Cours 043 Série 01. Mathématiques 3 e degré. [3 e épreuve niveaux A et B] ENSEIGNEMENT A DISTANCE

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1 Cours 3 Série Mathématiques 3 e degré [3 e épreuve niveaux A et B] ENSEIGNEMENT A DISTANCE

2 Éditeur responsable : Denis Van Lerberghe, Directeur Boulevard du Jardin botanique, - Bruxelles Administration générale de l'enseignement et de la Recherche scientifique Direction de l'enseignement à Distance Ministère de la Communauté française Boulevard du Jardin botanique - Bruxelles Téléphone : / Fax : / ead@cfwb.be Dépôt légal : D/6/93/93 Reproduction interdite sans autorisation

3 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Introduction générale INTRODUCTION GÉNÉRALE. But du cours.... Organisation du cours Méthode de travail (simple rappel, mais important, pour certains d entre vous)...

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5 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Introduction générale INTRODUCTION GÉNÉRALE. BUT DU COURS Ce cours est destiné, entre autres, aux candidats qui ont passé le premier groupe d épreuves du Jury de la Communauté française, enseignement secondaire général du 3 e degré (S3) et qui, dans le troisième groupe, ont choisi l épreuve de mathématiques du niveau A ou du niveau B.. ORGANISATION DU COURS Il comporte quatre parties : - trigonométrie (séries à 9), - statistique et probabilités (séries à 3), - géométrie de l'espace (séries à ), - géométrie analytique (séries 3 à 36), qui peuvent être suivies séparément, s il ne s agit pas de la préparation des épreuves du Jury. Son étude ne nécessite pas l achat de manuels. 3. MÉTHODE DE TRAVAIL (simple rappel, mais important, pour certains d entre vous) Chaque leçon comprend : ) la matière nouvelle à assimiler. Éventuellement, vous y trouverez des rappels. Si nous vous invitons à revoir certaines leçons, faites-le, ce sera nécessaire pour la bonne compréhension du cours ;

6 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Introduction générale ) des travaux d autocorrection (TAC). Ils sont très importants : c est en les résolvant et en contrôlant l exactitude de vos solutions que vous vérifierez si vous maîtrisez effectivement les savoirs et savoir-faire auxquels ils se rapportent ; 3) un devoir à nous faire parvenir. Rédigez ces devoirs avec soin, de manière détaillée quand il s agit de questions "ouvertes" : la correction en sera plus efficace. Ne laissez jamais un exercice sans réponse : proposez votre solution, même si elle est incomplète ou vous semble erronée. Signalez alors, si possible, ce qui a interrompu votre raisonnement. Tenez bien compte des commentaires et des explications qui accompagneront vos travaux corrigés. Comparez ces derniers avec les corrigés types que vous aurez reçus. Utilisez les feuilles prévues (portant le code à barres) et ne faites jamais deux devoirs différents sur la même feuille! Rappelez-vous que vous devez rentrer les travaux pour continuer à recevoir le cours. En cas de difficulté, ne vous découragez surtout pas! N hésitez pas à demander des explications à votre professeur, à lui poser des questions (les plus précises possible). N oubliez pas de joindre la notice individuelle complétée à votre premier envoi de devoirs. Nous vous souhaitons bon courage et bon travail!

7 Cours 3 Série Mathématiques 3 e degré TRIGONOMÉTRIE ENSEIGNEMENT A DISTANCE

8 Administration générale de l'enseignement et de la Recherche scientifique Direction de l'enseignement à distance reproduction interdite sans autorisation

9 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Introduction INTRODUCTION. Préliminaire.... Composition Remarque importante.... Table des matières...3

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11 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Introduction INTRODUCTION. PRÉLIMINAIRE Cette série est donc la première de la partie du cours 3 traitant de la trigonométrie. Si vous souhaitez faire une étude complète de la trigonométrie (selon les programmes de l'enseignement secondaire des e et 3 e degrés), il vous est conseillé de suivre d'abord le cours 7 (programme du e degré). Si vous maîtrisez déjà les notions de base, les leçons qui vont suivre comportent les rappels indispensables. Vous trouverez dans ce cours deux leçons de niveau "A" : le peu de matière complémentaire ne justifiait pas un cours complet. Si votre objectif est de présenter l'épreuve de niveau B du Jury, des explications vous sont données en début de leçon. Si votre objectif est de revoir ou d'étudier la trigonométrie, suivez ces leçons et effectuezen les devoirs.. COMPOSITION Ce cours de trigonométrie comporte quatre grandes parties :. L' étude des fonctions sin x, cos x, tg x et cotg x. L'interprétation de chaque fonction à l'aide du cercle trigonométrique conduit progressivement aux graphiques et aux propriétés.. L'étude des relations entre les nombres trigonométriques des angles et la transformation d'expressions trigonométriques. Les relations entre les nombres trigonométriques des angles s'établissent au moyen des formules d'addition, de duplication, de Carnot et de Simpson. Celles-ci permettent aussi d'élargir la gamme des angles particuliers ( 3', 5, 75, ).

