specre de Wigner-Ville (SWVG avec α = 0) W (0) x (, ) du processus x(). Il consise (i) des deux ermes W (0) x 1 (, ) = E{ a 1 2 } W (0) x 0 ( 1, 1 ) W (0) x 2 (, ) = E{ a 2 2 } W (0) x 0 ( 2, 2 ) qui son correcemen localisés auour respecivemen ( 1, 1 ) e ( 2, 2 ), e (ii) d un «erme croisé saisique» donné par ( Ψ 12 (, ) = c 1+ 2, ) avec c(, ) := 2 r W (0) x 0 (, ) cos ( 2π [ ( 1 2 ) ( 1 2 ) ] + ϕ ), où r := E{a 1 a 2} e ϕ := 2π( 1 2 )( 1 2 ) + arg{r}. Donc, ce erme croisé Ψ 12 (, ) es localisé auour du poin milieu ( ) , des poins (1, 1 ) e ( 2, 2 ) ; il oscille en prenan des valeurs négaives aussi bien que posiives. Son ampliude es proporionnelle à r = E{a 1 a 2} e donc elle consiue un crière immédia du degré de corrélaion des composanes x 1 () e x 2 () ou des poins TF ( 1, 1 ) e ( 2, 2 ). Il s ensui de cela que W (0) x (, ) coniendra d imporans ermes croisés saisiques si (e seulemen si) le processus x() a de ores corrélaions TF, c es-à-dire s il es overspread.

10 298 Temps-réquence : conceps e ouils ξ ξ ξ τ τ τ (a) (b) Figure Terme croisé saisique dans le specre de Wigner-Ville d un processus à deux composanes avec (a) zéro corrélaion, (b) corrélaion moyenne, (c) corrélaion maximale. En hau : specres de Wigner-Ville, en bas : modules des FAMG. Les peis carrés auour de l origine on la surace 1 e permeen ainsi de juger le caracère underspread ou overspread. (c) La igure 10.2 donne un exemple illusrai de ces résulas ; on peu y vériier en pariculier que l imporance du erme croisé saisique augmene avec l imporance de la corrélaion TF. Noons que la géomérie TF de ce erme croisé es celle des ermes croisés de la disribuion de Wigner-Ville éudiée au chapire 5 (ce n es pas éonnan, car le specre de Wigner-Ville es l espérance de la disribuion de Wigner-Ville). Cee géomérie peu êre généralisée au cas α 0 [LA 97] Lissage TF e specres de ype I Si les ermes croisés saisiques s avèren révélaeurs des corrélaions TF, elles on bien souven l inconvénien de couvrir e, par conséquen, de masquer les aures ermes du specre de Wigner-Ville qui caracérisen plus pariculièremen les composanes énergéiques du processus analysé. Donc, dans le cas overspread où l ampliude des ermes croisés saisiques es imporane, il es souven désirable de réduire ces ermes. En raison de leur comporemen oscillaoire, les ermes croisés peuven acilemen êre réduis ou même supprimés par un lissage TF qui s exprime sous la orme d une convoluion bidimensionnelle : C x (, ) := φ - (, ) W (0) x (, ) = φ - (, ) W (0) x (, ) d d, où φ - (, ) es une oncion lisse, de ype passe-bas. (10.17)

11 Temps-réquence e raiemen saisique 299 Si nous admeons mainenan que φ - (, ) soi une oncion quelconque, pas orcémen passe-bas, l expression (10.17) déini une classe de specres non saionnaires que nous allons dénommer ici les specres de ype I. Cee classe a une inerpréaion héorique imporane : elle réuni ous les specres dépendan linéairemen de R x ( 1, 2 ) qui son covarians par rappor aux ranslaions TF [LOY 68, FLA 97, AMI 92] : x() = x( 0 ) e j2π0 C x (, ) = C x ( 0, 0 ). (10.18) Sous des condiions appropriées, la classe des specres de ype I peu d ailleurs s écrire comme l espérance de la classe de Cohen de représenaions TF des signaux [FLA 97] (pour la classe de Cohen, voir les chapires 1 e 5 de ce ouvrage e [CO 95, FLA 98, LA 92]). La classe des specres de ype I conien enre aures ous les membres de la amille SWVG ; c es d ailleurs un cas où φ - (, ) n es pas de ype passebas e donc la convoluion (10.17) n es pas un lissage. D aures élémens son les specres de Page [PAG 52] e de Levin [LEV 64] e le «specre physique» (espérance du specrogramme) [MAR 70, FLA 89, FLA 97]. Tous ces specres pariculiers son obenus par des choix spéciiques du «noyau» φ - (, ) dans (10.17). Noons enin que l on peu déinir la même classe des specres de ype I en uilisan dans (10.17) des «généraeurs» aures que W (0) x (, ), par exemple W (α) x (, ) avec α Propriéés des specres de ype I Tous les specres de ype I saison la propriéé de covariance (10.18). D aures propriéés désirables seron saisaies si le noyau φ - (, ) saisai des conraines correspondanes. Par exemple, la conraine de normalisaion φ - (, ) d d = 1 (10.19) es nécessaire e suisane pour que C x (, ) conserve l énergie moyenne du processus x() : C x (, ) d d = Ēx, avec Ēx := R x(, ) d = E{ x 2 }. Il es souven plus simple de ormuler de elles conraines avec la ransormée de Fourier bidimensionnelle φ r-d (τ, ξ) := φ -(, ) e j2π(ξ τ) d d du noyau φ - (, ). Par exemple, la conraine de normalisaion (10.19) s exprime alors par φ r-d (0, 0) = 1. Le ableau 10.1 rassemble quelques propriéés élémenaires avec leurs conraines sur φ r-d (τ, ξ). Noons en pariculier que les ermes croisés saisiques dans C x (, ) son réduis si e seulemen si φ r-d (τ, ξ) es concenré auour de l origine, parce que ça correspond à un caracère lisse de φ - (, ). Au paragraphe , nous verrons que les propriéés du ableau 10.1 son ypiquemen saisaies de manière approximaive par les specres de ype I si le processus analysé es underspread.

