Fonctions usuelles. Les résultats donnés dans cette partie seront revus dans les prochaines leçons. f(x) = f(x ) = x = x.

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1 Université de REIMS UFR de Sciences Exactes et Naturelles Master Maths Préparation Agrégation Interne Année universitaire Fonctions usuelles Les deux ouvrages suivants ont servis de base à cette feuille : Gérard DEBEAUMARCHE, Manuel de Mathématiques volume, Ellipses Jean-Marie MONIER, Analyse, Dunod Vocabulaire et résultats Les résultats donnés dans cette partie seront revus dans les prochaines leçons Définition Soit f : I J R une application, I un intervalle de R non vide On dit que f est : injective sur I si, pour tout x I et tout x I, f(x) = f(x ) = x = x surjective sur J si, pour tout y J, il existe x I tel que y = f(x) 3 bijective de I sur J si elle est injective et surjective, c est-à-dire si, pour tout y J, il existe un unique x I tel que y = f(x) 4 croissante sur I si, pour tout x y dans I, f(x) f(y) 5 décroissante sur I si, pour tout x y dans I, f(x) f(y) 6 monotone sur I si elle est croissante ou décroissante sur I Définition On notera : C 0 (I) l ensemble des fonctions continues sur I pour k N, C k (I) l ensemble des fonctions k fois dérivables sur I et dont la dérivée kème est continue sur I 3 C (I) l ensemble des fonctions indéfiniment dérivables sur I Théorème 3 Soit f : I R une application, I un intervalle de R non vide Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f est bijective de I sur son image f(i) et sa fonction réciproque f est continue et strictement monotone de f(i) sur I Si de plus f est de classe C sur I, et si sa dérivée ne s annule pas sur I, alors f est également de classe C sur f(i) et de dérivée : ce qui s écrit aussi : (f ) (y) = f f (y) (f ) (f(x)) = f (x) y f(i) x I Logarithme népérien Définition On appelle logarithme népérien l application notée ln et définie de R + dans R par : ln x = x dt t x R + C est la primitive de x qui s annule en

2 Proposition Les propriétés suivantes sont vérifiées : ln = 0 le logarithme est de classe C et de dérivée : ln x = x x R + 3 le logarithme est strictement croissant sur R + 4 pour tout (x, y) (R +), on a ln xy = ln x + ln y (propriété fondamentale du logarithme) 5 lim ln x = et lim ln x = + x 0 x + Définition 3 Soit a R +\{} On appelle logarithme en base a l application notée log a définie de R + dans R par : log a x = ln x ln a x R + Exercices Exercice : Vérifier le point 4 de la proposition, puis en déduire que, pour tout (x, y) (R +) et tout n Z, on a : Exercice : Montrer les points 3 et 5 de la proposition ln x y = ln x ln y, ln x = ln x, ln xn = n ln x Exercice 3: Résoudre dans (R +) l équation : ln x + y = 4 (ln x + ln y) Exercice 4: Montrer que, pour tout x ], [\{0}, on a ln( + x) x ln( x ) x Exercice 5: Soit a ]0, [ ], + [ Résoudre l équation log a x log a x + log a 4 x = 3 4 sur R + Exercice 6: Déterminer l ensemble des (a, b, c) R 3 tels que : log c+b a + log c b a = log c+b a log c b a

3 Solution : On utilise la définition du logarithme dans une base et on obtient c + b > 0, c + b, c b > 0, c b, (a = ou c = a + b ) Exercice 7: Vérifier que l écriture décimale de 000 comporte 30 chiffres Exercice 8: ln x Montrer que : lim x x = Exercice 9: Soit f : R + R, continue sur R + et vérifiant, pour tout (x, y) (R +), f(xy) = f(x) + f(y) Montrer que soit f est la fonction nulle, soit il existe a R tel que f(x) = a ln x pour tout x R + Solution : On pose x = y = et on obtient f() = 0 Si on suppose que f est dérivable, on dérive l égalité et on en déduit que f(x) = f () ln x Montrons que f est forcément dérivable Comme f est continue, elle admet une primitive F qui s annule en (F (x) = x ln x x) On a alors : f(xy) dy = f(x) + f(y) dy = f(x) + f(y) dy d où : [ F (xy) ] = f(x) + [F (y)] x et donc F (x) F (x) f(x) = F () x ce qui implique que f est dérivable, ce qui nous permet de conclure 3 Exponentielle Définition 3 On appelle exponentielle l application notée exp et définie de R dans R + comme l application réciproque du logarithme népérien Soit a R +\{} On appelle exponentielle en base a l application notée exp a et définie de R dans R + comme l application réciproque du logarithme en base a ; on a, pour tout x R : exp a (x) = exp(x ln a) Proposition 3 Les propriétés suivantes sont vérifiées : exp(0) = l exponentielle est de classe C et de dérivée : exp (x) = exp(x) x R 3 l exponentielle est strictement croissante sur R 4 pour tout (x, y) R, on a exp(x + y) = exp(x) exp(y) 5 lim exp(x) = + et lim exp(x) = 0 x + x 6 on note e = exp() et, pour tout x R, e x := exp(x) 3