12 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Introduction 3. La résolution des équations trigonométriques. Les procédures de résolution sont présentées en fonction d'un classement des équations : équations fondamentales, équations factorisables, équations se ramenant au second degré, équations du type a cosx+ b sinx = c.. Des exercices de synthèse. Vous trouverez la table des matières détaillée à la page suivante. 3. REMARQUE IMPORTANTE N'oubliez pas de compléter correctement et de renvoyer la notice individuelle qui se trouve à la fin de cette série : elle est indispensable à votre professeur correcteur.

13 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Introduction 3. TABLE DES MATIÈRES Étude des fonctions sin x, cos x, tg x et cotg x Remarque Pour chacune de ces fonctions, les points suivants sont abordés : définition représentation graphique propriétés : - valeurs extrêmes, - période, - racines, - parité ou non, avec interprétation sur le cercle trigonométrique et sur le graphique de la fonction. Niveau Série Leçon Étude de la fonction sinus (y = sin x) A - B Étude de la fonction cosinus (y = cos x) A - B Étude de la fonction tangente (y = tg x ou y = tan x) A - B (3) Étude de la fonction cotangente (y = cotg x ou y = cot x) A - B () Formules d'addition distance de deux points dans le plan cos(a b) = ; cos(a + b) = représentation des angles ayant un sinus donné principe des angles complémentaires sin(a + b) = ; sin(a b) = tg(a + b) = ; tg(a b) = A - B 3 (5) A - B (6) Application des formules d'addition développement de : sin(a + b + c) tg(a + b + c) montrer qu'une expression est indépendante d'un paramètre A - B (7)

14 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Formules de duplication et de Carnot développement de cos a et de sin a en fonction de sin a et cos a développement de tg a en fonction de tg a formules de Carnot : nombres trigonométriques de 3a + cosa = cos a cosa = sin a Introduction A - B (8) formules de duplication et de Carnot écrites en a Formules de Simpson factorisation de : sin a + sin b, sin a sin b cos a + cos b, cos a cos b application à la simplification des fractions Écriture de sin a, cos a et tg a en fonction de tg a A - B 5 (9) A () et recherche de tg a connaissant sina, cos a, tg a Équation trigonométrique élémentaire sin x = a et équations associées Équation trigonométrique élémentaire cos x = a et équations associées A - B 6 () A - B () Équation trigonométrique élémentaire tg x = a et équations A - B 7 (3) associées Équations du type A B C = A - B () Équations trigonométriques réductibles à une équation du second A - B 8 (5) degré Résolution de l'équation a cos x + b sin x = c A (6) Exercices de synthèse A - B 9 (7) Exercices de synthèse : les équations trigonométriques A - B (8)

15 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () ÉTUDE DE LA FONCTION SINUS. Le cercle trigonométrique.... Définition de la fonction y = sin x Quelques positions particulières du point M.... Représentation de la fonction.... ère étape : Quelques positions particulières du point M.... e étape : M effectue un tour du cercle dans le sens positif e étape : M continue à tourner e étape : M tourne dans le sens négatif La sinusoïde Propriétés de la fonction Tout nombre réel a une image comprise entre et La fonction sin x est périodique de période π Interprétation sur le cercle trigonométrique Interprétation sur le graphique de la fonction Les racines de la fonction Définition Interprétation sur le cercle trigonométrique Interprétation sur le graphique de la fonction La fonction sin x est impaire Interprétation sur le cercle trigonométrique Interprétation sur le graphique de la fonction...3 Devoir à envoyer... Corrigé des TAC...5

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17 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () ÉTUDE DE LA FONCTION SINUS. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Voici les étapes de la construction du cercle trigonométrique sur lequel nous représentons les angles, ainsi que les nombres trigonométriques associés. Remarque : ceci est un simple rappel, si vous l'avez déjà vu dans un cours de base. D Traçons deux diamètres perpendiculaires BA et CD d'un cercle de centre O. M Graduons les droites BA et CD en prenant le B - O A rayon du cercle pour unité. Nous attribuons aux points B, O, A respectivement les abscisses -,, et aux points C, D les abscisses -,. C - Définissons une orientation. Si un point M parcourt le cercle : dans le sens de rotation des aiguilles d'une montre, il tourne dans le sens négatif ; dans le sens contraire de rotation des aiguilles d'une montre, il tourne dans le sens positif. La position d'un point M quelconque du cercle s'exprime par l'amplitude de la rotation de centre O qui applique le point A sur le point M, c-à-d par une amplitude de l'angle AOM. Le cercle trigonométrique est un outil important pour la compréhension du cours. Nous vous demanderons parfois de le redessiner afin d'illustrer certains raisonnements.

