II - 3 Les poutres. version 12 octobre Définition d une poutre Aspects géométriques

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1 II - 3 version 12 octobre 21 Définition d une poutre Aspects géométriques Aperçu Forces internes + conventions de signe = sollicitations Principaux cas de sollicitation [Frey, 199, Vol. 1, Chap. 8-9] [Massonet, 1992, Chap. 5] II - 3-2

2 La poutre : géométrie C d après [Frey, 199, Vol. 1] II La poutre : géométrie engendré par une figure plane A de sorte que le centre C parcoure une ligne donnée (axe ou fibre moyenne) A reste constamment normal à cette ligne les dimensions de A restent petites devant la longueur la section A varie de manière lente et progressive si l axe est droit, la poutre est dite prismatique II - 3-4

3 Forces internes - sollicitations 3D coupe de section A y T z z fibre moyenne N x effort normal z choix du système d axes T y efforts tranchants y autre choix (Frey, Eurocodes) II Forces internes - sollicitations 3D coupe de section A M z fibre moyenne M x moment de torsion M y moments de flexion II - 3-6

4 Forces internes - sollicitations 2D coupe de section A effort normal N fibre moyenne M z moment fléchissant T y effort tranchant II traction N > Conventions de signe N compression N < II - 3-8

5 Conventions de signe M M > si les fibres tendues sont vers le bas II Conventions de signe T T > lorsque la partie droite descend II - 3-1

6 Commentaire les conventions de signe de M, N, T sont celles le plus couramment adoptées le choix du système d axes fait couler beaucoup d encre pas seulement dans les avis pédagogiques il existe plusieurs conventions valables choix du système usuel à l ULB différent de celui de F. Frey (et des Eurocodes) cette convention n est pas cruciale l important réside dans la compréhension du comportement structural II Effort normal Les sollicitations 2D N = σ x da A Effort tranchant T Moment fléchissant M y = τ xy A z = σ x A da yda II

7 Effort normal N = σ x da A Efforts tranchants Les sollicitations 3D Moments fléchissants M z = σ xyda A M y Moment de torsion T y M x τ = A xy da T ( τ y τ z) = A xz xy z = τ xz A = σ x A da da zda II q Relation M-T équilibre de translation vertical T + q ( x) dt dx dx + T + dt = = q(x) équilibre de rotation (point C) M + Tdx q ( x) dx dm dx dx 2 = T M dm = II

8 Détermination des diagrammes M-N-T règles élémentaires charge axiale nulle N constant charge axiale uniforme N varie linéairement charge transversale nulle T cst, M linéaire charge transversale uniforme T linéaire, M quadratique T = M est extrémal II Détermination des diagrammes M-N-T construction rapide avec un minimum de calculs calculer les réactions de liaisons esquisser les diagrammes en tenant compte des règles déterminer les valeurs II

9 Exemple 1 : poutre bi-appuyée 1) déterminer les réactions (par équations d équilibre) A x = A y = Q b L B y = Q a L 2) déterminer le diagramme T (suivre les forces par la droite, valeurs par équilibre à gauche ou à droite) + - T 3) déterminer le diagramme M (suivre les règles + déformée + équilibre) + d après [Frey, 199, Vol. 1] II M A = q 2 1) déterminer les réactions A y = ql Exemple 2 : Cantilever 2 L 2) déterminer le diagramme T + T 3) déterminer le diagramme M - d après [Frey, 199, Vol. 1] II

10 Exemple 3 : potence - + T T = + d après [Frey, 199, Vol. 1] II Déformée des poutres planes due à M déformée ou ligne élastique quelques règles simples point d inflexion M = les angles sont conservés aux nœuds rigides respecter les conditions cinématiques la portée d une poutre ne varie pas II - 3-2

11 Exemple 4 : tenir compte de la déformée d après [Frey, 199, Vol. 1] II Exemple 5 : le portique extrait de [Frey, 199, Vol. 1] II

12 Traction (compression) pure : N Cas de sollicitations : F F II Cas de sollicitations : Flexion pure : M z II

13 Cas de sollicitations : Flexion simple (effet du cisaillement) : M z + T y dm = T dx II Flexion composée : N + M z Cas de sollicitations : II

14 Cas de sollicitations : Flexion oblique (gauche) : M z + M y [Frey, 2, Vol. 2] II Cas de sollicitations : Torsion : M x II

15 Cas de sollicitations : résumé N T y T z M x M y M z nom traction simple flexion pure flexion simple flexion oblique flexion composée torsion II

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