Effet d une onde électromagnétique sur un atome à deux niveaux

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1 Université Pierre et Marie Curie Master de sciences et technologie Interaction matière-rayonnement Effet d une onde électromagnétique sur un atome à deux niveaux Introduction On considère un système atomique dont l espace des états est le produit d un espace de positions, E p par un espace de spin, E s. On admet que l opérateur moment dipolaire électrique, D, est un opérateur vectoriel. Ses composantes satisfont donc les relations suivantes [J x,d x ]=0, [J x,d y ]=i~d z, [J x,d z ]= i~d y [J y,d x ]= i~d z, [J y,d y ]=0, [J y,d z ]=i~d x [J z,d x ]=i~d y, [J z,d y ]= i~d x, [J z,d z ]=0 (1) J est le moment cinétique total : J = L + S où L est le moment orbital qui agit sur E p tandis que S est l opérateur de spin qui agit sur E s. On admet en outre que D k, composante quelconque de D, agit sur E p, seulement. Ceci implique les relations [D k,s j ]=0où S j est une composante quelconque du spin S. L hamiltonien du système est H 0. La base composée est une base orthonormée de l espace des états, dont les vecteurs notés n,, s, m,m s i = ψ n,,m ψ s,ms satisfont les relations H 0 n,, s, m,m s i = En, 0 n,, s, m,m s i L 2 n,, s, m,m s i = ~ 2 ( +1) n,, s, m,m s i, S 2 n,, s, m,m s i = ~ 2 s (s +1) n,, s, m,m s i, Enfin, on suppose les relations : L z n,, s, m,m s i = m ~ n,, s, m,m s i S z n,, s, m,m s i = m s ~ n,, s, m,m s i (2) hn 0,,s,m,m s D z n,, s, m,m s i =0 et hn,, s, m,m s D n,, s, m,m s i = 0 (3) De telles relations sont satisfaites, par exemple, par les atomes alcalins. 1- Règles de sélection Pour mémoire : La base standard est notée { τ,j,m j i} ; les vecteurs de cette base satisfont les relations J 2 τ,j,m j i = ~ 2 j (j +1) τ,j,m j i et J z τ,j,m j i = m j ~ τ,j,m j i avec m j [ j, j +1,..., j 1,j] On rappelle que les relations (1) qui définissent un opérateur vectoriel conduisent aux règles de sélections : τ 0,j 0,m 0 j D τ,j,m j i = 0 si les conditions suivantes ne sont pas satisfaites : (j 0 = j ± 1 ou j 0 = j 6= 0) et (m 0 j = m j ± 1 ou m 0 j = m j) Dans la suite, nous nous intéressons aux règles de sélection sur s, m s,,m, concernant les systèmes atomiques considérés dont les propriétés sont données en introduction. Nous n utiliserons pas la base standard ; ci-dessous, ai et bi désignent deux vecteurs de la base composée. 1-a. Démontrer les règles de sélections suivantes : hb D k ai = 0 si les conditions suivantes ne sont pas satisfaites sb = s a et m b s = ma s où s b,m b s,s a et m a s sont les valeurs de s et m s pour les états bi et ai respectivement. 1-b. En substituant L à J, établir les relations de commutations semblables aux relations (1) ci-dessus. En déduire sans démonstration les règles de sélection concernant et m. 1

