MODELES DE LA COURBE DES TAUX Université d Evry Val d Essonne Séance 5. Philippe PRIAULET

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1 MODELES DE LA COURBE DES TAUX Université d Evry Val d Essonne Séance 5 Philippe PRIAULET

2 Mise en place et mesure de performance de stratégies obligataires Introduction 1- La notion de paris sur la courbe des taux 2- Présentation de stratégies classiques Stratégies naïves et «roll-over» «Riding the yield curve» «Barbell», «bullet», «ladder» et «butterfly» 3- Introduction à l analyse par scénario 4- Mesure de performance de quelques stratégies

3 Introduction Une bonne couverture contre le risque de taux d intérêt permet d être immunisé contre les déformations de la courbe des taux d intérêt et de protéger ainsi son capital. Cette technique ne permet pas en revanche de tirer parti de mouvements anticipés sur la courbe des taux. Le métier de la gestion active consiste à prendre des paris mesurés sur les déformations de la courbe des taux.

4 Introduction Il est important de connaître pour chaque scénario de déformation de la courbe des taux d intérêt envisagé ce que va rapporter la stratégie mise en place. Il est également essentiel de mesurer le risque pris si le scénario de déformation ne se produit pas. Cela passe d abord par une bonne connaissance des stratégies obligataires mises en place, l idée étant de savoir pour chaque stratégie quel est le scénario de déformation de la courbe le plus favorable en termes de performance.

5 Introduction Cela implique de construire un outil performant de «scenario analysis» qui permet de simuler à un horizon donné les déformations possibles de la courbe des taux et de calculer dans chaque scénario la performance de la stratégie envisagée. Objectif de la séance: Apprendre à mesurer la performance et le risque de stratégies obligataires en fonction d anticipations sur les mouvements de la courbe des taux

6 La notion de paris sur la courbe des taux Les gérants de portefeuille prennent à un horizon donné des paris sur les déformations de la courbe des taux en mettant en place des stratégies obligataires. Ces paris sont de trois nature: - des paris fondés sur une variation en niveau autrement dit une déformation parallèle de la courbe des taux. - des paris fondés sur l absence de mouvements de la courbe des taux. - des paris fondés sur les mouvements de pentification et courbure de la courbe des taux

7 La notion de paris sur la courbe des taux Le mouvement en niveau Translation vers le haut - vers le bas yield (in %) maturity

8 La notion de paris sur la courbe des taux Le mouvement de pentification - aplatissement yield (in %) maturity

9 La notion de paris sur la courbe des taux Le mouvement de courbure Inflexion : plus concave - plus convexe yield (in %) maturity

10 La notion de paris sur la courbe des taux Les paris sur le niveau des taux amènent à développer deux types de stratégies: - les stratégies naïves - les stratégies «roll-over» Les paris sur l absence de mouvement de la courbe font appel aux stratégies dites «Riding the yield curve». Les paris sur les mouvements de pentification et d aplatissement de la courbe des taux font appel aux «butterflys».

11 Présentation de stratégies classiques Stratégies Naïves à la Baisse des Taux Elles sont utilisées à partir de la courbe de taux de rendement à maturité. Un seul facteur est à l origine des déformations de la courbe qui sont des mouvements de translation, soit à la hausse, soit à la baisse. C est ce cadre d analyse réducteur ne prenant en compte que des mouvements de translation qui rend les stratégies obligataires associées peu sophistiquées voire naïves.

