Table des matières. 8 Diagonalisation Dénition et application principale Eléments propres Diagonalisation eective...

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1 Table des matières 8 Diagonalisation 2 81 Dénition et application principale 2 82 Eléments propres 5 83 Diagonalisation eective 8 1

2 Chapitre 8 Diagonalisation Dans tout ce chapitre n désigne un entier strictement positif 81 Dénition et application principale Exercice 1 Exercice 1 de la feuille d'exercices distribuée Proposition 811 Soient A et B deux matrices de M n R On suppose qu'il existe une matrice inversible P de M n R telle que A = P BP 1 Pour tout entier positif m, on a : A m = P B m P 1 Démonstration : Soit Q m la propriété dénie par : A m = P B m P 1 Montrons, par récurrence, que Q m est vraie pour tout m de N Etape 1 : initialisation : On a : donc Q est vraie P B P 1 = P I np 1 = P P 1 = I n = A Etape 2 : hérédité : Soit m un élément de N Supposons que la propriété Q m est vraie et montrons que Q m+1 est vraie On a : donc Q m+1 est vraie Etape 3 : conclusion : Pour tout m de N, Q m est vraie A m+1 = AA m = AP B m P 1 car Q m est vraie = P BP 1 P B m P 1 = P BI nb m P 1 car P P 1 = I n = P BB m P 1 = P B m+1 P 1 Le résultat précédent est particulièrement ecace pour obtenir une expression explicite des puissances de A lorsque la matrice B est diagonale Les matrices pour lesquelles on dispose d'une telle écriture sont les matrices diagonalisables : 2

3 Dénition 812 matrice diagonalisable On dit que la matrice A est diagonalisable si, et seulement si, il existe une matrice inversible P de M n R et une matrice diagonale D de M n R telle que A = P DP 1 Exemple 813 La matrice A = 3 D = : est diagonalisable En eet, en posant P = et Si D est une matrice diagonale de M n R alors D est diagonalisable En eet, on a D = P DP 1 en posant Proposition 814 Soit A une matrice diagonalisable de M n R Soient P une matrice inversible de M n R et λ 1 D = λ 2 une matrice diagonale de M nr telle que A = P DP 1 λ n Pour tout entier m strictement positif, on a : λ m 1 A m = P λ m 2 λ m n P 1 Démonstration : immédiat avec la proposition vue plus haut et le fait que D est diagonale Exemple 815 Pour tout entier m strictement positif, on a cf exemple précédent : m m 1 1 = m 1 1 = 3 m + 1 m 3 m 1 m 2 2 = 3 m 1 m 3 m + 1 m après calculs 2 2 3

4 Dénition 816 La consigne diagonaliser la matrice A consiste à exhiber une matrice inversible P de M n R et une matrice diagonale D de M n R telle que A = P DP 1 Proposition 817 Soient A une matrice de M n R et D une matrice diagonale de M n R Soit P une matrice inversible de M n R On a les résultats suivants : Si AP = P D alors la matrice A est diagonalisable Si D = P 1 AP alors la matrice A est diagonalisable Démonstration : Remarque 818 On obtient de façon similaire que les égalités A = P DP 1, AP = P D et D = P 1 AP sont mêmes équivalentes Exemple 819 On considère les matrices A = La matrce P est-elle inversible? , P = et D = 4 Expliciter les matrices AP et P D : Que peut-on en déduire? Remarque 811 Il est au moins aussi important d'être à l'aise avec les manipulations vues dans la démonstration que de connaître les résultats de cette proposition Le principal intérêt du premier point est que l'inversibilité de P sut à conclure : on n'a pas besoin de calculer P 1 Néanmoins, le calcul de P 1 est incontournable pour obtenir une expression explicite des puissances de A, ce qui est souvent ce que l'on cherche à obtenir 4

