Première partie : Étude de l isolation thermique d un appartement

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Jacques Lamontagne
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1 Première partie : Étude de l isolation thermique d un appartement 1. Un thermostat est un système de grande extension dont la température reste constante. 2. Une pièce dans une maison, l intérieur d un réfrigérateur, l air à l extérieur d une maison peuvent jouer le rôle de thermostats. 3. Un thermostat idéal aurait en théorie une capacité thermique infinie (du = δq = CdT, dt 0 pour C ). 4. Loi de Fourier au sein d un matériau homogène : j th = λ gradt Pour le système envisagé dans lequel T (M, t) = T (x, t) : j th = T x u x 5. On considère une portion de la barre de cuivre comprise entre x et x + dx : (a) Premier principe entre les instants t et t + dt : On peut par ailleurs écrire : du = δq du = mc m dt = ρa dx C m (T (x, t + dt) T (x, t)) Soit : Le transfert thermique s écrit : du = ρa dx C m T t dt Soit (en utilisant la loi de Fourier) : et finalement : (b) On a donc : δq = j th (x, t)adt j th (x + dx, t)adt δq = Adxdt j th x = Adxdtλ 2 T x 2 ρc m T t = λ 2 T x 2 D = λ ρc m 6. À partir de l équation de la chaleur, on peut écrire : T τ D T L 2 où τ désigne un temps caractéristique et L une longueur caractéristique associés au problème. On en déduit la dimension du coefficient D : m 2.s D après la question précédente : (a) τ = L2 D soit a = 2 et b = 1. 1

2 (b) τ augmente avec L ce qui est cohérent : plus la longueur d étude est grande, plus la diffusion est longue. Le coefficient de diffusion D = λ ρc m : plus le matériau est conducteur λ grand plus τ est faible. Plus la capacité calorifique du système est grande plus il est difficile de faire varier sa température (cf première question sur le thermostat) ce qui est en accord avec τ croissant avec ρc m. (c) Application numérique (1/D est donné dans la partie données numériques 4.) : τ = L2 D 8330s 8. En régime stationnaire, l équation de la chaleur s écrit : On a donc d 2 T dx 2 = 0 T (x) = T 2 T 1 x + T 1 L 9. La puissance à travers une section droite (dans le sens des x croissants) : Φ = j th (x)a (a) En régime permanent, on a ainsi : j th = λ dt dx = λt 2 T 1 L T 1 T 2 = R th Φ = λ T 1 T 2 L (b) avec R th = L λa (c) Lorsque deux thermostats de températures différentes sont séparés par une paroi de conductance thermique G th, la puissance thermique allant du thermostat de température la plus élevée vers le thermostat dont la température est la plus basse est d autant plus grande que G th est grande (la paroi n isole alors pas bien les deux systèmes). G th s exprime en W.K Le double vitrage a une conductance thermique plus faible que le simple vitrage : c est un meilleur isolant thermique (même effet entre un mur creux et un mur plein). Une faible épaisseur de polystyrène constitue une bonne isolation (faible conductance thermique). Le document 3 montre que l air est un mauvais conducteur thermique ce qui explique le résultat précédent sur le double vitrage et sur le mur creux par rapport respectivement au simple vitrage et au mur plein. Les métaux comme le cuivre sont de bons conducteurs thermiques. 11. Un double vitrage est constitué de deux vitres séparées par une mince couche de gaz (assimilé à de l air dans ce qui suit). La conductivité de l air est beaucoup plus faible que celle du verre (0,03 contre 1 W.m 1.K 1 ). La résistance thermique d une fine couche d air (fine pour éviter les transferts par convection) permet ainsi d augmenter la résistance thermique du double vitrage par rapport à un simple vitrage d épaisseur double. 2

3 12. On calcule le flux grâce à : Φ = G T h T L énergie E en kwh en multipliant Φ par t = heures, durée au cours de laquelle T est non nulle. Le coût annuel est obtenu en multipliant E par 0,15 euros comme indiqué dans les données (1.). Φ (W) E (kwh) Coût annuel (euros) Simple vitrage Double vitrage De la même façon, et en considérant pour le mur isolé que les résistances thermiques s ajoutent : R tot = R mur + R isolant = 1 2, , 5 = 2, 5 La conductance thermique pour 1m 2 de 30cm de mur plein isolé par 2 cm de polystyrène vaut alors U W = 1 2,5 = 0, 4 USI. Φ (W) E (kwh) Coût annuel (euros) Mur Mur isolé ,4 Un mur isolé a donc un coût annuel beaucoup plus faible qu une vitre (simple ou double). 14. Les fenêtres au sud sont plus ensoleillées, la différence de température T sera plus faible et le transfert thermique par rayonnement à travers la fenêtre compensera la perte par rapport au mur plein. Les volets en bois isolent a priori mieux que les volets métalliques. Deuxième partie : chauffage d un appartement 15. Le volume de l appartement : V = h S Application numérique : V = 2, m 3 La masse d air sec correspondante : m air = ρ air V Application numérique : m air = 1, 2 2, = kg. 16. Pour une masse m air : (a) C = m air C pm, application numérique : C = 3, = 3, kj.k 1. (b) On écrit le premier principe : Application numérique : U = P t t = C T P t = 3, = s (c) Il faudrait 10 minutes pour augmenter la température de l appartement de façon uniforme de 10K ce qui semble trop peu. Le système envisagé est trop grand pour pouvoir négliger les temps liés à la convection et à la diffusion au sein du volume d air. 17. Chaque fenêtre a une surface de 2, 5m 2. (a) Pour un simple vitrage : G 1 = 6, 0 2, 5 = 15W.K 1 ; pour un double vitrage : G 2 = 3, 0 2, 5 = 7, 5W.K 1 3