12 300 Temps-réquence : conceps e ouils propriéé conraine covariance par rappor aux ranslaions TF : x() = x( 0) e j2π 0 C x(, ) = C x( 0, 0) caracère réel : C x(, ) = C x(, ) φ r-d(τ, ξ) = φ r-d( τ, ξ) conservaion d énergie moyenne : C x(, ) d d = Ēx φ r-d(0, 0) = 1 marginale emporelle : C x(, ) d = R x(, ) = E { x() 2} φr-d(0, ξ) 1 marginale réquenielle : C x(, ) d = Rˆx (, ) = E { x() 2} φr-d(τ, 0) 1 propriéé de ype Moyal : C x(, ) C y (, ) d d φ r-d(τ, ξ) 1 = Rx(1, 2) R y( 1, 2) d 1 d 2 ermes croisés saisiques réduis φ r-d(τ, ξ) concenré auour de (0, 0) Tableau Quelques propriéés des specres de ype I e les conraines sur φ r-d(τ, ξ) correspondanes Analyse TF des processus non saionnaires specres de ype II Une alernaive aux specres de ype I es consiuée par la classe des specres de ype II qui es basée sur la représenaion d innovaion (10.10). Nous allons d abord éudier une amille imporane de specres de ype II Specre évolui généralisé Pour jusiier la déiniion de cee amille, rappelons que dans le cas d un processus saionnaire, la densié specrale de puissance es égale au module carré de la oncion de ranser du sysème d innovaion (qui es saionnaire) : r x () = ĥ() 2. Généralisan cee expression au cas non saionnaire, nous déinissons le specre évolui généralisé (SEG) par [MAT 97, MAT 98d] G (α) x (, ) := L (α) (, ) 2, où es un sysème d innovaion du processus non saionnaire x(). Dans cee déiniion, le symbole de Weyl généralisé L (α) (, ) (c. (10.5)) prend la place de la oncion de ranser ĥ(). Evidemmen, G(α) x (, ) es oujours non négai. Pour le

13 Temps-réquence e raiemen saisique 301 cas pariculier d un processus saionnaire, on peu oujours choisir saionnaire ; alors L (α) (, ) = ĥ() e donc le SEG devien égal à la densié specrale de puissance : G (α) x (, ) = ĥ() 2 = r x (). Le SEG G (α) x (, )= L (α) (, ) 2 dépend non seulemen du paramère α R mais aussi du choix du sysème d innovaion qui, rappelons-le, n es pas unique pour un processus x() donné (c es-à-dire pour R x donné). Cee dernière dépendance peu êre considérée comme un inconvénien du SEG relaivemen au SWVG. D ailleurs, à la diérence du SWVG, G (α) x (, ) n es pas lié à la corrélaion r x ( 1, 2 ) ou R x par une correspondance inversible. Des cas pariculiers du SEG son le specre évolui (α = 1/2) [PRI 65, PRI 81, RIE 93, KAY 94] e le specre évolui ransioire (α = 1/2) [DET 94, MAT 97]. Finalemen, le specre de Weyl es obenu en mean α = 0 e en choisissan pour la racine carrée posiive (semi-)déinie de l opéraeur R x (qui es unique), ce qui a cerains avanages sur d aures choix de α e de [MAT 97] Lissage TF e specres de ype II Lorsque le processus x() es overspread, le sysème d innovaion es orcémen overspread lui aussi. Donc, la oncion de dispersion généralisée D (α) (τ, ξ) conien des composanes à quelque disance de l origine du plan (τ, ξ). Il en résule que L (α) (, ), éan la ransormée de Fourier bidimensionnelle de D(α) (τ, ξ), conien des composanes oscillaoires. Ces composanes corresponden à des «ermes croisés saisiques» dans G (α) x (, ) = (α) L (, ) 2. À la diérence du SWVG, les ermes croisés saisiques du SEG son oujours posiis, e ainsi ils ne peuven pas êre réduis par un lissage du SEG. Il es cependan possible de lisser L (α) (, ) avan de prendre le module carré, ce qui donne (en mean α = 0) G x (, ) := φ- (, ) L (0) (, ) 2 = φ - (, ) L (0) (, ) d d 2. (10.20) Si nous admeons que φ - (, ) soi une oncion quelconque, pas orcémen de ype passe-bas, cee expression déini une classe de specres non saionnaires qui sera nommée la classe des specres de ype II. Tous les membres de la amille SEG appariennen à cee classe (c es d ailleurs un exemple où le noyau φ - (, ) n es pas de ype passe-bas, e donc la convoluion avec φ - (, ) n es pas un lissage). La même classe des specres de ype II peu égalemen êre déinie en uilisan dans (10.20) d aures «généraeurs» que L (0) (, ), par exemple L(α) Un specre de ype II conserve l énergie moyenne, G x (, ) d d = Ēx, (, ) avec α 0.