18 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon (). DÉFINITION DE LA FONCTION y = sin x D P y = sinx M B - O x rad A AOM = x rad C - Imaginons un point M tournant sur le cercle trigonométrique dessiné ci-dessus. Pour chaque position du point M, notons l'amplitude de l'angle AOM. Soit AOM = x radians. Associons au point M sa projection orthogonale, notée P, sur l'axe CD. Soit y l'abscisse du point P sur CD, c'est-à-dire la graduation lue en P. Le nombre y est fonction du nombre x ou encore x détermine y. On dit que le nombre y est le sinus du nombre x. On écrit : y = sin(x) ou y = sinx. 3. QUELQUES POSITIONS PARTICULIÈRES DU POINT M Redessinez éventuellement un cercle trigonométrique sur une feuille de papier : si M est en A alors P est en O ; x = rad et y = d'où sin = ; si M est en D alors P est en D ; x π π = rad et y = d'où sin = ; si M est en B alors P est en O ; x =π rad et y = d'où sin π= ; si M est en C alors P est en C ; 3π x = rad et y = d'où 3π sin =. À la page suivante, vous trouverez d'autres valeurs particulières de x = AOM et les valeurs de sin x correspondantes. Vous avez probablement déjà employé ces résultats dans d'autres cours de trigonométrie.

19 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () 3 x = π π π rad rad rad 6 3 sin x = 3 Tableau à mémoriser TAC Si le point M occupe successivement les quatre sommets du carré inscrit au cercle trigonométrique, recherchez pour chacune des positions : la plus petite amplitude positive exprimée en radians de AOM ; sin AOM. D F E M B - O A G H C -

20 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon (). REPRÉSENTATION DE LA FONCTION Dessinez un cercle trigonométrique sur une feuille de papier.. ère étape : Quelques positions particulières du point M Supposons que le point M effectue un premier tour du cercle trigonométrique dans le sens positif. Voici, pour quelques positions particulières de M et donc quelques valeurs particulières de AOM, les valeurs y correspondantes : x = AOM y = sinx π,785,77 π,57 3π,356,77 π 3, 5π 3,97,77 3π,7-7π 5,98,77 π 6,83 Portons ces résultats sur un graphique en reliant les points par des segments. Voici ce que nous obtenons :,5,5 -,5 π π - -,5

21 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () 5. e étape : M effectue un tour du cercle dans le sens positif Si, au cours du premier tour, pour toutes les positions du point M et donc pour toutes les amplitudes de AOM comprises entre et π, nous notions sin AOM et portions les résultats sur un graphique, voici ce que nous obtiendrions :,5,5 -,5-3π π π π ,5.3 3 e étape : M continue à tourner Supposons que le point M continue à tourner dans le sens positif. Au cours du deuxième tour, le point P parcourt le segment [CD] de la même manière qu'au premier tour. Nous retrouvons donc sur l'intervalle [ π,π ]( e tour) la même représentation de la fonction que sur l'intervalle [, π] ( er tour) et ainsi de suite pour les tours suivants. Voici un tracé sur l'intervalle [, π] :,5,5 -,5 π π 3π π ,5 Nous pouvons prolonger la courbe aussi loin que nous le voulons vers la droite.

22 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () 6. e étape : M tourne dans le sens négatif Partant de A sur le cercle trigonométrique, supposons que le point M tourne dans le sens négatif. Voici, pour quelques positions particulières de M et donc quelques valeurs particulières de AOM, les valeurs y correspondantes : x = AOM y = sinx π,785,77 π, 57-3π,356,77 π 3, 5π 3,97,77 3π,7 7π 5,98,77 π 6,83 Portons ces résultats sur un graphique en reliant les points par des segments. Voici ce que nous obtenons :,5, ,5 - -,5 Nous retrouvons le même type de graphique que dans la ère étape!

23 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () En procédant par une démarche analogue à celle développée dans les étapes précédentes, nous pouvons construire la courbe aussi loin que nous le voulons vers la gauche. Voici un tracé sur l'intervalle [ π, ] : 7,5,5 - π - π ,5 - -,5.5 La sinusoïde En réunissant les graphiques obtenus aux étapes 3 et, nous traçons la sinusoïde qui est la représentation de la fonction y = sinx : La sinusoïde,5,5-5 π - π -5 π -,5 5 π π 5 - -,5 Cette courbe doit être prolongée aussi loin que l'on veut, vers la gauche et vers la droite.