5 Il est très dicile de diagonaliser une matrice diagonalisable avec la dénition 812 Dans la suite du chapitre, nous allons établir des critères permettant de diagonaliser une matrice de façon eective 82 Eléments propres Dénition 821 vecteur propre, valeur propre Soit λ un réel On dit que λ est une valeur propre de A si, et seulement si, il existe une matrice-colonne X de M n,1 R non nulle tel que AX = λx Une telle matrice est alors appelée vecteur propre de A associé à la valeur propre λ On dit que X est un vecteur propre de la matrice A si, et seulement si, X est non nulle et il existe un réel λ tel que AX = λx Un tel réel est alors appelé valeur propre de A associé au vecteur propre X Exemple 822 On considère la matrice A = X est un vecteur propre de A car : et la matrice-colonne X = 1 3 La valeur propre associée à ce vecteur propre est : Exercice 2 Exercice 2 de la feuille d'exercices distribuée Proposition 823 Soient λ une valeur propre de A et X un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ On a les résultats suivants : Pour tout réel α non nul, αx est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ Pour tout entier strictement positif m, on a A m X = λ m X Démonstration : laissée au lecteur qui pourra s'inspirer de l'exercice précédent Proposition 824 Soit λ un réel On n'a que deux possibilités pour l'ensemble des solutions de l'équation AX = λx, d'inconnue X M n,1 R : ou bien cet ensemble contient uniquement la matrice-colonne nulle, auquel cas, λ n'est pas valeur propre de A ou bien cet ensemble ne contient pas uniquement la matrice-colonne nulle, auquel cas, λ est valeur propre de A et toute matrice non nulle de cet ensemble est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ 5

6 Démonstration : En posant X =, on a AX = AX = λx contient au moins la matrice Méthode 825 et λx = donc l'ensemble des solutions de l'équation Les résultats de la proposition en découlent immédiatement On déduit de la proposition précédente que la résolution de l'équation AX = λx d'inconnue X M n,1 R permet de déterminer si λ est valeur propre ou non de A et de déterminer les vecteurs propres de A associés à la valeur propre λ lorsque c'est le cas Exercice 3 Exercice 3 de la feuille d'exercices distribuée Dénition 826 spectre L'ensemble des valeurs propres de A est appelé spectre de A et est très souvent noté SpA Remarque 827 Le spectre de A est l'ensemble des réels pour lesquels l'équation AX = λx d'inconnue X M n,1 R Proposition 828 Soit A une matrice triangulaire supérieure ou inférieure de M n R Le spectre de A est l'ensemble des éléments diagonaux de A Démonstration : laissée au lecteur qui pourra vérier que, dans ce cas, l'ensemble des réels pour lesquels l'équation AX = λx d'inconnue X M n,1r admet au moins une solution non nulle est l'ensemble des éléments diagonaux de A Exemple 829 Le spectre de la matrice A = Le spectre de la matrice A = est est Nous allons maintenant voir les résultats dont on dispose sur le spectre d'une matrice dans le cas général Exercice 4 Exercice 4 de la feuille d'exercices distribuée 6

7 Dénition 821 Pour tout polynôme P = a m X m + + a 1 X + a, on dénit la matrice P A par : P A = a m A m + + a 1 A + a I n On dit qu'un polynôme P est un polynôme annulateur de la matrice A si, et seulement si, P A = MnR Remarque 8211 On dit que P A est un polynôme de la matrice A Exemple 8212 Dans le cas P = X 2 + 2X, on a P A = Dans le cas P = 2X 3 4X 2 + 2X + 1, on a P A = Dans le cas P = 5, on a P A = Dans le cas P =, on a P A = Exercice 5 On pose P = X 1X 3 et Q = X 1 et R = X 3 1 Expliciter QA RA 2 Développer P et en déduire P A 3 Que constate-on? Proposition 8213 Soit P, Q et R trois polynômes tels que P = QR On a : P A = QARA Démonstration : on admet cette proposition Remarque 8214 Le résultat de la proposition précédente permet, étant donnés une matrice A et un polynôme P sous forme factorisée, de calculer P A sans avoir au préalable à développer et réduire P Théorème 8215 Le spectre de A est inclus dans l'ensemble des racines de tout polynôme annulateur de A Démonstration : laissée au lecteur qui pourra s'inspirer du cas particulier vu dans l'exercice précédent 7