14 302 Temps-réquence : conceps e ouils si e seulemen si la ransormée de Fourier bidimensionnelle du noyau φ - (, ), φ r-d (τ, ξ) = φ -(, ) e j2π(ξ τ) d d, saisai φ r-d (τ, ξ) 1. D aures propriéés désirables son plus diiciles à caracériser par des conraines explicies parce que leur validié dépend aussi du choix du sysème d innovaion. Cependan, pour le cas imporan d un processus underspread, de nombreuses propriéés seron ypiquemen saisaies de manière approximaive (voir le paragraphe ) Propriéés des specres pour les processus underspread Comme on l a vu dans le paragraphe précéden, il y a une variéé ininie de specres non saionnaires de ypes I e II. En général, ces specres peuven avoir des propriéés rès diverses, e pour un processus donné ils peuven ournir des résulas neemen diérens. Ceci n es pouran plus vrai lorsque les processus son underspread Equivalences approximaives Nous monrons d abord que pour un processus underspread, les specres on endance à ournir des résulas à peu près équivalens. Ainsi, dans le cas underspread, le choix du specre «correc» n es pas rop criique Equivalence approximaive des specres de ype I φ (1) r-d Soien C(1) x (, ) e C(2) x (, ) deux specres de ype I aux noyaux respecis (τ, ξ). On peu monrer que la diérence enre ces deux specres (τ, ξ) e φ(2) r-d es bornée [MAT 98d, MAT 00b] : C(1) x (, ) (2) C x (, ) Ā x 1 m (φ) x, (10.21) où m (φ) x es déini en (10.13) avec la oncion de pondéraion donnée par φ(τ, ξ) = φ (1) r-d (τ, ξ) φ(2) r-d (τ, ξ), e Āx 1 = Āx(τ, ξ) dτ dξ. Supposons que φ (1) r-d (0, 0) = φ(2) r-d (0, 0) = 1 (donc, les specres conserven l énergie moyenne). Alors φ(0, 0) = 0, e normalemen φ(τ, ξ) sera encore aible à proximié immédiae de (0, 0). Par conséquen, pour x() underspread (c es-à-dire Āx(τ, ξ) concenré auour de (0, 0)), m (φ) x es pei e il s ensui alors de la borne (10.21) que les deux specres son approximaivemen égaux : C (1) x (, ) C (2) x (, ). Comme cas pariculier, considérons la diérence enre deux SWVG à valeurs diérenes de α. De (10.21), on peu déduire [MAT 98d, MAT 00b] la borne W (α1) x (, ) W (α2) x (, ) 2π α 1 α 2 Āx 1 m (1,1) x.

15 Temps-réquence e raiemen saisique 303 Rappelons du paragraphe 10.3 que m (1,1) x uilise la oncion de pondéraion φ(τ, ξ) = τξ. Donc, m (1,1) x es pei si la FAMG Ā(α) x (τ, ξ) es concenrée auour de l axe τ e/ou l axe ξ, ce qui es une orme de propriéé underspread ; dans ce cas, on aura (, ) W (α2) (, ). W (α1) x x Equivalence approximaive des specres de ype II Des résulas semblables exisen pour le cas des specres de ype II. Considérons (1) (2) deux specres de ype II G x (, ) e G x (, ) aux noyaux respecis φ (1) r-d (τ, ξ) e φ (2) r-d (τ, ξ), mais basés sur le même sysème d innovaion. On monre [MAT 98d, (1) (2) MAT 00b] que la diérence enre G x (, ) e G x (, ) es bornée comme G(1) (2) x (, ) G x (, ) 2 D 2 1 m(φ), (10.22) où la oncion de pondéraion dans m (φ) (c. (10.9)) es donnée par φ(τ, ξ) = φ (1) r-d (τ, ξ) φ(2) r-d (τ, ξ). Donc, si es choisi underspread el que m(φ) es pei (ce qui es possible si e seulemen si x() es underspread), les deux specres son approximaivemen égaux : G (1) (2) x (, ) G x (, ). En pariculier, on dédui de (10.22) la borne suivane pour la diérence enre deux SEG [MAT 98d, MAT 00b] : Donc, si m (1,1) G (α 1) x (, ) G (α2) x (, ) 4π α1 α 2 D 2 1 m(1,1). es pei, on a G(α1) (, ) G (α2) (, ). x Equivalence approximaive des specres des ypes I e II Des bornes un peu plus compliquées [MAT 98d, MAT 00b] monren que pour un processus underspread, même un specre de ype I e un specre de ype II auron endance à êre approximaivemen égaux, x C x (, ) G x (, ), à condiion que le sysème d innovaion uilisé en G x (, ) soi choisi underspread Exemples numériques La igure 10.3 présene plusieurs specres de ype I ou II, avec ou sans lissage, du processus underspread 1 don la FAMG éai exhibée sur la igure 10.1(a). On s aperçoi 1. Ce processus a éé généré à l aide de la echnique de synhèse TF inroduie dans [LA 95].