24 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () 8 5. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION 5. Tout nombre réel a une image comprise entre et Analysons cette propriété : tout nombre réel a une image par la fonction sin x signifie que quel que soit le nombre réel x, sin x existe. Nous dirons que la fonction sin x est définie sur R, ou encore que son domaine de définition est l'ensemble R. Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des nombres réels qui ont une image par la fonction. l'image de tout nombre est comprise entre et. TAC Justifiez cette propriété à partir du cercle trigonométrique. Nous dirons que l'image de la fonction est l'intervalle [, ]. Conclusion : Quel que soit le nombre réel x : sinx

25 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () 9 5. La fonction sin x est périodique de période π 5.. Interprétation sur le cercle trigonométrique Plaçons un point M sur le cercle trigonométrique ainsi que le point P associé sur l'axe CD. Si à partir de cette position M effectue un tour D complet, nous constatons que: l'amplitude de AOM a augmenté de π rad. Initialement AOM = x rad; après un tour, AOM = x + πrad. le point P est revenu à sa position B - P O y = sinx M ( ) = sin x + π A initiale et donc son abscisse sur l'axe CD n'a pas changé : sin( x + π ) = sin x. C - Position initiale : AOM = x rad Après un tour : AOM = x + π rad Conclusion : La fonction sin x est périodique de période π, c'est-à-dire : quel que soit le nombre réel x : sin( x + π ) = sin x. Conséquence : Quel que soit le nombre réel x : sin( x + k.π ) = sin x où k est un nombre entier positif, négatif ou nul ( nous écrirons : k Z ). 5.. Interprétation sur le graphique de la fonction Nous avons utilisé la périodicité de la fonction dès la 3 e étape de la construction de la sinusoïde en indiquant que "Au cours du deuxième tour, le point P parcourt le segment [CD] de la même manière qu'au premier tour. Nous retrouvons donc sur l'intervalle [ π, π ] la même représentation de la fonction que sur l'intervalle [, π ], et ainsi de suite pour les tours suivants."

26 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () Pour dessiner la sinusoïde, il suffit donc : de la tracer sur l'intervalle [, π ] ; de redessiner sur les intervalles [k π, (k+) π ], où k est un nombre entier, la courbe obtenue sur l'intervalle [, π ]. La période se lit sur le graphique : vous prenez la distance entre deux maxima (ou deux minima) consécutifs. La sinusoïde,5 période π,5-5 π - π -5 -,5 5 π π 5 - -,5 TAC 3 Sachant que x est un nombre tel que sin x =,5, complétez: sin( x π ) =.. sin( x + 6π ) = Les racines de la fonction 5.3. Définition Un nombre a est une racine de la fonction sin x si son image est nulle, c'est-à-dire si sin a =. Les racines de la fonction sin x : sont les solutions de l'équation sin x = ; s'interprètent géométriquement sur le cercle trigonométrique ; s'interprètent sur la sinusoïde.

27 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () 5.3. Interprétation sur le cercle trigonométrique Déplacez le point M sur le cercle de telle façon que l'abscisse du point P sur l'axe CD soit nulle (y = ). Vous devez placer M en A ou en B. P se trouve alors en O. D Les amplitudes de l'angle AOM sont alors: M P y = sinx..., π, π,, π, π,... rad, si M est en A...., 3 π, π, π, 3 π,... rad, si M est en B. B A - O Ces nombres sont les multiples du nombre π. Nous les résumons par la formule suivante : x positif, négatif ou nul ( k Z ). Conclusion : Les racines de la fonction sin x sont les nombres x positif, négatif ou nul ( k Z ) Interprétation sur le graphique de la fonction La sinusoïde C - AOM = xrad = k π, où k est un nombre entier = k π, où k est un nombre entier,5,5 3π π π 3π π -5 π - π-5 5 π -, ,5 Les racines de la fonction sont les abscisses des points d'intersection de la sinusoïde et de l'axe X, puisque l'image de chacun de ces points est nulle.

28 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () TAC Recherchez les racines de la fonction sin x appartenant à l'intervalle [ π, 8π ] 5. La fonction sin x est impaire 5.. Interprétation sur le cercle trigonométrique Plaçons deux points M et M' sur le cercle trigonométrique tels que AOM = x rad et D AOM' = x rad. P y M M et M' sont symétriques par rapport à l'axe BA, de même que les points P et P' B - O x rad - x rad A correspondants. Les abscisses de ces deux derniers points sur l'axe CD sont donc des nombres opposés. Elles ont été notées y et -y. Nous en déduisons que : y' = y sin AOM' = sin AOM sin( x) = sin x Cette dernière égalité caractérise une fonction impaire P' C y' = - y M' - AOM = x rad AOM' = x rad Conclusion : La fonction sin x est une fonction impaire, c'est-à-dire : quel que soit le nombre réel x, sin( x) = sin x.

