Contrôle du lundi 28 janvier 2013 (30 min) 1 ère S1

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1 1 ère 1 Contrôle du lund 28 anver 2013 (30 mn) Les exercces IV et V portent sur des algorthmes de constructon (algorthmes géométrques) dans le plan mun d un repère orthonormé (,, ). n pourra, s l reste du temps, effectuer la programmaton sur calculatrce. Prénom :.. Nom : Note :. / 20 I. (6 ponts) Pour être sélectonné à un eu télévsé, un canddat dot satsfare à deux tests qu sont consdérés comme des expérences aléatores ndépendantes. La probablté de satsfare chaque test est p = 0,2. 1 ) Justfer brèvement que cette expérence correspond un schéma de Bernoull. 2 ) Calculer la probablté qu un canddat satsfasse aux deux tests. 3 ) Calculer la probablté pour qu un canddat réusssse au mons un test. 1 ). IV. (4 ponts) Dans chaque cas, on souhate construre à l ade d un algorthme une lgne brsée à partr d un motf donné composé de segments en applquant n fos successvement une translaton de vecteur (n étant un enter naturel supéreur ou égal à 1 qu sera demandé à l utlsateur). La fgure comportera donc n motfs. Fgure obtenue (les pontllés ndquent que cela contnue pour obtenr n motfs) : 2 ) (écrre un seul résultat sous forme décmale) 3 ) (écrre un seul résultat sous forme décmale) II. (2 ponts) Alan, Bernard et Chloé vont dîner dans une auberge. L aubergste leur propose un eu : trer au sort la personne qu paera le dîner. Il leur présente un sachet opaque avec quatre boules ndscernables au toucher dont tros blanches et une nore. Alan tre une boule au hasard. elle est nore, Alan pae le dîner et on arrête les trages ; snon, l la remet dans le sachet et Bernard tre une boule au hasard. elle est nore, Bernard pae le dîner et on arrête les trages ; snon, l la remet dans le sachet et Chloé tre une boule au hasard. elle est nore, Chloé pae le dîner et on arrête les trages ; snon, c est l aubergste qu pae le dîner. Quelle est la probablté de l événement A : «l aubergste pae le dîner»? (écrre un seul résultat sous forme fractonnare) III. (2 ponts) Dans une urne contenant tros boules numérotées de 1 à 3, on tre successvement deux boules au hasard avec remse. Détermner la probablté que la somme des numéros sot mpare. (écrre un seul résultat sous forme fractonnare) 1 2 Fgure obtenue : 1 2 Compléter les algorthmes au verso. n attre l attenton sur le fat que dans le cas la varable de boucle k vare avec un pas de 2.

2 y asr n Tratement et sortes : Pour k enter naturel allant de 0 à.. avec un pas de 1 Fare Tracer le segment ognant les ponts de coordonnées (.. ;.. ) et (.. ;.. ) Tracer le segment ognant les ponts de coordonnées (.. ;.. ) et (.. ;.. ) FnPour J A I x asr n Tratement et sortes : Pour k enter naturel allant de 0 à.. avec un pas de 2 Fare Tracer le segment ognant les ponts de coordonnées (.. ;.. ) et (.. ;.. ) Tracer le segment ognant les ponts de coordonnées (.. ;.. ) et (.. ;.. ) FnPour Fg. pour n = 5 (dans ce cas, 1 h ) 5 Compléter l algorthme c-dessous à l ade de la varable h dont le contenu est fxé égal à 1 n fgure, h a pour valeur 1 5 ). asr n Tratement et sortes : h (dans l exemple de la V. (6 ponts) n note I et J les ponts tels que I et J. n souhate réalser à l ade d un algorthme une lgne brsée en forme d «escaler» ognant les ponts et A(1 ; 1) sur le modèle c-contre, obtenue en subdvsant l ntervalle [0 ; 1] en n ntervalles de même longueur (n étant un enter naturel supéreur ou égal à 1 qu sera demandé à l utlsateur en entrée). n précse que le premer segment est porté par l axe des abscsses. h prend la valeur 1 n Pour k enter naturel allant de 0 à.. avec un pas de 1 Fare Tracer le segment ognant les ponts de coordonnées (.. ;.. ) et (.. ;.. ) Tracer le segment ognant les ponts de coordonnées (.. ;.. ) et (.. ;.. ) FnPour n se place dans le cas où n est quelconque, supéreur ou égal à 1. Quelle est la longueur de l «escaler» (c est-à-dre la longueur totale de la lgne brsée)? Quand n devent de plus en plus grand, de quelle «lgne» se rapproche l «escaler»? Qu y a-t-l de cureux?