8 Exemple 8216 On considère la matrice A = annulateur de A le vérier! Les racines de P sont On admet que le polynôme P = X 3 X est On en déduit que les diérentes possibilités pour le spectre de A sont : On peut déterminer, parmi ces possibilités, celle qui est correcte en Remarque 8217 Dans les exercices, étant donnée une matrice carrée A, on pourra vous faire vérier que l'on a P A = MnR pour un certain polynôme P fourni mais on ne vous demandera pas de déterminer vous-même un polynôme annulateur car c'est hors-programme La situation la plus fréquemment rencontrée en pratique est celle pour laquelle l'ensemble des racines du polynôme annulateur coïncide avec le spectre Comme on l'a déjà vu dans les exercices cf chapitre compléments sur les matrices, disposer d'un polynôme annulateur permet également, dans certains cas, d'obtenir l'inversibilité et l'inverse d'une matrice Exercice 6 Exercices 5, 6 et 7 de la feuille d'exercices distribuée 83 Diagonalisation eective Théorème 831 On suppose que le spectre de A est constitué de n valeurs propres deux à deux distinctes λ 1, λ 2,, λ n et que, pour tout i de [1, n], V i est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ i Alors la matrice P obtenue en juxtaposant les matrices colonnes V 1, V 2,, V n est inversible λ 1 et en notant D la matrice diagonale D = λ 2, on a : λ n A = P DP 1 Démonstration : on admet ce théorème 8

9 Remarque 832 Dans le cas particulier n = 2, le théorème précédent se réécrit : Soit A une matrice de M 2 R On suppose que le spectre de A est constitué de 2 valeurs propres distinctes λ 1 et λ 2, que a c V 1 = est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ 1 et que V 2 = est b d un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ 2 a c Alors la matrice P = est inversible et en notant D la matrice diagonale D = b d on a : A = P DP 1 Dans le cas particulier n = 3, le théorème précédent se réécrit : Soit A une matrice de M 3 R λ 1 λ 2 On suppose que le spectre de A est constitué de 3 valeurs propres deux à deux distinctes λ 1, a λ 2 et λ 3, que V 1 = b est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ 1, que c V 2 = d e f est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ 2 et que V 3 = est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ 3 a d g Alors la matrice P = b e h est inversible et en notant D la matrice diagonale c f i D = Exercice 7 λ 1 λ 2 λ 3, on a : On considère la matrice A = A = P DP 1 1 On introduit la polynôme P = X 2 2X 3 Calculer P A 2 On note α et β les racines de P avec α < β a Résoudre l'équation AX = αx d'inconnue X M 2,1 R b Résoudre l'équation AX = βx d'inconnue X M 2,1 R 3 Justier que A est diagonalisable et la diagonaliser g h i, Exercice 8 Exercices 8 et 9 de la feuille d'exercices distribuée 9

10 On dispose d'un résultat complémentaire au théorème précédent : Théorème 833 Soit A une matrice diagonalisable de M n R Soient P une matrice inversible de M n R et λ 1 D = λ 2 une matrice diagonale de M nr telle que A = P DP 1 λ n Le spectre de A est l'ensemble des éléments diagonaux de D Pour tout i de [1, n], la i-ème colonne de la matrice P est un vecteur propre de A asssocié à la valeur propre λ i Démonstration : On admet ce résultat On a A = P DP 1, d'où P A = DP On laisse le soin au lecteur de vérier qu'une multiplication membre à membre de cette égalité par la matrice-colonne 1 i-ème ligne permet alors de conclure Remarque 834 Les éléments de la famille λ 1, λ 2,, λ n ne sont pas nécessairement deux à deux distincts Ce résultat est peu fréquent d'utilisation en pratique Exercice 9 Exercice 1 de la feuille d'exercices distribuée 1