29 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () Interprétation sur le graphique de la fonction Plaçons sur l'axe des abscisses du graphique de la fonction deux nombres opposés x et x. Comparons les images de ces nombres.,5 y (x, sin x),5 x x ,5 (- x, sin (- x)) y - -,5 Nous constatons : que les images sont opposées (lire sur l'axe des ordonnées). Nous retrouvons la propriété suivante: sin( x) = sin x ; que les points de coordonnées ( x,sin x) et ( x,sin ( x) ) de la sinusoïde sont l'image l'un de l'autre par la symétrie centrale de centre (,). On dit que le point de coordonnée (,) est un centre de symétrie du graphique. Conclusion : La fonction sin x est une fonction impaire. Le point de coordonnée (,) est un centre de symétrie de son graphique. TAC 5 Si le nombre a est une racine de la fonction sin x, le nombre a est aussi une racine. Pourquoi?

30 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () DEVOIR À ENVOYER. Indiquez la signification de chacune des affirmations suivantes : La fonction sin x est périodique de période π. La fonction sin x est une fonction impaire. Le nombre a est une racine de la fonction sin x.. Existe-t-il des nombres x tels que sin x = 3? Justifiez. 3. Si le point M, variable, occupe F D E M successivement les 6 sommets de l'hexagone régulier inscrit au cercle trigonométrique, recherchez pour chacune des positions : B O A ) la plus petite amplitude positive, exprimée en radians, de AOM ; ) sin AOM. G C - H. Recherchez les racines de la fonction sin x appartenant à l'intervalle [ π, 6 π ].

31 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () 5 CORRIGÉ DES TAC TAC D F E M B - O A G H C - Si M est en AOM = sin AOM = E F π 3π G H 5π 7π TAC Observez le cercle trigonométrique. Quelle que soit la position du point M, le point P se situe toujours entre les points C et D. L'abscisse du point P sur l'axe CD est donc un nombre B - D P O y = sinx x rad M A de l'intervalle [ -, ]. C -

32 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () TAC 3 Si sin x,5 = alors () ( ) sin x π =,5 () sin( x + 6π ) =,5 En effet, selon la propriété 5.., sin( x + k π ) = sin x (k est un entier positif, négatif ou nul). 6 Dans ces exemples, () k =, () k = 3. TAC Les racines de la fonction sin x appartenant à l'intervalle [ π, 8π] sont : π, π 9 et π. 8 TAC 5 Si le nombre a est une racine de la fonction sin x, alors sina =. Or sin( a) = sina (la fonction sin x est impaire), donc sin( a) = sina =. a est aussi une racine de la fonction sin x.

33 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () ÉTUDE DE LA FONCTION COSINUS. Définition de la fonction y = cos x.... Quelques positions particulières du point M Représentation de la fonction ère étape : Quelques positions particulières du point M e étape: M effectue un tour du cercle dans le sens positif e étape : M continue à tourner e étape : M tourne dans le sens négatif La cosinusoïde Propriétés de la fonction Tout nombre réel a une image comprise entre et Relation avec la fonction sin x : la formule fondamentale La fonction cos x est périodique de période π Interprétation sur le cercle trigonométrique Interprétation sur le graphique de la fonction Les racines de la fonction Interprétation sur le cercle trigonométrique..... Interprétation sur le graphique de la fonction....5 La fonction est paire Interprétation sur le cercle trigonométrique Interprétation sur le graphique de la fonction... Devoir à envoyer...3 Corrigé des TAC...

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35 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () ÉTUDE DE LA FONCTION COSINUS. DÉFINITION DE LA FONCTION y = cos x D M B - O x rad P y = cos x A AOM = x rad C - Imaginons un point M tournant sur le cercle trigonométrique dessiné ci-dessus. Pour chaque position du point M, notons l'amplitude de l'angle AOM. Soit AOM = x radians. Associons au point M sa projection orthogonale notée P sur l'axe BA. Soit y l'abscisse du point P sur BA, c'est-à-dire la graduation lue en P. Le nombre y est fonction du nombre x ou encore x détermine y. On dit que le nombre y est le cosinus du nombre x. On écrit : y cos( x) = ou y = cos x.