16 304 Temps-réquence : conceps e ouils (a) (b) (c) (d) (e) Figure Quelques specres de ype I ou II d un processus underspread : (a) specre de Wigner-Ville, W (0) x (, ), (b) parie réelle du specre de Rihaczek, Re { W (1/2) x (, ) }, (c) specre de ype I avec lissage, (d) specre de Weyl, G (0) x (, ), (e) specre évolui, G (1/2) x (, ) (égalemen specre évolui ransioire, G x ( 1/2) (, ), puisque le sysème d innovaion es posii semi-déini [MAT 97]), () specre de ype II avec lissage. La durée du signal es de 256 échanillons. () que ous ces specres ournissen des résulas esseniellemen ideniques, e qu ils son des oncions pluô lisses (non oscillaoires, de ype passe bas). À ces résulas, la igure 10.4 oppose les résulas obenus par les mêmes specres dans le cas du processus overspread don la FAMG éai monrée sur la igure 10.1(b). Quelques-uns de ces résulas son rès diérens. En ee, les SWVG e SEG présenés sur les igures 10.4(a),(b),(d),(e) coniennen des ermes croisés saisiques de orme oscillaoire. Ces ermes accusen de ores corrélaions enre les composanes «T» e «F» ou en masquan pariellemen ou complèemen les srucures énergéiques («T» e «F»). Par conre, dans les specres lissés qui son présenés sur les igures 10.4(c),(), ces ermes croisés saisiques son esseniellemen supprimés, ce qui ai que les srucures énergéiques ressoren davanage. En revanche il n y a plus d indicaion des corrélaions enre les composanes «T» e «F» e, oujours en conséquence du lissage employé, les ermes énergéiques son représenés avec une résoluion inérieure Propriéés approximaives Le cas underspread es encore remarquable puisque les divers specres on endance à saisaire approximaivemen plusieurs propriéés désirables, même s ils ne les saison pas dans le cas général.

17 Temps-réquence e raiemen saisique 305 (a) (b) (c) (d) (e) Figure Les mêmes specres comme sur la igure 10.3, mais pour un processus overspread. () Propriéés approximaives des specres de ype I Soi C x (, ) un specre de ype I à noyau φ r-d (τ, ξ). Décomposons C x (, ) comme C x (, ) = C + x (, ) + C x (, ) + j Im { Cx (, ) }, où C [ { x ± (, ) := 1 2 Re Cx (, ) } ± { Re Cx (, ) } ] es la parie réelle posiive (signe +) ou la parie réelle négaive (signe ) de C x (, ). On peu alors monrer [MAT 98d, MAT 00b] que la parie imaginaire de C x (, ) es bornée : Im{ Cx (, )} 1 2 Āx 1 m (φ) x, où φ(τ, ξ) = φ r-d (τ, ξ) φ r-d ( τ, ξ). Donc, pour x() underspread el que m(φ) x es pei, Cx (, ) sera presque réel. En plus, la parie réelle négaive de C x (, ) es bornée 2 [MAT 98d, MAT 00b] : C x (, ) { Āx 1 m (φ C } ) x, in C 0 avec φ C (τ, ξ) = φr-d (τ, ξ) D (0) C (τ, ξ). Par conséquen, si x() es underspread { (φ el que in C 0 m C )} x es pei, C x (, ) sera presque zéro. En résumé, pour des processus underspread, les specres de ype I son approximaivemen réels e posiis : C x (, ) C + x (, ). 2. La noaion C 0 signiie que l opéraeur C es posii semi-déini.