12 Présentation de stratégies classiques Rappel des notions de Duration Modifiée et $Duration La Duration Modifiée et la $Duration permettent de calculer respectivement le profit & loss absolu et relatif du porteur de l obligation suite à un mouvement du taux de rendement P&L absolu = $Duration. Mouvement du taux P&L relatif = - Duration Modifiée. Mouvement du taux Exemple: Soit une obligation de montant nominal 100$, de taux de coupon 10%, de taux de rendement 9% (prix =106.42$). En supposant que le taux de rendement de l obligation baisse de 1%, le porteur de l obligation dégage les profits suivants Profit absolu = - 670$.(-1%) = 6.7$ Profit relatif = (-1%) = 6.296%

13 Présentation de stratégies classiques Stratégies Naïves à la Baisse des Taux Si le gérant de portefeuille pense que les taux vont baisser en niveau, il va donc acheter les obligations (ou contrats future) qui ont le maximum de $duration pour optimiser son profit absolu ou le maximum de duration modifié pour optimiser son profit relatif. Propriétés de la $duration et de la duration modifiée - plus la maturité est grande, plus le taux de coupon est élevé, plus la $duration d une obligation est élevée. - plus la maturité est grande, plus le taux de coupon est faible, plus la duration modifiée d une obligation est élevée.

14 Présentation de stratégies classiques Exemple de stratégie naïve Nous considérons à la date t une courbe des taux de rendement à maturité plate et cinq obligations aux caractéristiques suivantes Obligation Maturité Taux de Taux de Prix coupon rendement 1 2 ans 5% 5% 100$ 2 10 ans 5% 5% 100$ 3 30 ans 5% 5% 100$ 4 30 ans 7.5% 5% $ 5 30 ans 10% 5% $

15 Présentation de stratégies classiques Exemple de stratégie naïve (2) Deux gérants de portefeuille s attendent à une baisse immédiate de 0.5% des taux de rendement pour atteindre 4.5%. Le gérant 1 souhaite optimiser son profit absolu alors que le gérant 2 préfère optimiser le profit relatif. Ils font les calculs suivants: Obligation Duration Modifiée $Duration Gain relatif Gain absolu % 0.936$ % 3.956$ % 8.144$ % $ % $ Le gérant 1 choisit donc l obligation 5 alors que le gérant 2 choisit l obligation 3.

16 Présentation de stratégies classiques Stratégie naïve à la hausse des taux Inversement, si le gérant de portefeuille anticipe une hausse des taux en niveau, il va vendre à découvert les obligations qui ont le maximum de duration modifiée ou $ duration selon qu il préfère maximiser le profit relatif ou absolu. Alternativement, il peut aussi pratiquer un «roll-over» Le roll-over consiste pour un investisseur qui a un horizon de détention de x années et anticipe une hausse effective des taux dans y années (y < x) à porter des titres courts de maturité y années jusqu à leur échéance puis à racheter aussitôt des titres de maturité (y-x) années.

17 Présentation de stratégies classiques Exemple de «Roll-Over» Nous supposons qu à la date t la courbe des taux de rendement à maturité est plate à 5%. Un gérant de portefeuille souhaite investir de l argent pour une durée de 5 ans, mais il anticipe une hausse des taux de 1% dans 1 an. On suppose que son anticipation se vérifie.

18 Présentation de stratégies classiques Exemple de «Roll-Over» (2) Solution 1: il investit dans une obligation de montant nominal 100$, de taux de coupon 5% soit de prix 100$. Le taux de rendement de son investissement au bout d un an est égal à: Taux de rendement = ( )/100 = 1.53% Il a donc généré un taux de rendement sur la première année de 1.53% et détient une obligation de taux de coupon 5% qui n a plus que 4 ans de maturité.

19 Présentation de stratégies classiques Exemple de «Roll-Over» (3) Solution 2: il adopte la stratégie de «roll-over». Il achète donc une obligation de montant nominal 100$, de maturité 1 an et achète dans un an une obligation de maturité 4 ans au taux de rendement du marché dans un an. Le taux de rendement de son investissement au bout d un an est égal à: Taux de rendement = ( )/100 = 5% Il a donc généré un taux de rendement sur la première année de 5% et détient une obligation de taux de coupon 6% de maturité 4 ans.