36 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon (). QUELQUES POSITIONS PARTICULIÈRES DU POINT M Redessinez éventuellement un cercle trigonométrique sur une feuille de papier : si M est en A alors P est en A ; x = rad et y = d'où cos = ; π π si M est en D alors P est en O ; x = rad et y = d'où cos = ; si M est en B alors P est en B ; x =πrad et y = d'où cos π= ; si M est en C alors P est en O ; 3π x = rad et y = d'où 3π cos =. Voici d'autres valeurs particulières de x = AOM et les valeurs de cosx correspondantes. Vous avez probablement déjà employé ces résultats dans d'autres cours de trigonométrie. x = π π π rad rad rad 6 3 cos x = 3 Tableau à mémoriser TAC Si le point M occupe successivement les quatre sommets du carré inscrit au cercle trigonométrique, recherchez pour chacune des positions : la plus petite amplitude positive exprimée en radians de AOM ; cos AOM. D F E M B - O A G H C -

37 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () 3. REPRÉSENTATION DE LA FONCTION 3 Dessinez un cercle trigonométrique sur une feuille de papier. 3. ère étape : Quelques positions particulières du point M Supposons que le point M effectue un premier tour du cercle trigonométrique dans le sens positif. Voici, pour quelques positions particulières de M et donc quelques valeurs particulières de AOM, les valeurs de y correspondantes : x = AOM y = cosx π,785,77 π, 57 3 π,356,77 π 3, 5 π 3,97,77 3 π,7 7 π 5,98,77 π 6,83 Portons ces résultats sur un graphique en reliant les points par des segments. Voici ce que nous obtenons :,5,5 -,5 - π 3π π π 7 -,5

38 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () 3. e étape: M effectue un tour du cercle dans le sens positif Si, au cours du premier tour, pour toutes les positions du point M et donc pour toutes les amplitudes de AOM comprises entre et π, nous notions cos AOM et portions les résultats sur un graphique, voici ce que nous obtiendrions :,5,5 -,5 - π π π 7 3π -, e étape : M continue à tourner Supposons que le point M continue à tourner dans le sens positif. Au cours du deuxième tour, le point P parcourt le segment [BA] de la même manière qu'au premier tour. Nous retrouvons donc sur l'intervalle [, π π] ( e tour) la même représentation de la fonction que sur l'intervalle [, π ] ( er tour), et ainsi de suite pour les tours suivants. Voici un tracé sur l'intervalle [, π ] :,5,5 -,5 π 6 8 π - -,5 Nous pouvons prolonger la courbe aussi loin que nous le voulons vers la droite.

39 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () 5 3. e étape : M tourne dans le sens négatif Partant de A sur le cercle trigonométrique, supposons que le point M tourne dans le sens négatif. Voici, pour quelques positions particulières de M et donc quelques valeurs particulières de AOM, les valeurs y correspondantes : x = AOM y = cosx π,785,77 π, 57 3π,356,77 - π 3, - 5π 3,97,77 3π,7 7π 5,98,77 π 6,83 Portons ces résultats sur un graphique en reliant les points par des segments. Voici ce que nous obtenons :,5, ,5 - -,5 Nous retrouvons le même type de graphique que dans la ère étape!

40 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () En procédant par une démarche analogue à celle développée dans les étapes précédentes, nous pouvons construire la courbe aussi loin que nous le voulons vers la gauche. Voici un tracé sur l'intervalle [ π, ] : 6,5,5 - -π π ,5 - -,5 3.5 La cosinusoïde En réunissant les graphiques obtenus aux étapes 3 et, nous traçons la cosinusoïde, représentation de la fonction y = cosx. La cosinusoïde,5,5-3π - π π 3π - π - π π π ,5 - -,5 Cette courbe doit être prolongée aussi loin que l'on veut, vers la gauche et vers la droite.

41 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () 7. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION. Tout nombre réel a une image comprise entre et Analysons cette propriété : tout nombre réel a une image par la fonction cos x signifie que, quel que soit le nombre réel x, cos x existe. Nous dirons que la fonction cos x est définie sur R, ou encore que son domaine de définition est l'ensemble R. Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des nombres réels qui ont une image par la fonction. l'image de tout nombre est comprise entre et. TAC Justifiez cette propriété à partir du cercle trigonométrique. Nous dirons que l'image de la fonction est l'intervalle [, ]. Conclusion : Quel que soit le nombre réel x, cosx. Relation avec la fonction sin x : la formule fondamentale Les fonctions sin x et cos x sont liées par la relation suivante, que nous appellerons la formule fondamentale : Pour tout nombre réel x : cos x + sin x = Vous avez déjà rencontré cette relation dans un cours de base, nous la considérons donc comme un rappel.