4 (b) Les quatre fenêtres sont en parallèle : elles sont placées entre l intérieur de la pièce à la température T i et l extérieur à la température T e. On ajoute donc les conductances thermiques (c est comme si on avait une fenêtre de surface quatre fois plus grande). (c) Pour quatre fenêtres en simple vitrage : G tot1 = 60W.K 1 et Φ 1 = = 600W. Pour quatre fenêtres en double vitrage : G tot2 = 30W.K 1 et Φ 1 = = 300W. (d) Avec un simple vitrage, on obtient P o = 3kW et avec un double vitrage P o = 1, 5kW (*5 par rapport au calcul précédent). Si on multiplie par h (5,5 mois), on obtient kwh pour le simple vitrage (vieux bâtiments) et kwh pour un bâtiment récent (double vitrage) soit autour de 10 2 kwh au m 2 ce qui est en accord avec les données du document 1 (les valeurs du document sont plus élevées mais elles tiennent également compte de l eau chaude sanitaire). 18. La variation relative de température est de 10% (1 o C pour 10 o C). Le coût étant proportionnel à la variation de température, on aura aussi une augmentation de 10% du coût. Troisième partie : Géothermie et PAC air/eau 19. On peut reprendre le raisonnement par ordre de grandeur comme à la question 7 par exemple : Application numérique (τ = 1an) : L τd L ( , ) 0,5 = 6 = 2, 4m 20. Le volume occupé par le fluide froid correspond à un cylindre de hauteur H de rayon r à t et r + dr à t+dt. (a) Le volume d eau froide injecté entre t et t+dt s écrit donc : dv = π(r + dr) 2 H πr 2 H On a : (r + dr) 2 = r 2 (1 + dr/r) 2 r 2 (1 + 2dr/r) d où : dv = 2πrHdr (b) On peut aussi écrire : dv = D v dt, on déduit alors l équation : 2πrdr = D v dt qui s intègre, compte tenu des conditions initiales, en : r 2 = D v πh t (c) Application numérique : pour r = 10 3 m, on obtient : t = 3, (10 3 ) = 3, h soit 360 années d après les données. L installation peut fonctionner suffisamment longtemps. 4

5 (d) 1m 2 pompé sur une hauteur H = 100 m correspond à un volume de roche de 100m 3 soit 15m 3 d eau. Une masse m = kg d eau passe donc de 70 o C à 10 o C soit : E = mc p,m,eau T E = = kcal Pour 1m 3 d eau de la roche on aurait E 1 = = kcal = 60Mcal comme pour le pétrole. (e) Vue la question précédente, le procédé semble rentable. Le coût d extraction et de réinjection de l eau remplace celui d extraction et d acheminement du pétrole. 21. Le fluide circulant dans la pompe à chaleur reçoit un travail W > 0, il fournit Q C > 0 à la source chaude et reçoit Q F > 0 de la part de la source froide. (a) Pour une pompe à chaleur ditherme, la source chaude est en général la pièce à réchauffer à l intérieur de l habitation. La source froide est constituée par le milieu extérieur (air extérieur ou sous-sol). (b) Q C < 0 le fluide reçoit un transfert thermique négatif : il fournit Q C à la source chaude (c est le transfert utile). Q F > 0 : la source froide fournit un transfert thermique au fluide. W > 0 est nécessaire pour que ces transferts aient lieu (sens opposés au sens spontané de la source chaude vers la source froide). (c) On écrit le premier principe : U = Q C + Q F + W = 0(cycle) Le second principe dans le cas d un cycle réversible : L efficacité de la pompe à chaleur : S = Q C T C + Q F T F = 0(cycle) et Q F = T F T C Q C d où : 22. (a) Par lecture (en kj.kg 1 ) : COP = Q C W = Q C Q F + Q C COP = T C T C T F h 2 h 3 h 4 h (b) Le condenseur 4-6 correspond à la partie où la température est la plus élevée. (c) et (d) q 1 2 = h 2 h 1 (travail massique indiqué nul), application numérique : De même : q 1 2 = = 178kJ.kg 1 q 2 3 = h 3 h 2 = 14kJ.kg 1 L étape 3-4 est isentropique donc adiabatique et : Puis : w 3 4 = h 4 h 3 = 43kJ.kg 1 q 4 5 = h 5 h 4 = 217kJ.kg 1 q 5 6 = h 6 h 5 = 18kJ.kg 1 5

6 (e) Application numérique : COP = (q q 5 6 ) w 3 4 COP = = 5, 4 (f) En prenant les valeurs extrêmes comme le suggère l énoncé : au point 4, la température est la plus élevée : θ max = 72 o C, au point 1 elle est la plus faible :θ min = 15 o C, on calcule : COP ideal = En prenant les valeurs en 6 (considérée proche de celle en 5) et en 3 (qui correspondrait aux sources chaude et froide), on obtient : COP et cette fois la valeur idéale est plus grande que la valeur réelle. (g) D m (h 4 h 6 ) = P d où : Application numérique : D m = P h 4 h 6 D m = = kg.s 1 = 77kg.h 1 6

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