GELE3132. Théorie des circuits. Chapitre 4: Série de Fourier

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1 GELE33 héorie des circuis Chapire 4: Série de Fourier

2 Conenu du chapire Analyse sinusoïdale Série de Fourier Coefficiens de la série de Fourier Symérie Formes alernaives Specres

3 Inroducion Ce chapire présene une nouvelle méhode d analyse de signaux e de circuis: la série de Fourier. On verra qu on peu décomposer n impore quel signal en une somme de sinusoïdes. Cee décomposiion du signal perme d analyse le conenu fréqueniel d un signal e déerminer son specre. 3

4 Analyse sinusoïdale On va analyser un sysème don l enrée es un sinusoïde pur, pour voir ce qui se passe à la sorie. On verra qu en régime permanen, la sorie es aussi un sinusoïde, de même fréquence. L ampliude e la phase peuven changer, mais pas la fréquence. 4

5 Analyse sinusoïdale x() Sysème y() ( ω + φ L enrée es un sinusoïde: x ) A cos( ) On peu décomposer le sinusoïde: x ( ) A cos( ω )cosφ sin( ω ) sin φ La ransformée de Laplace de cee foncion es: X ( s ) ( A cosφ ) s ( A sin φ ) ω As ( cosφ ω sin φ ) s + ω s + ω s + ω 5

6 Analyse sinusoïdale Puisque la sorie es Y(s) X(s)H(s), on obien: Y ( s ) H ( s ) As ( cosφ ω sin φ ) s + ω Si on visualise l expansion en fracions parielles pour obenir y(), Y ( s ) * K K + + ermes générés par H(s) s jω s jω Si H(s) es un circui physique réel, les ermes de H(s) représenen la réponse naurelle du sysème, e ces ermes son nulles lorsque >>. Il rese seulemen les ermes générés par l enrée en régime permanen. 6

7 Analyse sinusoïdale Si on calcule la consane K, on obien: A K H ( jω ) e j( θ ( ω ) + φ ) La réponse en régime permanen es obenue en faisan la ransformée inverse de Y(s) en uilisan seulemen les ermes de X(s). On obien: y rp ( ) AH ( jω ) cos( ω + φ + θ ( ω )) En d aures mos, si l enrée à un sysème es un sinusoïde, la sorie es un sinusoïde de même fréquence, mais don l ampliude e la phase son modifiés par le sysème. Les sinusoïdes son les seules ondes à posséder cee propriéé. 7

8 Analyse sinusoïdale Conclusion Si l enrée à un sysème linéaire es un sinusoïde, on peu calculer direcemen la réponse en régime permanen. Mais, que faire si l enrée n es pas un sinusoïde? 8

9 Série de Fourier La série de Fourier perme de ransformer n impore quel signal périodique en une somme de sinusoïdes. Donc, si on peu décomposer un signal périodique comme une somme de sinusoïdes, on peu facilemen rouver la réponse en régime permanen. 9

10 Sources périodiques Pourquoi s inéresser aux sources périodiques? Plusieurs sources élecriques communes produisen des signaux périodiques. Les généraeurs de foncion produisen des ondes riangulaires, recangulaires e carrées. Les redresseurs, uilisés pour produire des sources DC à parir d'un signal AC, produisen des sinusoïdes qui son périodiques, mais redressés.

11 Série de Fourier Le mahémaicien français Jean-Baise Fourier découvri qu'on pouvai ransformer n'impore quel signal périodique en une somme de sinusoïdes. Pour une foncion périodique quelconque f(), Fourier démonra qu'on pouvai faire l'équivalence suivane: v + a n cos( nω ) + b n sin( n ) n f ( ) a ω où a v, a n e b n son les coefficiens de Fourier, e ω es la fréquence fondamenale.

12 Série de Fourier v + a n cos( nω ) + b n sin( n ) n f ( ) a ω Les fréquences qui son des muliples eniers de ω (comme ω, 3ω, ec.) son appelés les harmoniques. Par exemple, ω es la deuxième harmonique, 3ω es la roisième harmonique, e ainsi de suie. Pour faire l'analyse de circuis don la source es périodique mais non sinusoïdale, il fau décomposer l'enrée en une série de Fourier. Le premier coefficien obenu, a v, es la composane DC du signal. Les aures composanes représenen différenes fréquences qui son présenen dans nore signal d'enrée. Ensuie, pour obenir la sorie, on calcul la sorie pour chaque fréquence, puis on fai la superposiion.