42 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () 8.3 La fonction cos x est périodique de période π.3. Interprétation sur le cercle trigonométrique Plaçons un point M sur le cercle trigonométrique ainsi que le point P associé sur l'axe BA. Si, à partir de cette position, M effectue un tour complet, nous constatons que : D l'amplitude de AOM a augmenté de M π. Initialement, AOM = x rad; après un tour, AOM = x + πrad ; le point P est revenu à sa position initiale et donc son abscisse sur l'axe BA n'a pas changé: cos( x + π ) = cos x B - O C - A P y = cos x ( ) = cos x + π Conclusion : La fonction cos x est périodique de période π, c'est-à-dire : quel que soit le nombre réel x : cos( x + π ) = cos x. Position initiale : AOM = x rad Après un tour : AOM = x + π rad Conséquence : Quel que soit le nombre réel x : cos( x + k π ) = cos x où k est un nombre entier positif, négatif ou nul ( k Z )..3. Interprétation sur le graphique de la fonction Nous avons utilisé la périodicité de la fonction dès la 3 e étape de la construction de la cosinusoïde en indiquant que "Au cours du deuxième tour, le point P parcourt le segment [BA] de la même manière qu'au premier tour. Nous retrouvons donc sur l'intervalle [ π, π] ( e tour) la même représentation de la fonction que sur l'intervalle [, π ] ( er tour), et ainsi de suite pour les tours suivants."

43 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () Pour dessiner la cosinusoïde, il suffit donc: de la tracer sur l'intervalle [, π ] ; de redessiner sur les intervalles [k π, (k+) π ], où k est un nombre entier, la courbe obtenue sur l'intervalle [, π ]. La période se lit sur le graphique : vous prenez la distance entre deux maxima (ou deux minima) consécutifs. 9 La cosinusoïde,5 période π,5-3π - π π 3π - π - π π π ,5 - -,5 TAC 3 Sachant que x est un nombre tel que cos x =,75, complétez: cos( x π ) =... ( ) cos x + 6 π =.... Les racines de la fonction Définition : Un nombre a est une racine de la fonction cos x si son image est nulle, c'est-à-dire si cos a =. Les racines de la fonction cos x : sont les solutions de l'équation cos x = ; s'interprètent géométriquement sur cercle trigonométrique ; s'interprètent graphiquement sur la cosinusoïde.

44 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon ().. Interprétation sur le cercle trigonométrique Déplacez le point M sur le cercle de telle façon que l'abscisse du point P sur l'axe BA soit nulle ( y = ). D M Vous devez placer M en D ou en C : P se trouve alors en O. Lorsque M est en D, la plus petite amplitude B - O x rad P y = cosx A positive de AOM est π. Or, on passe de D à C et de C à D en effectuant des demi-tours sur le cercle. C - AOM = xrad Les amplitudes de l'angle AOM lorsque M est en D ou C sont donc : π + k π on effectue des demi-tours pour passer de C à D et de D à C Conclusion : π Les racines de la fonction cos x sont les nombres x = + k π, où k est un nombre entier positif, négatif ou nul ( k Z )... Interprétation sur le graphique de la fonction Les racines de la fonction sont les abscisses des points d'intersection de la cosinusoïde et de l'axe X, puisque l'image de chacun de ces points est nulle. TAC Écrivez les racines de la fonction cos x appartenant à l'intervalle [ π, 8π ].

45 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon ().5 La fonction est paire.5. Interprétation sur le cercle trigonométrique Plaçons deux points M et M' sur le cercle tels que AOM = x rad et AOM' = x rad. D M M et M' sont symétriques par rapport à l'axe BA. Ils ont donc la même projection orthogonale P sur l'axe BA. Nous en déduisons que : cos AOM' cos AOM = ( ) cos x = cos x. Cette propriété caractérise une fonction paire. B - O C x rad - x rad - AOM = x rad AOM' P A y = cosx = cos x M' = x rad ( ) Conclusion : La fonction cos x est une fonction paire, c'est-à-dire : quel que soit le nombre réel x, cos( x) = cos x..5. Interprétation sur le graphique de la fonction Plaçons sur l'axe des abscisses du graphique de la fonction deux nombres opposés x et x. Comparez les images de ces nombres.,5,5 x x ,5 3 ( x, cos( x)) - (x, cos x) -,5

46 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () Nous constatons: que les images sont égales (lire sur l'axe des ordonnées). Nous retrouvons la propriété suivante : cos( x) = cos x. que les points de coordonnées (x, cos x ) et ( x,cos ( x) ) de la cosinusoïde sont l'image l'un de l'autre par la symétrie orthogonale d'axe Y. On dit que l'axe Y est un axe de symétrie du graphique. Conclusion : La fonction cos x est une fonction paire. L'axe Y est un axe de symétrie du graphique. TAC 5 Si le nombre a est une racine de la fonction cos x, le nombre a est aussi une racine. Pourquoi?