20 Présentation de stratégies classiques Exemple de «Roll-Over» (4) En supposant que le taux de rendement reste stable à 6% au cours des 4 prochaines années et que les cash-flows intermédiaires sont réinvestis au taux annuel de 6%, il est possible de calculer le taux de rendement annualisé pour les deux solutions obtenus sur les cinq années de placement. Solution 1: Le gérant débourse et reçoit les cash-flows suivants: Dates T = 0 1 an + tard 2 ans + tard Cash-Flows -100$ 5$ 5$ Dates 3 ans + tard 4 ans + tard 5 ans +tard Cash-Flows 5$ 5$ 105$

21 Présentation de stratégies classiques Exemple de «Roll-Over» (5) Le taux de rendement annualisé sur les 5 ans est égal à: taux de rendement annualisé = /5 1 = 5.092% Solution 2: Le gérant débourse et reçoit les cash-flows suivants: Dates T = 0 1 an + tard 2 ans + tard Cash-Flows -100$ 5$ 6$ Dates 3 ans + tard 4 ans + tard 5 ans +tard Cash-Flows 6$ 6$ 106$

22 Présentation de stratégies classiques Exemple de Roll-Over (6) Notons qu un an plus tard, le gérant reçoit 105$ et débourse 100$ pour acheter la nouvelle obligation de maturité 4 ans, si bien que le cash-flow net est de 5$. Le taux de rendement annualisé sur les 5 ans est égal à: taux de rendement annualisé = /5 1 = 5.8% La solution 2 procure donc un taux de rendement annualisé sur les 5 ans supérieur à celui de la solution 1.

23 Présentation de stratégies classiques Riding the Yield Curve Riding the Yield Curve est une technique que les gérants de portefeuille utilisent dans un environnement où la courbe des taux est ascendante et supposée rester inchangée au cours du temps. Pour un gérant de portefeuille qui a un horizon de détention de x années, l idée du placement est d acheter des titres de maturité y années (avec y > x) et de les revendre x années plus tard. Quand les hypothèses sur la courbe des taux se réalisent, ce placement procure un taux de rendement plus élevé qu un placement qui aurait consisté à acheter un titre de maturité x ans et de le porter jusqu à maturité.

24 Présentation de stratégies classiques Riding the Yield Curve - Exemple A la date t=0, nous considérons la courbe des taux zéro-coupon suivante et 5 obligations de même montant nominal 100$ et taux de coupon annuel 6%. Nous calculons la valeur de ces obligations à la date t=0, et un an plus tard (en t=1) en supposant que la courbe des taux zéro-coupon est restée inchangée. Maturité Taux zérocoupon Prix des obligations en t=0 Prix des obligations en t=1 1 an 3.90% $ $ 2 ans 4.50% $ $ 3 ans 4.90% $ $ 4 ans 5.25% $ $ 5 ans 5.60% $

25 Présentation de stratégies classiques Riding the Yield Curve - Exemple (2) Un gérant de portefeuille qui a une somme de $ à sa disposition pour un an a deux options: - soit investir cette somme dans une obligation de maturité 1 an - soit mettre en place la stratégie riding the yield curve en supposant que la courbe des taux zéro-coupon ne va pas bouger au cours du temps. Dans ce cas, il a 4 solutions différentes:

26 Présentation de stratégies classiques Riding the Yield Curve - Exemple (3) - Solution 1: acheter l obligation de maturité 2 ans et la revendre dans 1 an - Solution 2: acheter l obligation de maturité 3 ans et la revendre dans 1 an - Solution 3: acheter l obligation de maturité 4 ans et la revendre dans 1 an - Solution 4: acheter l obligation de maturité 5 ans et la revendre dans 1 an

27 Présentation de stratégies classiques Riding the Yield Curve - Exemple (4) Nous calculons à présent le taux de rendement annuel de chacune des stratégies. - Investissement dans une obligation de maturité 1 an taux de rendement annuel = - soluiton 1 de Riding the Yield Curve = % taux de rendement annuel = = 5.036%