3 Corrgé du contrôle du Méthode : I. 1 ) Chaque test est une épreuve de Bernoull qu condut sot à un succès : «réussr le test» sot à un échec : «rater le test». n répète cette épreuve deux fos dans des condtons dentques ndépendantes. Il s agt donc d un schéma de Bernoull. Pour calculer la probablté résultant d un schéma de Bernoull : 1. n représente la stuaton par un arbre pondéré. 2. n calcule la probablté de l événement en effectuant le produt des probabltés portées sur les branches du chemn aboutssant à cet événement. Pour répondre aux questons suvantes, l est ntéressant de fare un arbre de Bernoull. II. Alan, Bernard et Chloé vont dîner dans une auberge. L aubergste leur propose un eu : trer au sort la personne qu paera le dîner. Il leur présente un sachet opaque avec quatre boules ndscernables au toucher dont tros blanches et une nore. Alan tre une boule au hasard. elle est nore, Alan pae le dîner et on arrête les trages ; snon, l la remet dans le sachet et Bernard tre une boule au hasard. elle est nore, Bernard pae le dîner et on arrête les trages ; snon, l la remet dans le sachet et Chloé tre une boule au hasard. elle est nore, Chloé pae le dîner et on arrête les trages ; snon, c est l aubergste qu pae le dîner. Quelle est la probablté de l événement A : «l aubergste pae le dîner»? Calculons la probablté de l événement A : «l aubergste pae le dîner». Il faut ben comprendre l énoncé. n peut représenter la stuaton à l ade d un arbre. B B N 2 ) Calculons la probablté qu un canddat satsfasse aux deux tests. Le canddat réusst aux deux tests quand la dernère branche aboutt à -. B La probablté s obtent en effectuant le produt des probabltés stuées sur les branches condusant à l extrémté - sot 0,2 0,2 = 0,04. N 3 ) Calculons la probablté pour qu un canddat réusssse au mons un test. Le canddat réusst au mons un test, c est-à-dre un ou deux tests. Les extrémtés -, - et - convennent. n obtent ans la probablté : (0,2 0,2) + (0,2 0,8) + (0,8 0,2) = 0,36. Autre méthode : L événement contrare est - : «échouer aux deux tests» dont la probablté est 0,8 0,8 = 0,64. La probablté de réussr au mons un test est 1 0,64 = 0,36. B : «trer une boule blanche» N : «trer une boule nore» N

4 P (A) = P («Alan, Bernard et Chloé trent une boule blanche») IV. III. Dans une urne contenant tros boules numérotées de 1 à 3, on tre successvement deux boules au hasard avec remse. Détermnons la probablté que la somme des numéros sot mpare. Fgure obtenue : n peut fare une lste de possbltés ou un arbre. P («la somme des numéros est mpare») = P (1 2) + P (2 1) + P (2 3) + P (3 2) Les coordonnées des ponts se trouvent asément. asr n Tratement et sortes : Pour k enter naturel allant de 0 à n 1 * avec un pas de 1 Fare Tracer le segment ognant les ponts de coordonnées (k ; 0) et (k 1 ; 1) Tracer le segment ognant les ponts de coordonnées (k 1 ; 1) et (k + 1 ; 0) FnPour * n dot ben mettre n 1 et non n. En effet, s l on met n, alors on aura n + 1 motfs car l y a n + 1 enters naturels de 0 à n (0, 1, 2,, n ; l ne faut pas oubler que 0 compte pour un). r l énoncé demande n motfs. Le pas correspond à la «progresson».