2 1-c. On considère l opérateur H 1 = E (t) D où E (t) est un champ électrique qui est polarisé linéairement de telle sorte que E x = E y =0, et qui, à l approximation dipolaire, ne dépend que du temps t. Démontrer les règles de sélection suivantes hb H 1 ai = 0 si les conditions suivantes ne sont pas satisfaites m b = m a et b = a ± 1 où b,m b, a et m a sont les valeurs de et m pour les états bi et ai respectivement. 2- Oscillations de Rabi Un atome à deux niveaux est soumis au champ électrique, E, d une onde électromagnétique sinusoïdale, polarisée linéairement : E x = E y =0 et E z = E 0 sin (ωt) La pulsation de résonance est notée ω 0 ; elle est définie par la relation ~ω 0 = E b E a où E b E a est la différence d énergie entre les deux niveaux (en l absence de la perturbation électromagnétique). A l instant initial (t =0), le système est dans l état ai. A l approximation du champ tournant, on démontre que la probabilité pour que le système soit observé dans l état bi, à l instant t, est P a b = ω2 1 Ωt sin2 Ω2 2 q avec Ω = δ 2 + ω 2 1 où le "désaccord " est δ = ω ω 0, tandis que ω 1 = de Rabi". E 0 hb D z ai ~ est la "pulsation 2-a. Calculer l ordre de grandeur de ω 1 pour une onde électromagnétique quasi plane, issue d un laser, caractérisée par une intensité de l ordre de 10 4 Wmm 2. L élément de matrice hb D z ai sera pris de l ordre de SI. 2-b. Déterminer la période des oscillations de Rabi et l ordre de grandeur du maximum de P a b à résonance et pour δ =10 9 s Polarisabilité On considère le système précédent (cf. 2 ci-dessus). L onde électromagnétique provoque un perturbation de l état atomique ; celui-ci est décrit, à l instant t, par le ket ψi = C a (t) ai + C b (t) bi. Le champ électrique E 0 est assez petit pour que l hamiltonien d interaction H 1 = E z (t) D z soit considéré comme une perturbation. Au premier ordre de la théorie des perturbations, en régime permanent, on trouve C a = e ieat/~, C b = E 0 hb D z ai e ieat/~ ie iωt 2~ δ + iγ Les notations sont celles du paragraphe 2-. La quantité Γ = 1 est une quantité réelle où τ représente un τ temps de relaxation phénoménologique. On pose d = hψ D ψi ; c est la moyenne sur l état quantique du moment dipolaire électrique induit par hψ ψi le champ électrique considéré. 3-a. Si le champ électrique modifie le système atomique, la quantité hb D z ai est non nulle. Montrer que dans ces conditions d x = d y =0et que, par conséquent, d est parallèle à E. 3-b. On démontre alors la relation " d z =Re E 0 hb D z ai 2 ~ # ie iωt δ + iγ On pose α c = hb D z ai 2 et E ~ (δ + iγ) c = 0, 0,iE 0 e iωt. On définit un moment dipolaire complexe d c = α c E c. On vérifie alors que les grandeurs physiques E et d, introduites précédemment, sont les parties réelle de E c et d c. α c est la "polarisabilité" (complexe) du système atomique dans l état ai. Calculer l ordre de grandeur de α c à résonance et hors résonance, pour δ s 1. On prendra Γ 10 8 s 1. 2

3 3-c. D de Calculer la moyenne temporelle E de E d. 4- Miroir à atomes Rappels : Un système atomique immergé dans un champ électrique E présente une énergie potentielle V. On donne à E la variation d E. L énergie varie alors : dv = d d E. La quantité d qui apparaît dans l expression de dv est par définition le moment dipolaire du système atomique 1.Sid caractérise le système atomique seul et est indépendant de E, on trouve alors V = d E (ici on tient compte du fait que V =0 lorsque E = 0). Par contre si d est un dipôle induit par la présence de E, il dépend de E et caractérise la réponse du système atomique à la présence de E. Posons E = λ e où e est donné une fois pour toutes. Dans le cas qui nous concerne la réponse est linéaire. Le moment dipolaire satisfait la relation d (λ e) = λ d ( e). Donnons à λ la petite variation dλ. Il vient dv = λd ( e) dλ e. L énergie est une fonction de λ et en intégrant on obtient V (λ) = λ2 d 2 ( e) e (ici encore, on tient compte du fait que V =0lorsque E = 0). En introduisant E, il vient V = 1 2 λ d ( e) λ e = 1 d 2 ( E) E, ce que l on note plus simplement V = 1 d 2 E. Lorsque E dépend du temps, on remplace d D E par sa moyenne temporelle d EE. 4-a. Do nner l expression de V déduite de la question 3-c. 4-b. On suppose que E 0 dépend de la position, r. Dans ces conditions V = V ( r). On interprète V comme une force agissant sur l atome. Préciser les conditions dans lesquelles cette force est dirigée suivant les valeurs croissantes de E 0 et suivant les valeurs décroissantes. 4-c. On considère la réflexion d une onde électromagnétique polarisée suivant l axe Oz, perpendiculaire au plan de la figure. Dans le cas considéré, sous sa forme complexe l onde transmise s écrit E x = E y =0, E z = E T e i(ωt kx x k y y) où E T est une constante. Donner l expression de k x et k y en fonction de la vitesse de la lumière dans le milieu 2, de la pulsation ω, et de l angle de réfraction r. Exprimer sin r et cos r en fonction de i et de l indice n = n 1 /n 2 > 1 (indice du milieu 1 par rapport au milieu 2) 4-d. Dans le cas de la réflexion totale n sin i>1 avec n = n 1 /n 2 > 1, ceci n est possible que si cos 2 r =1 n 2 sin 2 i est négatif et par conséquent si cos r est un imaginaire pure. Dans ces conditions, k x = iκ Donner l expression de κ et celle de E 0, amplitude du champ électrique en fonction de x. A quelle condition peut-on réaliser un miroir à atome? En utilisant les ordres de grandeurs donnés précédemment, déterminer l ordre de grandeur de la vitesse maximale autorisée pour un atome dont le nombre de masse est de l ordre de On peut considérer que V est une fonction des composante, E k, de E. Le dipôle admet pour composantes d k = V E k. 3