28 Présentation de stratégies classiques Riding the Yield Curve - Exemple (5) - solution 2 de Riding the Yield Curve taux de rendement annuel = = 5.571% - solution 3 de Riding the Yield Curve taux de rendement annuel = = 6.077% - solution 4 de Riding the Yield Curve taux de rendement annuel = = 6.633%

29 Présentation de stratégies classiques Riding the Yield Curve - Exemple (6) La stratégie Riding the Yield Curve offre un taux de rendement bien plus élevé que la stratégie consistant à acheter l obligation de maturité un an. La solution 4 offre le meilleur taux de rendement annuel. Si les taux zéro-coupon avaient augmenté, le taux de rendement annuel aurait été moindre que 6.633% (solution 4) et aurait pu être inférieur à 3.90% (investissement dans l obligation de maturité 1 an).

30 Présentation de stratégies classiques Barbell et bullet On appelle barbell un portefeuille construit en concentrant les investissements sur les segments court et long terme. Exemple: Un portefeuille investi à 50% dans une obligation zéro-coupon de maturité 6 mois et à 50% dans une obligation de maturité 30 ans est un exemple de barbell. On appelle bullet un portefeuille construit en concentrant l investissement sur une maturité donnée de la courbe des taux. Exemple: Un portefeuille investi à 100% dans une obligation de maturité 5 ans est un exemple de bullet.

31 Présentation de stratégies classiques Ladder On appelle ladder un portefeuille construit en investissant des montants égaux sur plusieurs maturités. Exemple: Un portefeuille investi à 25% dans une obligation de maturité 1 an, à 25% dans une obligation de maturité 2 ans, à 25% dans une obligation de maturité 3 ans, et à 25% dans une obligation de maturité 4 ans est un exemple de ladder. Les barbells, bullets et ladders sont des portefeuilles standards utilisés pour construire des portefeuilles plus sophistiqués. Nous allons à présent étudier en détail les butterflys qui sont des combinaisons de barbells et bullets.

32 Présentation de stratégies classiques Butterfly Le butterfly est la combinaison d un barbell (les ailes du butterfly ) et d un bullet (le centre du butterfly ). Cette stratégie a pour but de tirer parti de mouvements de pentification et d aplatissement de la courbe des taux, i.e. directement lié au facteur de rotation de la courbe. Le butterfly est un produit obligataire qui a une sensibilité (ou duration modifiée) toujours égale à zéro, de façon à être globalement neutre à une variation parallèle de la courbe des taux.

33 Présentation de stratégies classiques Butterfly (2) Il existe de nombreux types de butterfly, tous à sensibilité nulle. Un seul est à décaissement nul alors que les autres nécessitent d investir de l argent. Nous considérons d abord un cadre simpliste où la courbe des taux n est affectée que par des mouvements parallèles. Dans un contexte où les taux d intérêt ne sont affectés que par des mouvements parallèles, la stratégie est construite de telle façon à avoir une convexité positive. Dans ce cas, on est sûr que la stratégie permettra de gagner de l argent que les taux montent ou descendent.

34 Présentation de stratégies classiques Butterfly (3) - Exemple Nous considérons les trois obligations suivantes de même montant nominal 100$. Maturité Coupon TRA Prix Sensibilité Quantité 2 ans 5% 5% 100$ Q1 5 ans 5% 5% 100$ ans 5% 5% 100$ Q3 Nous construisons le butterfly de telle façon qu il soit neutre en sensibilité et à décaissement nul sachant que l on souhaite vendre 1000 obligations de maturité 5 ans. Formellement, on cherche les quantités Q1 et Q3 telles que:

35 Présentation de stratégies classiques Butterfly (4) - Exemple ( Q ) + ( Q ) = ( ) ( Q1 100) + ( Q3 100) soit Q1 = et Q3 = = ( ) Nous traçons à présent le profil de P&L du produit dépendant de la nouvelle valeur du taux de rendement. Nous constatons que le butterfly ainsi constitué a une convexité positive puisque la stratégie réalise un gain quelle que soit la nouvelle valeur du taux de rendement. Par exemple, si le taux de rendement s établit à 4%, le gain est égal à 57$.