18 306 Temps-réquence : conceps e ouils D aures propriéés qui son ypiquemen saisaies de manière approximaive dans le cas underspread son les propriéés marginales (c. ableau 10.1) C x (, ) d R x (, ) = E { x() 2}, C x (, ) d R x (, ) = E { x() 2}. En ee, on peu monrer que [MAT 98d, MAT 00b] C x (, ) d R x (, ) λ x e C x (, ) d R x (, ) θ x, où les bornes λ x e θ x son des ormes dégénérées de m (φ) x déinies comme λ x := 1 φ r-d(0, ξ) Āx(0, ξ) dξ e θ x := 1 φ r-d(τ, 0) Āx(τ, 0) dτ. Ainsi, pour un processus underspread où λ x e θ x son peis, les propriéés marginales seron saisaies approximaivemen. Finalemen, d aures bornes indiquen que, ypiquemen, les specres de ype I de deux processus qui son conjoinemen underspread 3 saison approximaivemen une propriéé de ype Moyal [MAT 98d, MAT 00b] : C x (, ) C y (, ) dd Propriéés approximaives des specres de ype II R x ( 1, 2 ) R y( 1, 2 ) d 1 d 2. Pour les specres de ype II, il es généralemen plus diicile de développer des bornes pour les diverses erreurs d approximaion, e d ailleurs ces bornes dépendron du sysème d innovaion [MAT 98d, MAT 00b]. Toueois, pour underspread (ce qui présuppose un processus underspread), les specres de ype II on eux aussi endance à saisaire approximaivemen nos propriéés désirables. Ceci peu aussi s expliquer ou simplemen par le ai (c. paragraphe ) que pour underspread, les specres de ype II son approximaivemen égaux aux specres de ype I Esimaion des specres non saionnaires Parois il au esimer 4 un specre non saionnaire de ype I ou II à parir d une seule réalisaion du processus x(). Une elle esimaion peu s avérer diicile parce que la non saionnarié du processus x() n adme pas de lissage (moyennage) em- 3. Deux processus non saionnaires x() e y() son dis conjoinemen underspread si leurs (τ, ξ) e Ā (α) y (τ, ξ) son concenrées dans la même région S à surace S 1 FAMG Ā(α) x auour de l origine du plan (τ, ξ). Par exemple, un processus quasi-saionnaire e un processus quasi-blanc peuven êre underspread individuellemen mais pas conjoinemen. 4. Remarquons à ce poin que ou esimaeur d un specre relié de manière inversible à la corrélaion R x( 1, 2) condui immédiaemen à un esimaeur de la corrélaion.

19 Temps-réquence e raiemen saisique 307 porel rès éendu. Cependan, au cas underspread les specres son ypiquemen lisses eux-mêmes ; donc, un lissage TF peu êre employé pour réduire la variance de l esimaion sans que cela se paie par un biais élevé Une classe d esimaeurs La plupar des esimaeurs de specres non saionnaires proposés jusqu à présen [MAR 85, FLA 97, FLA 89, FLA 98, KOZ 94b, SAY 95b] se ramènen à la classe de Cohen [CO 95, FLA 98, LA 92]. Cee classe réuni oues les represenaions TF des signaux avec les deux propriéés suivanes : (i) dépendance quadraique du signal analysé e (ii) covariance par rappor aux ranslaions TF (voir à ce propos les chapires 1 e 5 de ce ouvrage). La classe de Cohen es le «pendan déerminise» de la classe des specres de ype I, e nous nous concenrerons donc sur l esimaion de ces specres. Pouran, ces esimaeurs son égalemen bons pour l esimaion des specres de ype II, grâce à l équivalence approximaive des specres des ypes I e II dans le cas underspread. Considérons un specre de ype I C x (, ) à noyau φ - (, ). Une seule réalisaion du processus x() es observée. Les esimaeurs de C x (, ) apparenan à la classe de Cohen son donnés par l expression Ĉ x (, ) := ˆφ - (, ) W x (0) (, ) = ˆφ - (, ) W (0) x (, ) d d, (10.23) où W x (0) (, ) es la disribuion de Wigner-Ville de la réalisaion x() (voir (10.16)) e ˆφ - (, ) es un noyau qui es généralemen diéren du noyau φ - (, ) déinissan C x (, ). Soi Ĉ l opéraeur linéaire el que ˆφ - (, ) = L (0) C (, ). On peu alors écrire l esimaeur comme Ĉ x (, ) = Ĉ, x, x avec Ĉ, := S (α), ĈS(α)+,, où Ĉ, ne dépend pas de α (rappelons que S (α), ) e j2π e j2π(α 1/2) ) Analyse biais-variance es déini par ( S (α), x) ( ) = x( Si mainenan x() dénoe le processus aléaoire, l esimaeur Ĉx(, ) es égalemen aléaoire. Pour une analyse pas rop compliquée du comporemen saisique (biais e variance) de Ĉx(, ), nous supposons que l opéraeur Ĉ soi normal (c esà-dire ĈĈ+ = Ĉ+ Ĉ ; l ensemble des esimaeurs engendrés par des opéraeurs normaux comprend en pariculier ous les esimaeurs à valeurs réelles) e normalisé par r{ĉ} = 1 où r{ĉ} dénoe la race de Ĉ (cee normalisaion es équivalene à ˆφ r-d (0, 0) = 1, ce qui signiie que Ĉx(, ) conserve l énergie E x ).