4 Exercices Exercice 0: Montrer que, pour tout x R et tout n Z, on a exp(nx) = (exp(x)) n Solution : Comme le logarithme set une bijection de R + sur R, il existe y R + tel que x = ln y, et on a exp(nx) = exp(n ln y) = exp(ln(y n )) = y n = (exp x) n On peut aussi le faire par récurrence Exercice : Soit f : R R, continue sur R et vérifiant, pour tout (x, y) R, f(x + y) = f(x)f(y) Montrer que soit f est la fonction nulle, soit il existe a R tel que f(x) = exp(ax) pour tout x R Solution : On montre que f(0) = 0 ou Dans le premier cas, c est la fonction nulle Dans le second, f est strictement positive Si f dérivable, on dérive en y puis on prend y = 0 On dérive ensuite exp( f (0)x)f(x) et on montre que c est nul, d où conclusion Comme f continue, on note F la primitive de f qui s annule en 0, et en intégrant par rapport à y entre 0 et, on obtient f(x) = Exercice : F (x + ) F (x) F () car F () = Vérifier que, pour tout x R, on a exp(x) x + 0 f(t) dt > 0 Généralisation : prouver que pour tout n N et tout x R +, on a : 3 En déduire que pour tout n N : puis que : Exercice 3: On pose, pour tout n N, u n = exp(x) + x + x! + + xn n! exp(x) lim x + x n = + et lim x + xn exp( x) = 0 n k=0 k! Montrer par récurrence sur n que : e u n = n! ln x lim x + x = ( t) n exp(t) dt

5 Etudier la fonction t ( t) exp(t) et en déduire que 0 e u n nn! 3 Donner la limite de u n et une valeur approchée de e à 0 5 près Exercice 4: On définit, pour n N, l application x x /n définie de R + sur R + comme la réciproque de l application x x n, et qu on note n x On définit, pour tout x R +, tout p Z et tout q N, x p/q := q x p Soit x R +, vérifier que, si p q = s t, xp/q = x s/t ( ) p Montrer que, pour tout x R + et tout p Z, tout q N, x p/q = exp q ln x On définit alors, pour tout x R + et tout r R, x r := exp(r ln x) 3 Prouver que, pour tout (x, y) (R +) et tout (s, r) R, on a : x r+s = x r x s, (x r ) s = x rs, (xy) r = x r y r, x r = r 4 Montrer que, pour tout r R, la fonction x x r est dérivable sur R, de dérivée rx r en x R 5 Calculer, pour tout r R : Solution : lim x 0 xr et lim x + xr On a x p/q qui est l unique réel tel que (x p/q ) q = x p, et x s/t l unique réel tel que (x s/t ) t = x s De plus, (x p/q ) qt = (x p ) t = x pt et (x s/t ) qt = (x s ) q = x sq Mais, comme p/q = s/t, on a pt = qs et donc (x p/q ) qt = (x s/t ) qt, et la fonction puissance étant une bijection de R + sur R +, x p/q = x s/t On a ln(x p/q ) q = ln x p = p ln x = q ln x p/q et donc p q ln x = ln xp/q, ce qui implique, en passant à ( ) p l exponentielle, que x p/q = exp q ln x 3 Regardons la première (les autres se traitent de la même façon, avec les propriétés de l exponentielle et du logarithme) : x r+s = exp((r + s) ln x) = exp(r ln x + s ln x) = exp(r ln x) exp(s ln x) = x r x s 4 Soit f(x) = x r = exp(r ln x) ; comme le logarithme est dérivable sur R + et exp dérivable sur R, f est dérivable sur R + et : f (x) = exp(r ln x) r x = rxr x d après la question précédente = rxr 5 Quand x tend vers 0, ln x tend vers Si r > 0, r ln x tend vers et donc lim x 0 exp(r ln x) = 0 Si r < 0, r ln x tend vers + et donc lim x 0 exp(r ln x) = + Même chose quand x + Exercice 5: Résoudre dans R le système : { 8 x = 0y x = 5y Exercice 6: Résoudre dans R le système : { 3x+y = 5 4 x = y+3 5