36 Présentation de stratégies classiques Butterfly (5) - Exemple Strategy Gain : 2 0 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% Yield to Maturity

37 Présentation de stratégies classiques Butterfly (6) Nous nous sommes placés jusqu à présent dans un cadre réducteur où la courbe des taux n était affectée que par des mouvements parallèles. Nous nous plaçons maintenant dans un cadre plus large où la courbe des taux peut être affectée potentiellement par les trois mouvements principaux de déformation, niveau, pente et courbure. Nous envisageons dans un premier temps les 4 différents types de butterfly.

38 Les quatre types de «butterfly» Les 4 types de butterfly sont: - à décaissement nul - à $duration équi-répartie sur les ailes - à $duration ajustée par la volatilité des taux - à $duration ajustée par la maturité des obligations Rappelons qu un butterfly est toujours de sensibilité égale à zéro et que la quantité investie dans le bullet est fixée au départ. Nous considérons les obligations aux caractéristiques suivantes: Segment Prix Sensibilité Quantité Court P1 S1 Q1 Moyen P2 S2 Q2 = α Long P3 S3 Q3

39 Les quatre types de «butterfly» (2) A décaissement nul On cherche à déterminer les quantités Q1 et Q3 telles que La particularité de cette stratégie est qu elle ne réclame pas de mise initiale. Les trois autres stratégies ne sont pas à décaissement nul. ( ) ( ) ( ) = + + = ) 3 ( 2) ( 1) 1 ( P Q P P Q P S Q P S P S Q α α

40 Les quatre types de «butterfly» (3) A $duration équi-répartie sur les ailes On cherche à déterminer les quantités Q1 et Q3 telles que Si la différence entre les variations de taux de rendement du centre et de l aile courte (obligation de courte maturité) est égale à la différence entre les variations de taux de rendement de l aile longue et du centre, le «butterfly» ainsi construit est insensible à des mouvements de pentification ou d aplatissement de la courbe. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = P S P S Q P S Q P S Q P S P S Q α α

41 Les quatre types de «butterfly» (4) A $duration équi-répartie sur les ailes (2) Supposons par exemple que les taux de rendement initiaux des 3 obligations de maturité courte, moyenne et longue sont respectivement 4.5%, 5.5% et 6%. S ils varient et deviennent 4.2%, 5.5%, 6.3% (mouvement de pentification) ou 4.8%, 5.5% et 5.7% (mouvement d aplatissement), la différence entre les variations de taux du centre et de l aile courte est égale à 0.3%, de même que la différence entre les variations de taux de l aile longue et du centre. Dans cette hypothèse, le butterfly ainsi construit est insensible aux déformations de la courbe.

42 Les quatre types de «butterfly» (5) A $duration ajustée par la volatilité des taux On cherche à déterminer les quantités Q1 et Q3 telles que ( Q1 S1 P1) + ( α S2 P2) + ( Q3 S3 P3) ( Q1 S1 P1) (1/ β ) = ( Q3 S3 P3) Les taux courts sont plus volatiles que les taux longs. On peut donc s attendre à ce que la différence entre les variations de taux de rendement du centre et de l aile courte soit supérieure à la différence entre les variations de taux de rendement de l aile longue et du centre. Le coefficient β est calculé par un modèle de régression entre les variations de la différence de taux de rendement du centre et de l aile courte et les variations de la différence de taux de rendement de l aile longue et du centre. = 0