20 308 Temps-réquence : conceps e ouils On peu alors monrer [KOZ 94b] que le biais B(, ) := E { Ĉ x (, ) C x (, ) } de Ĉx(, ) es donné par B(, ) = [ ˆφ- (, ) φ - (, ) ] W (0) x (, ), où W (0) x (, ) es le specre de Wigner-Ville du processus x() (voir (10.14)). Si ˆφ - (, ) φ - (, ) ou (ce qui revien au même) ˆφ r-d (τ, ξ) φ r-d (τ, ξ), B(, ) es nul pour ou (, ) e donc l esimaeur Ĉx(, ) es non biaisé. Par conre, si ˆφ r-d (τ, ξ) φ r-d (τ, ξ), B(, ) peu êre imporan sur les regions TF où W (0) x (, ) es grand. Pour la norme quadraique du biais, B 2 := B(, ) 2 d d, on monre l expression B 2 = ˆφr-d (τ, ξ) φ r-d (τ, ξ) 2 Āx(τ, ξ) 2 dτ dξ. (10.24) Donc, B 2 sera aible si ˆφ r-d (τ, ξ) φ r-d (τ, ξ) sur le suppor eeci de Āx(τ, ξ). Par conséquen, pour avoir B 2 0 dans le cas d un processus underspread il suira que ˆφ r-d (τ, ξ) φ r-d (τ, ξ) pour (τ, ξ) près de l origine. Si le processus x() es de loi Gaussienne, la variance V 2 (, ) := E { Ĉx (, ) E{Ĉx(, )} 2 } de l esimaeur Ĉ x (, ) peu êre exprimée par [KOZ 94b] V 2 (, ) = r{ĉ, R x Ĉ +, R x}. On monre alors que V 2 (, ) sera grand sur les regions TF où W (0) x (, ) es grand. Pour l inégrale V 2 := V 2 (, ) d d, on obien V 2 = R x 2 ˆφ r-d (τ, ξ) 2 dτ dξ. Donc, V 2 sera aible si l inégrale de ˆφ r-d (τ, ξ) 2 es aible. Avec la normalisaion ˆφ r-d (0, 0) = 1, ça revien esseniellemen à la condiion que le suppor eeci de ˆφ r-d (τ, ξ) auour de l origine soi aible ou, de manière équivalene, que ˆφ - (, ) soi une oncion lisse. Dans ce cas, la convoluion (10.23) correspond à un lissage de W x (0) (, ). Cependan, un aible suppor eeci de ˆφ r-d (τ, ξ) auour de l origine peu avoir pour conséquence que ˆφr-d (τ, ξ) φ r-d (τ, ξ) 2 soi grand pour des (τ, ξ) en dehors de ce suppor eeci. D après (10.24), ça peu enraîner un biais B 2 imporan à moins que le processus ne soi underspread. Dans le cas underspread, Āx(τ, ξ) 2 dans (10.24) es oremen concenré auour de l origine, e donc B 2 ne sera pas aecé par le comporemen de ˆφ r-d (τ, ξ) en dehors d un voisinage de l origine. Ces résulas monren l exisence d un compromis biais-variance : pour un lissage plus or de W x (0) (, ) dans (10.23), la variance de l esimaeur Ĉx(, ) diminue mais le biais de Ĉx(, ) peu augmener ; cee augmenaion ne sera pouran pas grave dans le cas underspread où le specre C x (, ) es lisse.

21 Temps-réquence e raiemen saisique Concepion d un esimaeur L analyse biais-variance présenée au paragraphe précéden nous amène à conclure que quand le processus x() es underspread, il es avanageux de choisir ˆφ r-d (τ, ξ) φ r-d (τ, ξ) sur le suppor eeci de Āx(τ, ξ) e ˆφ r-d (τ, ξ) 0 auremen. En ee, il a éé monré dans [KOZ 94b] que quand le suppor S de Āx(τ, ξ) es compac, le choix { φ r-d (τ, ξ), (τ, ξ) S ˆφ r-d (τ, ξ) = 0, (τ, ξ) S produi l esimaeur non biaisé à variance minimale (c es-à-dire B 2 = 0 e, en plus, V 2 es minimal parmi ous les esimaeurs saisaisan B 2 = 0). Malheureusemen, l hypohèse d un Āx(τ, ξ) à suppor compac es raremen saisaie en praique ; en oure, on peu imaginer que l erreur quadraique moyenne de Ĉx(, ) pourrai êre réduie davanage en permean un pei biais en aveur d une variance plus aible. 5 Nous présenons ici une simple méhode heurisique pour la concepion d un esimaeur Ĉ (, ) qui a la srucure pariculière d un specrogramme muli-enêre, srucure qui se prêe à une implémenaion souple. Nous supposons que le suppor eeci de Āx(τ, ξ) mais pas nécessairemen la orme déaillée de Āx(τ, ξ) soi connu. Le noyau de l opéraeur Ĉ déinissan Ĉ (, ) es choisi comme (Ĉ)(, ) = 1 K K c k () c k( ), avec des oncions orhonormales c k (), k = 1,..., K. On peu consaer que les c k () son les oncions propres de l opéraeur Ĉ, avec les valeurs propres données par 1/K. Pour les noyaux de l esimaeur Ĉ (, ), il vien ˆφ - (, ) = 1 K K k=1 k=1 W (0) c k (, ), ˆφr-d (τ, ξ) = 1 K Avec (10.23), l esimaeur es alors obenu comme Ĉ x (, ) = 1 K = 1 K K k=1 K k=1 K k=1 A (0) c k (τ, ξ). W (0) c k (, ) W (0) x (, ) d d S c k x (, ), (10.25) 5. Remarquons à ce poin qu une minimisaion de l erreur quadraique moyenne de Ĉx(, ) n es pas aisable. En ee, le résula dépendrai des saisiques de second ordre de x() [SAY 95b]. Or, ces saisiques son inconnues (si elles éaien connues, on n aurai plus besoin d esimer C x(, )!).