6 Exercice 7: Résoudre dans (R +) le système : { x x = y y y = x Exercice 8: Résoudre dans R l équation : x 4 x 4 + x x 4 = Solution : On pose t = x 4 (et x = 4 + t ), avec x 4, et l équation devient t + t 3 = On étudie les difféernts cas suivant les valeurs de t et on obtient x [8, 3] 4 Fonctions hyperboliques directes Définition 4 On appelle cosinus hyperbolique l application ch définie de R dans R par : ch x = ex + e x On appelle sinus hyperbolique l application sh définie de R dans R par : sh x = ex e x Proposition 4 Ces deux applications sont de classe C sur R, et ch = sh et sh = ch De plus : sh est impaire et strictement croissante sur R, positive sur R +, sh 0 = 0 et lim sh x = + x + ch est paire et strictement positive sur R, strictement croissante sur R +, ch 0 = et lim ch x = x + + 6

7 Définition 43 On appelle tangente hyperbolique l application th définie de R dans R par : th x = sh x ch x = ex e x + On appelle cotangente hyperbolique l application coth définie de R dans R par : coth x = ch x sh x = ex + e x Proposition 44 Pour tout (x, y) R, les propriétés suivantes sont vraies : 3 4 Exercices ch x sh x = ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y th (x + y) = th x + th y + th x th y ch x = + sh x = ch x sh x = ch x sh x ch x + ch y = ch x + y ch x y ch x ch y = sh x + y sh x + sh y = sh x + y sh x y ch x y Exercice 9: Prouver les résultats de la proposition 44 Solution : On utilise les définitions de ch, sh et th, puis les propriétés de l exponentielle Exercice 0: Résoudre, dans R, le système d équations : ch x + ch y = 35 On posera X = e x et Y = e y sh x + sh y = 5 7

8 Exercice : Soit a R fixé Résoudre dans R l équation : ch x + cos a = sh x + sin a 5 Fonctions hyperboliques réciproques Définition 5 On appelle Argch l application définie de [, + [ dans R + comme la réciproque du cosinus hyperbolique On appelle Argsh l application définie de R dans R comme la réciproque du sinus hyperbolique On appelle Argth l application définie de ], [ dans R comme la réciproque de la tangente hyperbolique Proposition 5 On a : Argch x = ln(x + x ) x [, + [ Argsh x = ln(x + x + ) x R Argth x = ln + x x ], [ x 8

9 Proposition 53 Les trois fonctions réciproques définies ci-dessus sont de classe C De plus, Argsh x = + x x R Argch x = x x ], + [ Argth x = x x ], [ Exercices Exercice : Prouver les résultats des propositions 5 et 53 Solution : Pour la proposition 5, on regarde les équations du type ch x = y, soit ex + e x = y Pour la proposition 53, on peut utiliser le théorème 3 sur les réciproques, mais on peut aussi écrire ch Argch x = x qu on dérive directement Exercice 3: Résoudre, dans R, l équation Argch x = Argsh ( x) Exercice 4: Résoudre, dans R, l équation Argch (4x 3 3x) Argsh (x ) = Solution : On pose y = Argch x (x = ch y) et, en utilisant les formules trigonométriques de la proposition 44, on obtient 3y y = D où y = et x = 0 Exercice 5: Etudier la fonction x ch (Argth x) Solution : On dérive la fonction et on obtient, sur ], [, f(x) = + x x Exercice 6: Etudier la fonction x Argth + 3th x 3 + th x Solution : On dérive f, sa dérivée est Exercice 7: Etudier la fonction f(x) = Argsh (x + x ) de deux manières différentes Solution : On peut dériver f (f (x) = ) ou poser x = sh t et exprimer sh (t) à l aide de sh (t) x + 6 Fonctions circulaires directes Proposition 6 Les fonctions sin et cos sont de classe C sur R, π-périodiques De plus, pour tout x R, sin x = cos x et cos x = sin x [ La fonction sin est impaire sur R et strictement croissante sur π, π ] La fonction cos est paire sur R et strictement décroissante sur [0, π] La fonction tan est C, impaire et π-périodique sur R\ ] π, π [ On a également, pour tout (x, y) R, les formules suivantes : { π + kπ, k Z }, strictement croissante sur cos x + sin x = 9