43 Les quatre types de «butterfly» (6) A $duration ajustée par la volatilité des taux (2) Les valeurs obtenues pour le coefficient dépendent de la fréquence des données utilisées (quotidienne, hebdomadaire ou mensuelle) et naturellement de la période historique étudiée. β Notons que le «butterfly» à $duration équi-répartie sur les ailes correspond à un «butterfly» à $duration ajustée par la volatilité des taux qui aurait un coefficient égal à 1. Supposons que l on obtienne une valeur de 0.5 pour le coefficient de régression, cela signifie que si la différence entre les variations de taux de rendement du centre et de l aile courte est deux fois plus importante que la différence entre les variations de taux de rendement de l aile longue et du centre, le «butterfly» ainsi construit est insensible à des mouvements de pentification ou d aplatissement de la courbe. β

44 Les quatre types de «butterfly» (7) A $duration ajustée par la volatilité des taux (3) Supposons par exemple que les taux de rendement initiaux des 3 obligations de maturité courte, moyenne et longue sont respectivement 4.5%, 5.5% et 6%. S ils varient et deviennent 4.2%, 5.5%, 6.15% (mouvement de pentification) ou 4.8%, 5.5% et 5.85% (mouvement d aplatissement), la différence entre les variations de taux du centre et de l aile courte est égale à 0.3%, soit deux fois plus élevée que la différence entre les variations de taux de l aile longue et du centre. Dans cette hypothèse, le butterfly ainsi construit est insensible aux déformations de la courbe.

45 Les quatre types de «butterfly» (8) A $duration ajustée par la maturité des obligations On cherche à déterminer les quantités Q1 et Q3 telles que où M1, M2 et M3 sont les maturités respectives des obligations courte, moyenne et longue. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = P S M M M M P S Q P S M M M M P S Q P S Q P S P S Q α α α

46 Les quatre types de «butterfly» (9) A $duration ajustée par la maturité des obligations Ce produit est construit dans le même esprit que le butterfly à $duration ajustée par la volatilité des taux. En fait, il correspond à un butterfly à $duration ajustée par la volatilité des taux qui aurait pour coefficient de régression β = M M 2 3 M M 1 2

47 Les quatre types de «butterfly» (10) Exemple numérique Nous considérons trois obligations aux caractéristiques suivantes: Maturité TRA Prix Quantité Sensibilité 2 ans 4.5% $ Q ans 5.5% $ ans 6% 92.64$ Q Nous construisons les 4 types de «butterfly» de la façon suivante: - nous vendons obligations de maturité de 5 ans. - nous achetons Q1 obligations de maturité 2 ans, et Q3 obligations de maturité 10 ans. Nous considérons un coefficient β égal à 0.5 pour le «butterfly» à $duration ajustée par la volatilité des taux.

48 Les quatre types de «butterfly» (11) Exemple numérique (2) Les résultats obtenus en termes de quantités Q1 et Q3 à détenir dans le «barbell» sont les suivantes. 1- Butterfly à décaissement nul Q1 = et Q3 = Butterfly à $duration équi-répartie sur les ailes Q1 = et Q3 = Butterfly à $duration ajustée par la volatilité des taux Q1 = et Q3 = Butterfly à $duration ajustée par la maturité des obligations Q1 = et Q3 =

49 Introduction à l analyse par scénario Quand un gérant de portefeuille met en place une stratégie, il a besoin de savoir ce qu il va gagner dans le scénario de déformation de la courbe des taux qu il anticipe. Mais comme il n est pas sûr que son scénario se réalise, il a aussi besoin de mesurer le risque qu il prend si ce scénario ne se réalise pas dans les faits. Pour cela, il a besoin de mettre en place un outil qui lui permet d envisager tous les scénarios possibles de déformation de la courbe des taux.

50 Introduction à l analyse par scénario (2) Cet outil appelé analyse par scénario ou «scenario analysis» lui permettra de calculer: - le taux de rendement le plus défavorable suite à la mise en place de la stratégie d investissement. - le taux de rendement moyen et son écart-type en prenant en compte l ensemble des scénarios possibles de déformation de la courbe.

