Outils de calcul pour la 3 ème

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1 Chpitre I Outils de clcul pour l Ce que nous connissons déjà :! Opértions sur les décimux, les reltifs et les quotients. Puissnces de dix. Nottions scientifiques. Clcul littérl simple. Objectifs de ce chpitre :! Mîtriser les opértions sur les nombres reltifs en écriture décimle ou frctionnire. Connître et svoir utiliser les formules opértoires sur les puissnces. Svoir effectuer un clcul en respectnt les priorités opértoires. Svoir effectuer des clculs simples sur des expressions littérles. Extrit de l pge mnuscrite de Nicols Chuquet dns lquelle il explique s méthode de nottion des grnds nombres écrire les puissnces. Repères historiques :! Le terme puissnce fut utilisé pr Euclide u III ème siècle vnt notre ère. Au IX ème siècle, Al- Khwrizmi utilisit le terme ml pour crré et kb pour cube. Nottions qui furent utilisées et mélioré pr les utres mthémticiens rbes jusqu u XV ème siècle.! C est l mthémticien frnçis Nicols Chuquet ( ) qui le premier utilis l nottion vec les exposnts pour Arts et mthémtiques :! Les frctles sont des objets (lignes ou surfces) mthémtiques créées de mnière récursive. Les frctles sont définies de mnière prdoxle, en référence ux structures gigognes : «un objet frctl est un objet dont chque élément est ussi un objet frctl». Mlgré les pprences, ce type de définitions de nture récursive n'est ps seulement théorique mis peut concerner ussi des concepts usuels : un ncêtre est un prent ou un ncêtre d'un prent, un multiple est un composé d'un nombre ou d'un multiple de ce nombre, un esclier commence ou prolonge un esclier, une dynstie inugure ou prolonge une dynstie, etc. Frctle connue sous le nom d Ensemble de Juli. PAGE 1 SUR 8

2 I. Nombres reltifs A. Addition et soustrction! Pour dditionner deux nombres reltifs de même signe, on grde le signe commun et l on joute les distnces à zéro ( +4) = = ( 5) = ( 3 + 5) = 8! Pour dditionner deux nombres reltifs de signes contrires, on grde le signe du nombre qui l plus grnde distnces à zéro et l on soustrit les distnces à zéro ( ) = ( 3 2) = ( +7) = + ( 7 5) = 2! Pour soustrire un nombre reltif, on joute son opposé Ecriture simplifiée : ( ) = +1 + ( 3) = ( 3 1) = 2 1 ( +3) = 1 + ( 3) = ( 1 + 3) = 4 ( ) = +4 + ( +3) = = 7 4 ( 3) = 4 + ( +3) = ( 4 3) = 1 " = 7 " 2 5 = 3 " 5 2 = 3 " = 3 " 2 5 = 7! B. Multipliction et division Règle des signes :!! Le produit (ou le quotient) de deux nombres de même signe est un nombre positif.!! Le produit (ou le quotient) de deux nombres de signes différents est un nombre négtif.! 7 18 et ( 3,14) ( 2,18) sont positifs cr produits de nombres de même signe.! 2 25 et 3 2 sont négtifs cr quotients de nombres de signes différents. PAGE 2 SUR 8

3 ! Pour clculer le produit (ou le quotient) de deux nombres reltifs :!! - On pplique l règle des signes.!! - On clcule le produit (ou le quotient) des distnces à zéro. " 1 3 = 3 " " 1 3 = 3 " " 1 3!!! Propriétés : 2 5 = 2 5 = 2 5!! 5 4 = 5 4! Multiplier un nombre reltif pr 1 nombre :!!!!! ( 1) = ( ) = 3 "" 1 ( 3 ) = 3 ( ), c est prendre l opposé de ce!! Le produit comportnt un nombre pir de fcteurs négtifs est positif.!! Le produit comportnt un nombre impir de fcteurs négtifs est négtif.! A = 2 ( ) 3 ( 4) 5 ( 1) ( 6)! On détermine le signe de A : il y un nombre pir de nombres négtifs, A est donc positif.! On multiplie les prties numériques :! = 720 d où A = 720. C. Inverse Définition :!! L inverse d un nombre non nul b, noté b 1, est le nombre qui multiplié à b donne 1.!!!!!! b b 1 = 1! L inverse de 8 est 0,125 cr 8 0,125 = 1.! L inverse de 3 4 Remrques : est 4 3 cr = 1! L inverse d un nombre est unique.! Un nombre et son inverse sont de même signe. PAGE 3 SUR 8