10 cos(x+y) = cos x cos y sin x sin y sin(x+y) = sin x cos y+cos x sin y tan(x+y) = tan x + tan y tan x tan y 3 cos x = sin x = cos x sin x = sin x cos x 4 sin x sin y = ( cos(x y) cos(x + y) ) sin x cos y = ( sin(x + y) + sin(x y) ) cos x cos y = ( cos(x y) + cos(x + y) ) 5 cos x + cos y = cos x y cos x + y cos x cos y = sin x + y sin x + sin y = sin x + y sin x y cos x y 0

11 Exercices Exercice 8: Résoudre dans R l équation : cos x cos x = sin 3x Solution : On utilise des formules trigonométriques pour montrer que cos x cos x = sin 3x sin x et sin 3x = sin 3x cos 3x } {0, De là, on déduit les solutions modulo π : π 3, 4π 3, π 4, 5π 4, 3π Exercice 9: Résoudre dans R l équation : (sin x + cos x) = cos x Solution : Par des formules de trigonométrie, on montre directement que l équation équivaut à sin x + cos x = 0 avec x π π mod π Le résultat est alors x = 8 mod π Exercice 30: Résoudre dans R l équation : 3 cos x = sin x + Solution : Par une formule de trigonométrie, on obtient directement l équation sin qui donne le résultat x = π 6 ou 3π mod π ( ) π 3 + x =, ce Exercice 3: Résoudre dans R l équation : 4 cos x + sin x = 4 Solution : On obtient l équation équivalente sin 4 x = 4 et donc x = π 4 mod π Exercice 3: Montrer que, pour tout (x, y) R, on a cos x + cos y cos(xy) < 3 Solution : Par l absurde Dans le cas contraire, il faut que cos x =, cos y = et cos(xy) =, c est-à-dire x = mπ, y = nπ et xy = (p + )π, et donc x y = 4mn = (p + ) ; contradiction π 7 Fonctions circulaires réciproques Définition 7 On appelle Arccos l application définie de [, ] dans [0, π] comme la réciproque du cosinus [ On appelle Arcsin l application définie de [, ] dans π, π ] comme la réciproque du sinus [ On appelle Arctan l application définie de R dans π, π ] comme la réciproque de la tangente

12 Proposition 7 Les trois fonctions réciproques définies ci-dessus sont de classe C De plus, Arcsin x = x x ], [ Arccos x = = x ], [ x Arccos x = π Arcsin x Arctan x = + x x R Arctan x + Arctan x = π sgn x x R Exercices Exercice 33: Vérifier les résultats de la proposition 7 Solution : On utilise le théorème 3 Exercice 34: Soit a < x < b Montrer que : arcsin x a x a b a = arctan b x

13 Solution : On compare les dérivées dans les deux expressions, puis les valeurs en un point Exercice 35: Etudier la fonction f(x) = arctan cos x sin x Solution : On remarque que la dérivée est constante égale à Exercice 36: Résoudre, dans R, l équation arccos x = arcsin 3 + arccos 4 Solution : On passe au cos des deux côtés et on obtient x = 5 Exercice 37: Résoudre, dans R, l équation arcsin(tan x) = x Solution : On remarque qu il faut que π 4 x π, et on passe au sin des deux côtés On obtient 4 x = 0 Exercice 38: Résoudre, dans R, l équation arccos x = arcsin( x) Solution : On remarque qu il faut que 0 x et on applique sin On obtient x {0, } 3