51 Introduction à l analyse par scénario (3) L analyse par scénario est généralement implémentée en deux étapes: - le gérant de portefeuille imagine d abord les différents scénarios possibles de déformation de la courbe jusqu à un horizon donné (son horizon d investissement) et calcule les taux de rendement de sa stratégie sous chacun des scénarios. - il donne ensuite des probabilités de réalisation à chacun des scénarios et calcule l espérance et l écart-type du taux de rendement de sa stratégie.

52 Exemple d analyse par scénario Considérons à la date t = 0 la courbe des taux zéro-coupon et le portefeuille obligataire suivants: Maturité 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans Taux zérocoupon 4% 4.5% 4.75% 5% 5.2% Obligation Maturité Taux de Prix Quantité coupon Obligation 1 1 an 4% 100$ 1000 Obligation 2 3 ans 6% $ 1000 Obligation 3 5 ans 5% 99.34$ 1000

53 Exemple d analyse par scénario (2) Un gérant de portefeuille qui a un horizon d investissement de un an imagine six scénarios différents de déformation de la courbe des taux à cet horizon Taux zérocoupon 1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans Hausse en 5% 5.5% 5.75% 6% 6.2% niveau Baisse en 3% 3.5% 3.75% 4% 4.2% niveau Inchangé 4% 4.5% 4.75% 5% 5.2% Aplatissement 4.3% 4.6% 4.75% 4.85% 5% Pentification 3.8% 4.3% 4.75% 5.2% 5.5% Courbure 4.2% 4.5% 4.75% 5% 5.1%

54 Exemple d analyse par scénario (3) Il calcule le taux de rendement de son portefeuille à l horizon d un an pour chacun des scénarios Scénario Obligation 1 Obligation 2 Obligation 3 Portefeuille Hausse en 4% 3.35% 2.33% 3.23% niveau Baisse en 4% 7.04% 9.48% 6.84% niveau Inchangé 4% 5.17% 5.82% 5% Aplatissement 4% 4.97% 6.29% 5.08% Pentification 4% 5.54% 5.19% 4.91% Courbure 4% 5.16% 5.81% 4.99% En supposant que tous les scénarios ont la même probabilité d occurrence égale à 1/6, l espérance du taux de rendement du portefeuille et son écart-type s établissent à E( P) = 5.04% σ ( P) = 1.01%

55 Comment construire une analyse par scénario? La construction d une analyse par scénario se déroule en 3 étapes: - accumuler dans un premier temps un maximum d informations concernant le contexte macro-économique, la politique en termes de taux d intérêt à court terme des banques centrales, l avis d experts, des études économétriques sur des variables financières clef..., un travail réalisé en particulier par un service d études économiques. - faire la synthèse de toutes ces informations et formuler des anticipations à un horizon donné. - traduire ces anticipations dans un modèle de la courbe des taux.

56 Comment construire une analyse par scénario? Utilisation du modèle de Nelson et Siegel La fonctionnelle imaginée par Nelson et Siegel s écrit : 1 exp( θ τ ) 1 exp( θ τ ) R( 0, θ ) = β + β1 + β2 exp( θ θ τ θ τ 0 τ R(0,θ): taux zéro-coupon de maturité θ β 0 : facteur de niveau β 1 : facteur de rotation β 2 : facteur de courbure τ : paramètre d échelle destiné à rester fixe au cours du temps )

57 Comment construire une analyse par scénario? Utilisation du modèle de Nelson et Siegel (2) L idée est d ajouter chaque jour, semaine, mois ou année un aléa à chacun des paramètres béta qui guident l évolution de la courbe des taux. Pour i = 0,1,2 β = ) + σ X i ( t j ) βi ( t j 1 où β i ( t j ) est la valeur de i à la date β i t j i t j t j 1 = 1/365 ou 1/52 ou 1/12 ou 1 En supposant par exemple un gérant ayant un horizon de placement de 1 an, on peut considérer cette dernière quantité égale à 1.