47 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () 3 DEVOIR À ENVOYER. Indiquez la signification de chacune des affirmations suivantes : La fonction cos x est périodique de période π. La fonction cos x est une fonction paire. Le nombre a est une racine de la fonction cos x.. Existe-t-il des nombres x tels que cos x = 3? Justifiez. 3. F D E Si le point M occupe successivement les 6 sommets de l'hexagone régulier inscrit au M cercle trigonométrique, recherchez pour B O A chacune des positions : la plus petite amplitude positive de AOM exprimée en radians ; G C - H cos AOM.. Recherchez les racines de la fonction cos x appartenant à l'intervalle [ π, 6 π ].

48 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () CORRIGÉ DES TAC TAC D Si M est en.. AOM = cos AOM = B - F G O C - E H M A E F G H π 3π 5π - - 7π TAC Observez le cercle trigonométrique. D Quelle que soit la position du point M, le point P se M situe toujours entre les points B et A. L'abscisse du point P sur l'axe BA est donc un B - O x rad P A y = cosx nombre de l'intervalle [, ]. C - TAC 3 Si cos x,75 = alors () ( ) cos x π =.75 () cos( x + 6π ) =.75 En effet, selon la propriété.., cos( x + k π ) = cos x ( k Z ). TAC Les racines de la fonction cos x qui appartiennent à l'intervalle [ π, 8π] sont : 7π -9π et.

49 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Leçon () TAC 5 Si le nombre a est une racine de la fonction cos x, alors cosa =. Or cos( a) = cos a (la fonction cos x est paire), donc cos( a) = cos a = et a est aussi une racine de la fonction cos x. 5

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51 Mathématiques - 3 Notice individuelle (et confidentielle) destinée à votre correcteur tuteur N d'inscription : Adresse :... M. - M me M elle *... NOM : Prénom :... Tél. :... Date de naissance :... Adresse ... Quelle est la dernière année scolaire que vous avez réussie? section :... niveau :... En quelle année?... Diplômes obtenus :... Quelle est votre profession?... Le but de votre inscription est ** : de préparer la 3 e épreuve du Jury de la Communauté française niveau A* niveau B* de revoir ou étudier les notions proposées dans les parties du cours de suivre uniquement la partie "Trigonométrie" Avez-vous déjà suivi un cours de mathématiques de l'enseignement à distance? oui non * Si oui, donnez le(s) numéros(s) de ce(s) cours : Ci-dessous, indiquez les remarques dont vous souhaitez faire part à votre professeur (circonstances particulières susceptibles d'influencer vos études, etc.) ainsi que vos questions éventuelles (points importants du cours, méthode de travail, etc.) : * Entourez ce qui convient. ** Faites une croix dans la case qui convient.

52 Partie réservée au professeur N d'inscription :... NOM :... Prénom :... Cours 3 : Trigonométrie (s. à 9) Cours entier N bordereau Date Série-Devoir Appréciation Commentaires

53 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Corrigé (L. ) ETUDE DE LA FONCTION SINUS. Voici la signification des affirmations données : la fonction sin x est périodique de période π : quel que soit le nombre réel x : sin( x + π ) = sin x la fonction sin x est une fonction impaire : quel que soit le nombre réel x, sin( x) = sin x le nombre a est une racine de la fonction sin x : l'image du nombre a est nulle, c'est-à-dire sin a =.. Il n'existe aucun nombre x tel que sin x = 3, puisque : quel que soit le nombre réel x, sin x. 3. B F D O E G H C - M A Si M est en.. AOM = sin AOM = A E F π 3 3 π 3 3 B π G π 3 3 H 5π 3 3. Les racines de la fonction sin x appartenant à l'intervalle [ π, 6 π ] sont : π, 5 π, 6 π.

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55 Mathématiques S3/A,B Cours 3 Série Trigonométrie Corrigé (L. ) ÉTUDE DE LA FONCTION COSINUS. Voici la signification des affirmations données : la fonction cos x est périodique de période π : quel que soit le nombre réel x : cos( x + π ) = cos x la fonction cos x est une fonction paire : quel que soit le nombre réel x : cos( x) = cos x le nombre a est une racine de la fonction cos x : l'image du nombre a est nulle, c'est-à-dire : cosa =. Il n'existe aucun nombre x tel que cos x=3, puisque : quel que soit le nombre x : cos x. 3. F D E Si M est en AOM = cos AOM = A M E π 3 B O A F π 3 B π G C - H G H π 3 5π 3. Les racines de la fonction cos x qui appartiennent à l'intervalle [ π, 6 π ] sont 9π, π.

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