4 Université Pierre et Marie Curie Master de sciences et technologie Interaction matière-rayonnement Effet d une onde électromagnétique sur un atome à deux niveaux (corrigé) 1- Règles de sélection i 1-a. Formons hb D k S 2 ai = ~ 2 s a (s a +1)hb D k ai. La relation hd k, S 2 =0implique hb D k S 2 ai = hb S 2 D k ai = ~ 2 s b (s b +1)hb D k ai. On en déduit ~ 2 (s a (s a +1) s b (s b +1))hb D k ai =0d où ~ 2 (s a s b )(s a + s b +1)hb D k ai =0 Les relations s a 0 et s b 0 impliquent (s a + s b +1)> 0. On en déduit (s a s b ) hb D k ai =0 Ainsi pour s a 6= s b, l élément de matrice hb D k ai est nécessairement nul. De même nous formons hb D k S z ai = ~m a s hb D k ai. Nous utilisons la relation [D k,s z ] = 0 pour démontrer l égalité ~ m a s s mb hb Dk ai =0. On en déduit m a s m b s hb Dk ai =0 Ainsi pour m a s 6= mb s, l élément de matrice hb D k ai est nécessairement nul. 1-b. La relation J = L + S ainsi que les relations h i D k, S = 0, impliquent En effectuant les substitutions [L x,d x ]=0, [L x,d y ]=i~d z, [L x,d z ]= i~d y [L y,d x ]= i~d z, [L y,d y ]=0, [L y,d z ]=i~d x [L z,d x ]=i~d y, [L z,d y ]= i~d x, [L z,d z ]=0 J L j =( a ou b ) J z L z m j m = m a ou mb on en déduit hb D ai = 0 si les conditions suivantes ne sont pas satisfaites b = a ± 1 ou b = a 6=0et m b = ma ± 1 ou mb = ma 1-c. La relation [D z,l z ]=0implique [H 1,L z ]=0car H 1 = E z D z. Formons hb H 1 L z ai = ~m a hb H 1 ai, utilisons la relation de commutation : hb H 1 L z ai = hb L z H 1 ai = ~m b hb H 1 ai. On en déduit m a m b hb H1 ai =0 Ainsi pour m a 6= mb, l élément de matrice hb H 1 ai est nécessairement nul. La relation hn 0,,s,m,m s D z n,, s, m,m s i =0implique hn 0,,s,m,m s H 1 n,, s, m,m s i =0. Par conséquent, pour que hb H 1 ai soit non nul, conjointement avec les conditions déjà démontrées, m a s = mb s, s a = s b,m a = mb et ( b = a ± 1 ou b = a 6=0), il faut que soit satisfaite la condition b 6= a soit encore b = a ± 1. En résumé, les règles de sélections sont les suivantes : hb H 1 ai 6= 0seulement si, le cas échéant, les conditions suivantes sont satisfaites 1- b = a ± 1 et m b = ma 2- s b = s a et m b s = m a s 4