58 Comment construire une analyse par scénario? Utilisation du modèle de Nelson et Siegel (3) X i suit un processus gaussien centré réduit Les corrélations entre ces processus sont supposées égales à zéro exceptée la corrélation entre X1 et X2 que nous considérons égale à 0.3 d après les études historiques réalisées. Nous considérons une courbe des taux initiale ascendante caractérisée par le jeu de paramètres suivant: β0 = 7% β1 = 2% β = 1% 2 τ = 3.33

59 Comment construire une analyse par scénario? Utilisation du modèle de Nelson et Siegel (4) Nous supposons que le gérant a un horizon de un an. La différence entre deux dates successives de la simulation est considérée égale à 1. Les écart-types annuels des paramètres béta sont égaux à: σ 0 = 1% σ 1 = 1.5% σ 2 = 1%

60 Comment construire une analyse par scénario? Utilisation du modèle de Nelson et Siegel (5) Nous obtenons les résultats suivants pour les cinq premières simulations X0 X1 X2 Béta 0 Béta 1 Béta % % 0.829% % % 0.819% % % 1.319% % % % % % 1.222% Ceci nous permet d obtenir les taux zéro-coupon pour n importe quelle maturité et d en déduire à l horizon d un an le taux de rendement de la stratégie envisagée dans chaque scénario.

61 Mesure de performance de butterflys Nous reconsidérons les trois mêmes obligations aux caractéristiques suivantes: Maturité TRA Prix Quantité Sensibilité 2 ans 4.5% $ Q ans 5.5% $ ans 6% 92.64$ Q Nous construisons les 4 types de «butterfly» de la façon suivante: - nous vendons obligations de maturité de 5 ans. - nous achetons Q1 obligations de maturité 2 ans, et Q3 obligations de maturité 10 ans. Nous considérons un coefficient β égal à 0.5 pour le «butterfly» à $duration ajustée par la volatilité des taux.

62 Mesure de performance de butterflys (2) Nous considérons les 7 scénarios suivants de déformation de la courbe des taux: - absence de mouvement. - mouvements parallèles avec une variation uniforme de +0.2% et -0.2% pour les 3 taux de rendement. - mouvements d aplatissement et de pentification pour lesquels le taux de rendement du bullet (centre) ne bouge pas. Par exemple -30/0/30 signifie que le taux de rendement de l aile courte baisse de 0.3% et que celui de l aile longue augmente de 0.3%. Nous calculons le P&L de chaque butterfly pour chaque scénario de courbe envisagé qui est supposé se produire dès le lendemain.

63 Mesure de performance de butterflys (3) Les résultats sont les suivants: Butterfly Inch /0/30 30/0/-30-30/0/15 30/0/-15 A décaissement nul A $ duration équi-répartie A $ duration ajustée par la volatilité des taux A $ duration ajustée par la maturité des obligations Le P&L pour une courbe inchangée est très faible comme on peut l attendre d une position qui n a couru qu un jour. - Les 4 butterflys sont de sensibilité nulle si bien que les P&L des colonnes 3 et 4 sont proches de zéro. Les colonnes 5 à 8 présentent les résultats pour différents scénarios d aplatissement et de pentification.

64 Mesure de performance de butterflys (4) Nous remarquons en particulier que: - le butterfly à $duration équi-répartie sur les ailes est quasi neutre aux mouvements -30/0/30 et 30/0/ le butterfly à $duration ajustée par la volatilité des taux est quasi neutre aux mouvements -30/0/15 et 30/0/-15. Ceci est bien conforme à ce que nous attendions. En outre, cette analyse par scénario montre clairement quel scénario profite au mieux à chaque butterfly.