13 3 Coefficiens de Fourier Les coefficiens de Fourier son obenus selon: + v d f a ) ( + d f a ) cos( ) ( ω + d f b ) ) sin( ( ω

14 Exemple V m Calculer la série de Fourier pour le signal périodique suivan. Selon les équaions, on peu choisir la valeur de. Le meilleur choix es de prendre, ce qui simplifie beaucoup les calculs. L'équaion de v() enre e es: V m v ( ) Donc l'équaion pour a v es: a m v d V V m Valeur moyenne du signal. 4

15 5 Exemple () L'équaion pour la ième valeur de a n es: ( ) ( ) ( ) V V d V a m m m pour ou cos sin cos ) cos( + π ω ω ω ω ω ω

16 6 Exemple (3) L'équaion pour la ième valeur de b n es: ( ) ( ) ( ) V V V d V b m m m m π π ω ω ω ω ω ω + cos cos sin ) sin( La série de Fourier de v() es: ( ) sin ) ( n m m n n V V v ω π

17 Exemple (4) On peu reconsruire le signal original à l'aide de la série de Fourier pour vérifier si on peu bel e bien obenir l'original..5 Original.5 n v() v() Fréquence (rad/s) n Fréquence (rad/s) n 5 Effe Gibbs v() v() Fréquence (rad/s) Fréquence (rad/s) 7

18 Reconsrucion du signal On voi bien, selon la figure précédene, que plus le nombre d'harmoniques uilisés es élevé, plus le signal original es reconsrui fidèlemen. Cependan, lorsqu il y a une disconinuié, il y a un pic qui apparaî dans le signal reconsrui: on appelle ceci l effe Gibbs. 8

19 Calcul des coefficiens Le calcul des coefficiens de Fourier es, généralemen, un calcul assez long. N'impore quoi qui simplifie la âche es donc bénéfique. On verra dans la prochaine secion que si le signal possède de la symérie, on peu grandemen simplifier le calcul des coefficiens de Fourier. 9

20 Symérie des coefficiens de Fourier Il y a quare ypes de symérie qui peuven aider à évaluer les coefficiens de Fourier: Symérie paire Symérie impaire Symérie demi-onde Symérie quar-d'onde Ces syméries dépenden de la forme du signal.

21 Symérie paire Une foncion es die paire si: f ( ) f ( ) c es-à-dire qu on peu faire une copie miroir auour de l axe y. Exemple: f() Image miroir auour de l axe y

22 Symérie paire Pour des foncions paires, on peu démonrer que les coefficiens de Fourier son: a / v f ( ) d 4 / a f ( ) cos( ω ) d b

23 Symérie impaire ) Une foncion es die impaire si: f ( ) f ( c es-à-dire qu on peu faire une roaion de 8 auour de l origine. Exemple: f() Roaion auour de l origine A -A 3

24 Symérie impaire Pour des foncions impaires, on peu démonrer que les coefficiens de Fourier son: a v a 4 / b ( ) sin( ) f ω d 4

25 Symérie demi-onde Une foncion possède de la symérie demionde si: f ( ) f ( / ) C'es-à-dire que si on déplace la foncion d'une demi-période, puis on l'inverse (miroir auour de l'axe x) e alors que cee nouvelle foncion es idenique à l'originale, il y a symérie demi-onde. 5

26 Symérie demi-onde Exemple: Si on déplace ce signal d une demi-période, puis on fai une image miroir auour de l axe x, on obien le signal original. f() A / -A 6

27 Symérie demi-onde Pour des foncions ayan la symérie demionde, on peu démonrer que les coefficiens de Fourier son: a v a / 4 a f ( ) cos( ω ) d pour b pour pair b pour / pair 4 f ( ) sin( ω ) d pour impair impair 7

28 Symérie quar d onde Le erme symérie quar d'onde décri une foncion périodique qui a la symérie demi-onde mais aussi de la symérie auour du poin milieu enre les demicycles posiifs e négaifs. La figure a) monre un exemple de foncion périodique qui a la symérie quar d'onde, andis que la figure b) n'a pas la symérie quar d'onde. A f() Symérique auour du demi-cycle A f() Pas symérique auour du demi-cycle -A -A 8

29 Symérie quar d onde Une foncion périodique qui a la symérie quar d'onde peu oujours êre rendue soi paire ou impaire en faisan un choix approprié de. Par exemple, la foncion de la figure a) (de la page précédene) es impaire e peu êre rendue paire en déplaçan la foncion de /4 vers la droie ou la gauche. 9

30 Symérie quar d onde Pour une foncion ayan la symérie quar d'onde, si on la rend paire, alors a v a a b / 4 8 f ( ) cos( ω ) d pour pour pair impair 3

31 Symérie quar d onde Pour une foncion ayan la symérie quar d'onde, si on la rend impaire, alors a v a b pour pair b / 4 8 f ( ) sin( ω ) d pour impair 3

32 Exemple Calculer les coefficiens de Fourier pour la foncion de la figure suivane: i() I m -I m La première chose à faire es de chercher pour de la symérie. La foncion es impaire, e de plus, possède de la symérie demi-onde e quar d'onde. Puisque la foncion es impaire, a v, e a. À cause de la symérie demionde, b pour les valeurs paires de. À cause de la symérie quar d'onde, l'équaion de b _ pour les valeurs impaires de es simplifiée. 3