5 V. y 1 2 Fgure obtenue : J A 1 2 h I x L écrture de l algorthme nécesstat une bonne réflexon et une bonne analyse de la fgure. asr n Tratement et sortes : Pour k enter naturel allant de 0 à 2n 2** avec un pas de 2 Fare FnPour Tracer le segment ognant les ponts de coordonnées (k ; 0) et (k + 1 ; 1) Tracer le segment ognant les ponts de coordonnées (k + 1 ; 1) et (k + 2 ; 0) n nous dt que k progresse avec un pas de 2. Qu est-ce qu un pas de 2? Cela sgnfe que l on progresse de 2 en 2. n va donc avor k = 0 (1 ère valeur), k = 2, k = 4 au fur et à mesure du déroulement de l algorthme. ** Attenton à ce pont : c est ben 2(n 1) = 2n 2 (fare des essas pour de pettes valeurs de n pour s en convancre). En partant de 0 et en progressant de 2 en 2 usqu à 2n 2, on aura ben n enters donc n motfs. asr n Tratement et sortes : h prend la valeur 1 n Pour k enter naturel allant de 0 à n 1 avec un pas de 1 Fare FnPour Tracer le segment ognant les ponts de coordonnées (kh ; kh) et ((k + 1) h ; kh) Tracer le segment ognant les ponts de coordonnées ((k + 1)h ; kh) et ((k + 1)h ; (k + 1)h) n a la «répétton» d un même motf consttué de deux segments orthogonaux de même longueur. Les «premers ponts» de chaque motf ont pour coordonnées : (0 ; 0), (h ; h), (2h ; 2h), ((n 1)h ; (n 1)h). n peut observer qu ls sont tous sur la dagonale du carré IAJ d équaton y = x (c est la premère bssectrce du repère (, I, J)). Ils ont tous une ordonnée égale à leur abscsse. Les «deuxèmes ponts» de chaque motf ont pour coordonnées : (h ; 0), (2h ; h), (3h ; 2h), (nh ; (n 1)h). n peut auss écrre : kh + h = (k + 1)h (écrture plus smple plutôt que celle adoptée par beaucoup d élèves). n se place dans le cas où n est quelconque, supéreur ou égal à 1. La programmaton de ces deux algorthmes sur calculatrce permet leur vérfcaton.

6 L une des dffcultés asément surmontable cependant tent au fat que les coordonnées des ponts qu ntervennent dans l algorthme dépendent de deux varables. Queston subsdares (comptées en bonus) : Quelle est la longueur de l «escaler» (c est-à-dre la longueur totale de la lgne brsée)? 1 ère manère : 1 La longueur de l escaler est égale à 2h n 2 n 2 (pour l unté de longueur chose). n 2 e manère : Quelle que sot la valeur de n, l escaler comprendra n segments horzontaux dont la longueur totale sera égale à 1 et n segments vertcaux dont la longueur totale sera égale à 1 auss. En addtonnant les deux, on obtent une longueur de 2. La longueur de l escaler est donc constante égale à 2, qu est ndépendante de n. Quand n devent de plus en plus grand, de quelle «lgne» se rapproche l «escaler»? Pour répondre à cette queston, on peut vsualser ce qu se passe en programmant l algorthme sur la calculatrce ou ben on le fat comme ça en magnant ce qu se passe. Plus n devent grand, plus l «escaler» se rapproche du segment [A] (dagonale du carré IAJ). n évte de dre de la drote (A). Qu y a-t-l de cureux? r A A < 2 Cela est très cureux fort ntrguant! C est un paradoxe mathématque. La lgne brsée a une longueur constante de 2 et va se rapprocher d un segment de longueur plus pette. Il est ntéressant d effectuer la programmaton de cet algorthme sur calculatrce.