4 II. Ecritures frctionnires A. Eglité de quotients!! Si, b et k sont des nombres reltifs vec b et k sont non nuls, lors : b = k b k = k b k! Réduire 5 8 et 2 3 u même dénominteur : un multiple commun de 8 et 3 est 24. Donc :!! 5 8 = = 15 24!! et! 2 3 = = ! Simplifier :! = = = 3 4. B. Somme et différence! Si, b et c sont des nombres reltifs vec c 0 : c + b c = + b c et c b c = b c! Clculons A = = = 4 10 C. Produit. On réduit les deux quotients u même dénominteur : donc :! A = = 1 10.!! Si, b, c et d sont des nombres reltifs vec c et d sont non nuls, lors : b c d = c b d! = = 6 28 = 3 14! PAGE 4 SUR 8

5 D. Frction d une quntité! Si et b sont des nombres reltifs et b 0, lors prendre b d une quntité, c est l multiplier pr b.! Pierre mngé les 3 4 d un pin de 200g : 3 4! Donc Pierre mngé 150g de pin. E. Inverse et quotient Propriétés : 200 = ! Diviser pr un nombre, c est multiplier pr son inverse. = = 150.! Si, b, c et d sont des nombres reltifs vec b, c et d sont non nuls, lors : b c d = b d c = d b c! = = = 21 20! = = = 10 1 = 10 III. Puissnces A. Puissnce d un nombre Définition :! Si est un nombre reltif non nul et si n est un entier supérieur ou égl à 2, lors : n = et n = n fcteurs!! De plus, 0 = 1, 1 = et 1 = 1. n fcteurs PAGE 5 SUR 8

6 ! 34 = = 81!! ( 2) 3 = ( 2) ( 2) ( 2) = 8!! 2 3 = = 1 8 Opértions sur les puissnces :! Si et b sont non nuls et si m et n sont des entiers reltifs, lors :!! m n = m+n!! m n = m n!!! ( m ) n = m n!!!!!! ( b) m = m b m b m = m b m! = = 3 2 = = 1 9!! = 74 6 = 7 2 = = 1 49! ( 3 5) 4 = !!!! ( 10 3 ) 4 = = B. Puissnces de 10 Définition :! Pour tout entier positif n :! 10 n = = et 10 n = 1 10 = 1 = 0,0 000 n n fois n zéros n fois n zéros! 10 5 = !!! 10 4 = 0,000 1 Remrque:! Les règles de clcul sont les mêmes qu u prgrphe précédent, vec = 10. Nottion scientifique :! On ppelle écriture scientifique d un nombre déciml non nul, son écriture sous l forme 10 n où est un nombre déciml ynt une prtie entière comprise entre 1 et 9 et n un entier. PAGE 6 SUR 8

7 ! = 2,5 10 7!!!! 0, = 1, IV. Clculs numériques A. Clculs vec prenthèses! Dns un clcul vec prenthèses, on commence toujours pr le clcul entre prenthèses.! S il y plusieurs prenthèses emboîtées, on commence les clculs pr les prenthèses les plus intérieures. ( ) ( ( ) ) 2 A = 3 5 ( 7 + 1) 2 A = ( ) A = A = 3 ( 59) A = A = 62 B. Clculs sns prenthèses! Dns un clcul sns prenthèses, on effectue les opértions dns l ordre suivnt :!! 1) les puissnces!! 2) les multiplictions et les divisions!! 3 )les dditions et les soustrctions.!!!! A = A = !! A = 4 75 A = 71 ( ) 5 ( 2) ( ) ( 10) ( ) + 10 B = B = B = B = 0 On clcule les puissnces. On effectue l multipliction. On effectue l soustrction. On effectue les multiplictions. On effectue les soustrctions et les dditions. " " " PAGE 7 SUR 8

8 C. Clculs vec les quotients! Si, b, c et d sont des nombres reltifs vec c + d 0 :! A = + b c + d induisent des prenthèses). ( ) ( ) + b peut s écrire A = c + d! ( les brres de frctions!! Remrque : A = A = A = !!!! A = A = A = 42 5!! Pour clculer A à l clcultrice, il fudr tper toutes les prenthèses. PAGE 8 SUR 8

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