22 310 Temps-réquence : conceps e ouils où S c k x (, ) := x( ) c k ( ) e j2π d 2 es le specrogramme de x() uilisan la enêre d analyse c k () (c. les chapires 1 e 5 de ce ouvrage). La représenaion TF (10.25) es connue sous le nom de specrogramme muli-enêre [CUN 94] ; elle généralise les echniques saionnaires muli-enêre proposées dans [TO 82]. Avec cee srucure pariculière, la concepion de l esimaeur se rédui au choix de l ordre K e des enêres orhonormales c k (). D après la discussion menée au débu de ce paragraphe, il au adaper le suppor eeci de ˆφ r-d (τ, ξ) = 1 K K k=1 A(0) c k (τ, ξ) au suppor eeci de Āx(τ, ξ), ci-après dénoé par S. Pour ça, nous proposons de choisir les enêres comme c k () = a h k (a) ou c k () = a p k (a), k = 1,..., K, où les h k () son les K premières oncions d ermie [FOL 89, LA 98], les p k () son les K premières oncions sphéroïdales aplaies [FLA 98, LA 98], e a > 0 es un aceur de compression/dilaaion. Les oncions d ermie son pariculièremen appropriées lorsque S es de orme ellipique andis que les oncions sphéroïdales aplaies son préérables pour un S de orme recangulaire. Le paramère a perme d adaper le rappor des exensions de ˆφ r-d (τ, ξ) dans les direcions de τ e de ξ à celui de Āx(τ, ξ). Une elle adapaion es obenue en mean ξ max a =, (10.26) τ max où e son respecivemen la durée eecive e la largeur de bande eecive de h 1 () (ou de p 1 ()), e τ max e ξ max son les horizons eecis de la corrélaion respecivemen emporelle e réquenielle du processus x(). Finalemen, le choix de l ordre K peu êre basé sur l observaion que la surace du suppor eeci du noyau ˆφ - (, ) = 1 K K k=1 W c (0) k (, ) es approximaivemen égale à K [LA 98]. Par conséquen, la surace du suppor eeci de ˆφ r-d (τ, ξ) es approximaivemen donnée par 1/K. Or, ˆφ r-d (τ, ξ) doi êre choisi el que sa surace soi égale à S, la surace de S. On obien ainsi la règle suivane pour le choix de K : { } 1 K = arrondi. (10.27) S Donc, K sera plus grand pour un processus «plus underspread» Résulas Nous illusrons l applicaion de nore méhode à l esimaion du specre de Wigner- Ville d un processus underspread. Ce processus a éé généré à l aide de la echnique de synhèse TF inroduie dans [LA 95]. Le specre de Wigner-Ville e la FAMG du processus son représenés sur la igure 10.5(a),(b) ; la surace du suppor eeci S de

23 Temps-réquence e raiemen saisique 311 ξ a % 10% 8% 10% τ % 5.4% 5.8% 2 (a) (b) (c) K (d) (e) () Figure Esimaion du specre de Wigner-Ville d un processus underspread x() à l aide de l esimaeur (10.25) uilisan les oncions d ermie : (a) specre de Wigner-Ville W (0) x (, ), (b) module de la FAMG Āx(τ, ξ) (le carré auour de l origine a la surace 1 e perme donc de vériier le caracère underspread de x()), (c) erreur quadraique moyenne d esimaion pour diérenes valeurs des paramères K e a (l asérisque marque la posiion de l erreur minimale), (d) résula de l esimaeur quasi-opimal avec K = 9, a = 3.76 (paramères obenus par les règles (10.26) e (10.27)), (e) résula de l esimaeur avec K = 9, a = 6 (durée rop longue), () résula de l esimaeur avec K = 1, a = 3.76 (ordre rop pei). la FAMG a éé esimée comme S = En raison de la orme à peu près ellipique de S, l esimaeur a éé basé sur les oncions d ermie h k (). La igure 10.5(c) monre l erreur quadraique moyenne (normalisée) d esimaion pour des valeurs diérenes de l ordre K e du aceur de compression/dilaaion a. Le minimum de l erreur quadraique moyenne es de 5.3% ; il es obenu pour K = 8 e a = Nos règles heurisiques (10.26) e (10.27) ournissen les paramères K = 9 e a = 3.76, correspondan à une erreur quadraique moyenne de 5.6%. Donc, la pere en perormances relaivemen aux paramères opimaux n es pas imporane. Le résula de nore esimaeur quasi-opimal obenu pour une réalisaion du processus es illusré sur la igure 10.5(d), andis que les résulas obenus pour la même réalisaion avec des valeurs «incorreces» de K e a son monrés sur la igure 10.5(e),().