5 2- Oscillations de Rabi 2-a. La densité d énergie moyenne de l onde est U = ε D E 0 E D E B 2, avec ε 0 µ 2 2µ 0 c 2 =1. Les moyennes 0 h...i sont des moyennes temporelles. Dans une onde plane E = c B D E. Ici E 2 = 1 2 E2 0, on en déduit U = ε 0 2 E2 0 avec cu = I =10 4 Wmm 2 et ε 0 ' 8, Fm 1 On en déduit U =3, Jm 3 et E 0 ' 274 V m V m 1. ω 1 = E 0 hb D z ai ~ s 1. ω s 1 2-b. P a b = ω2 1 Ωt sin2 Ω2 2 avec T = 2π q Ω et Ω = δ 2 + ω 2 1 Arésonanceet plus généralement pour δ << ω 1 Ω ' ω 1 T 2π s T et P max 1 Hors résonance et plus généralement pour δ >> ω 1 Ω ' δ T 2π s T et P max 3- Polarisabilité µ 2 ω << 1 δ 3-a. D étant un opérateur vectoriel, il vient [L z,d x ] = i~d y. On en déduit ha L z D x D x L z bi = i~ ha D y bi = ~ m a mb ha Dx bi. La règle de sélection m a = mb implique donc ha D y bi =0. De même on démontre ha D x bi =0. Ces relations ainsi que les relations hp D pi =0pour pi = bi ou ai impliquent d x = d y =0. 3-b. α c = hb D z ai 2 ~ (δ + iγ). A résonance δ = 0 où plus généralement δ << Γ) il vient α c = hb D z ai SI soit α c SI Hors résonance, pour δ >> Γ, il vient α c = hb D z ai 2 soit α c SI 3-c. " d z =Re E 0 hb D z ai 2 ~ # ie iωt δ + iγ ~ δ soit ici α c = ~Γ = E 0 hb D z ai 2 ~ δ 2 + Γ2 (δ sin (ωt)+γ cos (ωt)). E d = E z d z = E 0 sin (ωt) E 0 hb D z ai 2 ~ δ 2 + Γ2 (δ sin (ωt)+γ cos (ωt)) E d = E2 0 hb D z ai 2 µ δ ~ δ 2 + Γ 2 sin 2 (ωt) Γ2 sin (2ωt) d où 4- Miroir à atomes 4-a D E E d = E2 0 hb D z ai 2 µ ~ δ 2 + Γ 2 δ 2 V = 1 D E 2 d E = E2 0 hb D z ai 2 4~ δ 2 + Γ 2 δ, avec δ = ω ω = = SI 5

6 4-b. V = F = hb D z ai 2 4~ δ 2 + Γ 2 (ω 0 ω) E0 2. Le vecteur E0 2 est dirigé vers les valeurs croissantes de E 0 on en déduit ω<ω 0 F est dirigé vers les valeurs croissantes de E 0 ω>ω 0 F est dirigé vers les valeurs décroissantes de E 0 4-c. k x = ω c cos r et ky = ω c sin r avec n sin i =sinr où n = n 1/n 2 > 1. 4-d. Dans le cas de la réflexion totale n sin i>1 avec n = n 1 /n 2 > 1, ceci n est possible que si cos 2 r = 1 sin 2 r =1 n 2 sin 2 i est négatif. C est à dire si cos r = p 1 sin 2 r = p 1 n 2 sin 2 i est un imaginaire pur. Dans ces conditions, k x = iκ = ±i ω p n2 sin 2 i 1. On en déduit (dans le milieu 2) c µωt+ ω E z = E T e i c sin r y ω c cos r x = E T e ±ω n c 2 sin 2 i 1 x i µωt+ ω e c sin r y où c est la vitesse de la lumière dans le vide (milieu 2). Le champ reste fini quand x, par conséquent E z = E T e ω n c 2 sin 2 i 1 x i µωt+ ω e c sin r y. µωt iκx+ ω µωt+ ω D autre part on a posé E z = E T e i c sin r y = E T e κx e i c sin r y. On en déduit κ = ω c p n2 sin 2 i 1 et E 0 = E T e κx D aprèslesrésultatsdelaquestion4-b,pour ω>ω 0 la force qui agit sur l atome est opposée à sa vitesse. Cependant, un miroir ne sera réalisé que dans la mesure où la vitesse n est pas trop élevée afin que la force soit suffisante pour stopper l atome avant qu il n atteigne le dioptre. L énergie potentielle acquise, V, est alors égale à l énergie cinétique perdue 1 2 mv2. V = E2 0 hb D z ai 2 4~ δ 2 + Γ 2 δ est maximal pour x =0et δ = Γ, sa valeur est alors V max = E2 T hb D z ai 2. 8~Γ On en déduit la condition de réflexion : V max 1 2 mv2, c est à dire v 2. E2 T hb D z ai 2 (300) ~mΓ , soit v cm s 1. Remarque : avec des intensités lumineuses très supérieures à celle considérée ici, on obtient pour certains atomes, des valeurs de v supérieures à 10 fois la valeur ci-dessus. 6

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