Devoir maison n 2 Corrigé

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1 Licence 3 de Physique et applications 16 Électromagnétisme Université Paris Sud Questions de cours. Devoir maison n Corrigé 1. Les équations de Maxwell du champ magnétique en magnétostatique sont B =, (1) B = µ J. () En présence d un champ d aimantation, le courant est J = j + M où j est le courant libre. Seule l équation de Maxwell-Ampère est modifiée pour donner H = (B/µ M) = j. (3). De l équation de Maxwell-Thompson B = on déduit que B peut s écrire sous la forme du rotationnel d un champ A soit B = A 3. On a j s = M n et j v = M où n est le vecteur normal (sortant) à la surface du matériau. 4. À la surface entre deux matériaux de perméabilités magnétiques µ 1 et µ on a les relations de passage suivantes (B 1 B ) n 1 =, (4) ( B1 B ) n 1 = j s, (5) µ 1 µ où n 1 est le vecteur normal à la surface dirigé du milieu (1) vers le milieu () et j s sont les courants (libres) de surface. Exercice 1 : Miroir magnétique. On se place dans le cadre de la magnétostatique. On souhaite évaluer l influence d un matériau magnétique de permittivité magnétique relative µ r situé en z < sur le champ magnétique généré par une distribution de courants, j, située en z >. 1. Comme on a B = µ j, on déduit que Or en jauge de Coulomb on a A = et on obtient donc ( A) = ( A) A = µ j. (6) A = µ j. Cette équation est analogue à l équation de Poisson, V = ρ/ε, que l on obtient en éléctrostatique. Dans le cas où A e z =, on en déduit directement que A z = et donc que j e z =. La distribution de courant n a aucune composante verticale.. Comme la distribution de courants est absente en z <, on a A (x, y, z) =, si z >, (7) A (x, y, z) =, si z <. (8) Par conséquent, on a directement que pour z >, A vide = A = µ j et que pour z <, A magn =. On retrouve bien la relation A = µ j, z. (9) 1

2 3. À l interface (z = ) on les deux relations de continuité suivantes A vide (z = ) = A magn (z = ), (1) ( 1 A vide (z = ) 1 ) A magn (z = ) n 1 =. (11) µ µ µ r De ces deux relations et en gardant à l esprit que A e z =, on montre alors que les constantes α et β sont solutions des deux équations suivantes 1 α = β, (1) 1 + α = 1 µ r β, (13) et donc α = 1 µ r, β = µ r. 1 + µ r 1 + µ r 4. Application. On s intéresse au cas où le champ magnétique est celui au sein d une spire infinie de courant I et de densité de spire n, orientée selon z, c est à dire que B = µ niu z. Une telle approximation est valable si on s intéresse au comportement du champ magnétique proche de la surface du milieu magnétique. a. On a, en utilisant que A e z = et B = A, que B = z A y z A x x A y y A x (14) et donc A x et A y sont indépendantes de la coordonnée z. Si on ajoute la jauge de Coulomb A = on est alors amenés à résoudre les deux équations suivantes pour A x (x, y) et A y (x, y) x A y y A x = B, (15) x A x + y A y =. (16) De la seconde équation on déduit que l on peut introduire φ tel que A x = y φ et A y = x φ (c est tout à fait similaire au raisonnement qui nous a mené à introduire de le potentiel vecteur, A, comme A = on peut écrire A comme le rotationnel d un champ φ). On en déduit que ce champ φ est tel que Une solution possible est φ = B 4 φ = B. (17) ( x + y ), de laquelle on déduit la solution suivante A = B y x. (18) Remarque. Le raisonnement montre que d autres choix de A sont en fait possibles, cela dépend de la forme du champ φ choisie. b. Il suffit de remplacer l expression de A ci-dessus dans les expressions proposées pour A avec les α et β correspondants. c. Dans un milieu LHI on a B = µh et donc M = B µ H = µ r 1 µ r B µ = µ r 1 µ r A µ. (19) Comme A = β A (avec β déterminé à la question 3.)) dans le matériau et A = B, on a M = µ µ r 1 µ r + 1 B () d. Comme B est normal à la surface et est homogène, on en déduit directement que j s = M n =, (1) j v = M =. ()

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4 Exercice 3 - Application d un champ radiofréquence. 1) γ: rapport gyromagnétique, g = pour un électron. ) Γ = µ B. L application du TMC en utilisant µ = gγσ = e mσ, et M = nµ donne : σ = Γ = µ B µ = gγµ B µ = e m µ µ H M 3) On a deux équations : = µ e m M H = γm H M = γm H (M + M) = γ (M + M) (H + H) On peut donc simplifier l ordre dans la deuxième équation et en négligeant le terme d ordre, on trouve : M = γ (M H + M H ) { jωmx = γ ( M H y + H M y ) jωm y = γ (M H x H M x ) { jωmx γh M y = γm H y γh M x + jωm y + = γm H x Donc en utilisant la règle de Cramer : γm H y γh γm H x jω M x = jω γh = χh x + jκh y γh jω jω γm H y γh γm H x M y = jω γh = χh y jκh x γh jω 1

5 4) On introduit le tenseur de susceptibilité χ tel que M = χh. Alors on a : B = µ (H + M) = µ (H + χh) = µ (1 + χ) H B = µh Donc ( ) 1 + χ jκ µ = µ jκ 1 + χ