24 312 Temps-réquence : conceps e ouils Esimaion des processus non saionnaires L esimaion des signaux non saionnaires noyés dans du brui ou par d aures inerérences a une imporance considérable dans de nombreuses applicaions praiques. Donc, l obje de ce paragraphe sera l applicaion des specres non saionnaires à l esimaion des processus non saionnaires underspread. Nous allons suivre l approche inroduie dans [LA 00], en nous servan du SWVG en raison de la simplicié pariculière de sa srucure mahémaique. Pouran, rappelons du paragraphe que pour les processus underspread, le SEG e encore d aures specres son approximaivemen équivalens au SWVG ; donc, ces specres peuven eecivemen êre subsiués au SWVG dans les équaions ci-dessous. Remarquons aussi que d aures approches TF pour l esimaion des processus non saionnaires son discuées dans [ABD 69, SIL 95a, SIL 95b, KA 97, SAY 95c, LAN 97]. Nous considérons plus spéciiquemen l esimaion d un signal aléaoire non saionnaire cenré s() à parir d un signal observé x() = s() + n(), où n() es un processus non saionnaire cenré (du «brui») qui n es pas corrélé avec s(). Les opéraeurs de corrélaion R s e R n son d abord supposés connus. L esimaion de s() se ai à l aide d un sysème linéaire non saionnaire : ŝ() = (x)() = h(, ) x( ) d. (10.28) Le sysème non causal minimisan l erreur quadraique moyenne d esimaion E{ ŝ() s() 2 } es le ilre de Wiener non saionnaire donné par [VAN 68, POO 88, SC 91, TE 92] W = R s (R s + R n ) 1. (10.29) Comme on l a déjà remarqué au paragraphe 10.1, pour s() e n() saionnaires W es un sysème saionnaire don la oncion de ranser es donnée par une expression simple conenan les densiés specrales de puissance de s() e n() [PAP 91, VAN 68, POO 88, SC 91, TE 92, WIE 49] : ĥ W () = r s () r s () + r n (). (10.30) Cee expression dans le domaine specral perme une concepion e une inerpréaion aciles du ilre de Wiener saionnaire, parce qu elle ai inervenir une simple division de oncions au lieu de produis e d inverses d opéraeurs comme dans (10.29). Au paragraphe 10.1, nous nous sommes déjà demandé si dans le cas non saionnaire il exise une expression analogue à (10.30), d une simplicié comparable bien sûr en admean que la oncion de ranser ĥw() e les densiés specrales r s () e r n () soien remplacées par des déiniions non saionnaires qui dépendron du emps. Nous allons mainenan présener une réponse à cee quesion.

25 Temps-réquence e raiemen saisique 313 R s L (α) u W (, ) 1 R s\r n R s R n R n\r n R n (a) L (α) u W (, ) 0 (b) Figure Inerpréaion TF du ilre de Wiener non saionnaire W pour des processus signal e brui qui son conjoinemen underspread : (a) régions de suppor TF eecives du signal e du brui, (b) régions TF passane, d arrê e de ransiion de W Formulaion TF du ilre opimal En ee, une réponse posiive exise pour des processus s() e n() qui son conjoinemen underspread (c. la noe en bas de la page 306). On monre alors [LA 00] que le ilre de Wiener non saionnaire W peu êre décomposé comme W = W u + o W, où les composanes W u e o W son caracérisées comme sui : W u es un sysème underspread qui adme une ormulaion TF approximaive impliquan les SWVG de s() e n() : L (α) u W(, ) W (α) s (, ) W (α) s (, ) + W (α) n (, ). (10.31) W o es un sysème overspread qui n a guère d ee sur les perormances (erreur quadraique moyenne) e qui peu donc êre ignoré. La ormulaion TF (10.31) es l exension souhaiée de (10.30) au cas non saionnaire underspread. Elle perme une inerpréaion simple e inuiive du ilre de Wiener non saionnaire qui es illusrée par la igure Soien R s e R n les régions de suppor eecives de respecivemen W (α) s (, ) e W (α) n (, ). En ce qui concerne l acion du ilre de Wiener non saionnaire, rois régions TF peuven êre disinguées : Région passane. Dans la région R s \R n où il n y a que du signal, l expression (10.31) donne L (α) ) 1. Ceci monre que les composanes TF du signal observé W(, u x() qui ne son pas bruiées son conservées sans modiicaion par W u.