RAPPEL MATHÉMATIQUE Méthodes quantitatives ( )

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1 RAPPEL MATHÉMATIQUE Méthodes quantitatives ( ) 1. Suites géométriques Définition Suite Une suite,,,, est un ensemble de nombres. L indice de chaque terme de la suite indique la ou l ordre dans lequel se trouve une donnée spécifique. Cet ordre importe énormément. Par exemple, la suite 1, 3, 5, 7, 9, diffère de la suite 9, 7, 5, 3, 1, même si les termes semblent les mêmes. Observer les suites suivantes : 1, 2, 4, 8, 16, 1, 2, 4, 8, 16, 9, 3, 1, 1 3,1 9,1 27 Quelle est la particularité de ces trois suites? Définition Suite géométrique Une suite,,,, est dite géométrique de raison si ses termes satisfont à la formule de récurrence. Exemples : La suite 1, 2, 4, 8, 16, est une suite géométrique de raison puisque chaque terme est obtenu du précédent en multipliant ce dernier par. La suite 9, 3, 1, 1 3, est une suite géométrique de raison. La suite 1, 2, 4, 8, 16, est une suite géométrique de raison. 1

2 Forme standard En général, nous exprimons plutôt le terme d une suite géométrique en fonction de et du terme initial par la formule. Exemple : Les actions d une compagnie sont initialement émises au prix de 10 $. À tous les ans, la valeur d une action s accroît de 25 %. a) Montrer que la valeur d une action produit une suite géométrique. b) Calculer la valeur de l action dix ans après son émission. c) Tracer la courbe des variations de la valeur de l action sur une période de 10 ans après son émission. Solutions 2

3 Valeur de l'action 100,00 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0, La valeur de l action, au terme de chaque année, est donc décrite par la suite géométrique 10, 12.50, 15.63,. L exemple que nous venons de présenter décrivait une suite géométrique. Or, la suite 16, 8, 4, 2, 1, 1 2,. est une suite géométrique de raison 1 2. Une suite géométrique est : croissante si et seulement si. décroissante si et seulement si. Exemple : Les réserves de pétrole en Alberta diminuent de 10 % à chaque année. Sachant que Ml constituaient les réserves initiales, a) Montrer que les réserves de pétrole décrivent une suite géométrique décroissante et en trouver la raison. b) Quel volume reste t il quatre ans plus tard? Solutions 3

4 2. Propriétés des exposants et des logarithmes (Ces propriétés seront utiles pour isoler certains termes de la formule 1 que nous verrons dans la prochaine section) ln ln 4

5 3. Calcul d intérêts Une application très répandue des suites géométriques se retrouve dans les transactions bancaires (emprunts, placements). Par exemple, un individu dépose un montant de $ à la banque. La banque offre à cet individu une appréciation annuelle de 6 % de son placement, c est à dire que la somme versée sera augmentée de 6 % à la fin de chaque année. L évolution temporelle du placement est ni plus ni moins une suite géométrique. En effet, puisque 0,06 1,06, la suite des valeurs accumulées du placement est géométrique de raison. Le rendement périodique (appréciation) offert par une banque est appelé taux d intérêt. Dans l exemple ci dessus, le taux d intérêt était de 6 % (ou 0,06). Lorsque les prix des biens de consommation augmentent, on emploiera plutôt le terme taux d inflation. En biologie, on parle de taux de croissance des maladies. Le principe demeure le même quel que soit le domaine Soit PV le placement initial dont le taux d intérêt périodique est i. La par le placement après périodes, FV, est décrite par la relation : 1 La suite des valeurs acquises,,, est donc une suite géométrique de raison. 5

6 4. Résoudre une équation Résoudre une équation, c est trouver toutes les de cette équation. Pour résoudre une équation, il suffit de la transformer en une équation équivalente plus simple, de façon à pouvoir isoler l inconnue. En mathématiques financières, une des équations fréquemment utilisée est l équation des intérêts composés : 1 Dans cette équation, il y a 4 variables :. 1 er cas : on cherche la valeur de ( ) Ex : PV = 1000$, i = 5%, n = 10 ans 2 e cas : on cherche la valeur de ( ) Ex : FV = $, i = 7,5%, n= 6ans 3 e cas : on cherche la valeur de ( ) Ex : PV = 500$, FV = 744,50$, n =7 ans 6

7 4 e cas : on cherche la valeur de n ( ) PV = ,90$, FV = ,52$, i = 0,039 Exercices d applications Faire ces exercices à l aide de votre calculatrice en utilisant a) Les fonctions de base de votre calculatrice; b) Les fonctions financières de votre calculatrice. Problème 1 Un investisseur place un montant de $ à la banque. Celle ci offre un taux d intérêt 8 % par année. Quelle est la valeur du placement 4 ans plus tard? Problème 2 Une personne souhaite s acheter une motocyclette dont la valeur est de $. Afin d accumuler cette somme, elle place un montant à la banque, qu elle laisse fructifier pendant 5 ans au taux d intérêt de 7,5 % par année. Trouver. 7

8 5. Conversion de taux Le calcul des intérêts n est pas seulement fait à chaque année, dans certains cas, il peut se faire à chaque trimestre, à chaque semestre, à chaque mois, Semestriel : taux par tranche de Trimestriel : taux par tranche de Mensuel : taux par Les méthodes de calcul demeurent les mêmes : il suffit de s assurer de travailler avec des périodes qui correspondent au taux donné. Il faut toujours respecter la relation suivante : Exemple 1 : Soit un taux de 5 % à capitalisation semestrielle. Trouver le taux équivalent pour une capitalisation mensuelle

9 Exemple 2 : Un individu décide aujourd hui de placer un certain montant d argent à la banque afin de pouvoir s acheter une voiture dans quelques années. a) Si l individu place aujourd hui $ dans une banque qui lui offre un taux de 4,5 % capitalisation semestrielle, combien aura t il accumulé après 5 années complètes? Combien accumulera t il si la capitalisation est mensuelle? b) Si l individu place aujourd hui $ en espérant pouvoir disposer de $ après 5 années complètes et si la capitalisation est semestrielle, quel devrait être le taux d intérêt nominal offert par la banque? Quel devrait être ce taux si la capitalisation était trimestrielle? c) Si l individu place aujourd hui $ au taux de 4,5 % capitalisation semestrielle, dans combien de temps aura t il accumulé $? d) Quel montant doit il placer pour pouvoir disposer de $ après 5 ans si la banque lui offre un taux de 4,5 % capitalisation semestrielle? 9

10 Exemple 3 : La banque A vous offre un taux de 6 %, capitalisation mensuelle et la banque B, un taux 6,1 %, capitalisation annuelle. Quelle banque offre le meilleur taux? 10

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