33 Exemple () On obien: 8 / 4 b i ( ) sin( ω ) d Dans l'inervalle < < /4, l'équaion de i() es: Alors, b π I / I m 4 m 4 I m sin sin sin( ω ω π ω ) d cos ω ω es impair 4I m i ( ) / 4 33

34 Exemple (3) 8 La représenaion en série m i ( ) sin sin n ω de Fourier de i() es: Original I π n,3,5,... n n 3 n π Fréquence (rad/s) n 7 34 i() i() Fréquence (rad/s) n.5.5 i() i() Fréquence (rad/s).5.5 Fréquence (rad/s)

35 Formes alernaives de la série de Fourier Il y a deux aures façons d'exprimer la série de Fourier: on peu uiliser une forme polaire, ou une forme exponenielle. La forme polaire es la suivane: où v + A n cos( nω n ) n f ( ) a θ A θ a n n n jb n 35

36 Formes alernaives de la série de Fourier La forme exponenielle es: où C n e jnω n f ( ) C + jn f ( ) e ω n d La forme exponenielle es obenue à parir de la relaion d Euler. 36

37 Specre d ampliude e de phase Une foncion périodique es définie par ses coefficiens de Fourier e sa période. Si on connaî a v, a n, b n e, on peu consruire f(). Si on connaî a n e b n, on connaî aussi l'ampliude A n e le déphasage θ n de chaque harmonique. La forme exponenielle de la série de Fourier perme direcemen d obenir l ampliude e la phase des harmoniques. 37

38 Specre d ampliude e de phase On peu représener graphiquemen une foncion périodique en ermes de l'ampliude e de la phase de chaque erme de la série de Fourier. On appelle ceci le specre de la foncion. Ce graphe perme de visualiser quelles fréquences on une ampliude imporane; dans cerains cas, la majorié du signal es conenu dans quelques harmoniques. 38

39 Exemple V m v() Donner le specre de la foncion suivane, si V m 5V e τ /5. -τ/ τ/ On uilise la forme exponenielle pour ce exemple, ce qui donnera direcemen l'ampliude de chaque composane specrale. C n V m τ τ / / V e m e jn jn ω jn ω ω d τ / τ / V n ω m sin ( n ω τ / ) 39

40 Exemple () On peu réécrire sous une forme un peu différene: V C m n τ sin n ( n ω τ / ) ω τ / qui es de la forme (sin x)/x. Cee foncion es appelée sinc, e es renconrée assez souven dans le domaine des élécommunicaions. Avec les valeurs données dans le problème, on a C n ( n π / 5) sin n π / 5 Le specre es donné à la page suivane. 4

41 Exemple (3) Remarquer que le specre donne aux muliples de 5, ou lorsque nτ/ es un enier. Ce qui veu dire que le 5ième, ième, 5ième,... harmoniques son nuls. L'enveloppe du signal forme la foncion sinc..8 Enveloppe n 4 C n

42 Exemple (4) Le specre de phase es monré à la figure suivane. Puisque C n es oujours réel dans ce cas-ci, la phase es seulemen ou n 4 θn (degrés)

43 Calculs de puissance On verra ici commen faire le calcul de puissance de foncions périodiques. En effe, puisque les foncions périodiques son formés d'une somme de sinusoïdes, la puissance d'un signal es disribuée parmi les harmoniques. 43

44 Puissance moyenne On peu exprimer la ension e le couran dans une impédance comme coefficiens d une série de Fourier: dc + V n cos( nω vn ) n v ( ) V θ dc + I n cos( nω in ) n i ( ) I θ où V dc e I dc son les composanes DC, V n e I n représenen la nième harmonique, e θ vn e θ in son la phase de la nième harmonique. 44

45 Puissance moyenne On sai que la puissance moyenne d un signal es: P p ( ) d v ( ) i ( ) d Si on remplace v() e i() dans l équaion précédene, on obien: V ni n P V dci dc + cos( θ vn θ n in ) 45

46 Puissance moyenne La dernière équaion affirme que s'il y a ineracion enre une ension périodique e un couran périodique, la puissance moyenne oale es la somme des puissances moyennes obenues de l'ineracion de ensions e courans de même fréquence. Les ensions e courans de fréquences différenes n'ineragissen pas pour produire de la puissance moyenne, si le circui es linéaire. 46

47 Valeur RMS La valeur RMS d'une foncion peu êre exprimée en foncion des coefficiens de la série de Fourier. Par définiion, la valeur RMS d'une foncion es: F rms f ( ) d En remplaçan f() par son équivalen en série de Fourier, on obien F rms a v + n A n 47

48 Valeur RMS La valeur RMS d'un signal périodique es la racine carrée de la somme des ampliudes au carré de chaque harmonique e de la composane DC du signal. Cependan, il fau ypiquemen une infinié de sinusoïdes pour représener un signal, e donc il fau faire une somme infinie pour avoir la vraie valeur RMS du signal. Il es souven plus simple de calculer la valeur RMS à parir de la définiion (l équaion avec inégrale). 48

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