Diagramme de Segrè N=Z. Half-life

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1 Diagramme de Segrè N=Z Half-life

2 Le nombre de protons et de neutrons affecte la stabilité du noyau Les noyaux avec un nombre pair de protons et/ou de neutrons ont la probabilité la plus élevée d être stable Aux nombres magiques, les noyaux sont particulièrement stables: N ou Z= 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

3 Half-life

4 Decay Mode

5 E1st ex. st.: energy of the first excited state, in kev. Only unambiguous cases are plotted. E1st ex. st.

6 Réactions nucléaires Equilibre Thermique (production d énergie) dlr /dr = 4πr 2 ρε ε = taux énergie libérée par unité de matière stellaire On veut déterminer le taux de production d énergie par unité de masse, ε On définit d abord le taux de réaction r ax et autres grandeurs annexes (e.g. temps de vie τ d une particule) On explicite le produit <σ v> pour le cas d un milieu stellaire (distribution maxwellienne des vitesses) On introduit la notion de «pic de Gamow» pour les réactions non résonantes Notion de réaction résonante et exemple de la synthèse du carbone On discute l effet d écran

7 Où et quand les éléments chimiques se forment-ils? Univers primordial: Quelques secondes après le Big-Bang, plasma dense de haute énergie à haute température dans un volume en expansion rapide. La nucléosynthèse primordiale qui en résulte, après la recombinaison des quarks en protons et neutrons forme 4 He, 2 H, 3 He et 7 Li Cœurs des étoiles: Etoiles non dégénérées, à divers niveaux d évolution. Ces plasmas chimiquement complexes, à densités et températures «moyennes» sont le lieu de réactions de fusion à basse énergie, qui produisent l énergie permettant l équilibre hydrostatique de l étoile. Cette énergie est finalement dissipée par rayonnement dans l espace. Il y a d autres réactions nucléaires qui ne sont pas des réactions de fusions, mais des réactions par capture de neutrons, qui produisent les éléments plus lourds que le fer (A=56)

8 Les réactions que l on considère sont des réactions à deux corps (celles à trois corps ont de très faibles probabilité) X + a! Y + b X(a,b)Y X est un noyau (A, Z) a est une particule, qui peut être A lui même ou un autre noyau La fusion conduit à Y(A,Z ) le noyau résultant et une autre particule (autre noyau, un nucléon, un photon), qui peut ne pas être produite Exemple : d + 12 C! 13 C + p Dans ces réactions, l énergie totale, la quantité de mouvement et le moment cinétique sont conservés

9 Description classique La réaction si elle se produit met en jeu les interactions nucléaires et l on décrit alors une collision inélastique avec conservation dans le centre de masse de la quantité de mouvement, de l énergie cinétique, et du moment cinétique. La vitesse du centre de masse, pour deux particules 1 et 2 est donnée par la loi de conservation de la quantité de mouvement

10 On définit la masse réduite du système La vitesse relative de la particule 1 et de la particule 2 est La quantité de mouvement de 1 par rapport au centre de masse est La quantité de mouvement de 2 par rapport au centre de masse est => Dans le référentiel lié au centre de masse la quantité totale de mouvement est nulle La conservation de la quantité de mouvement s applique au centre de masse, la vitesse avant et après la collision doit être égale c est à dire que la vitesse V reste constante et la quantité de mouvement est nulle.

11 Pour permettre la fusion, la collision entre les particules (noyaux) il faut un apport d énergie pour contrer les forces répulsives. Avant la collision, l énergie cinétique est Energie cinétique du centre de masse Energie cinétique additionnelle nécessaire dans le référentiel du centre de masse Cette équation, non relativiste, n est valide que si la masse totale du système ne change pas au cours de la réaction. On a vu cependant que jusqu au fer, la nucléosynthèse implique des réactions exothermiques, c est-à-dire que de l énergie est libérée, d une quantité ΔMc 2 Par conséquent la masse totale du système change. A faible énergie,

12 A faible énergie, L hypothèse de masse constante est valide à mieux que 1%. On considère que l énergie cinétique du centre de masse reste inchangée par la réaction, cependant que l énergie cinétique dans le référentiel du centre de masse diminue ou augmente selon que la masse finale est inférieure ou supérieure à la masse initiale. E ax + (M X +M a )c 2 = E by + (M Y + M b )c 2 Energie cinétique dans le centre de masse du sytème (a,x) Energie cinétique dans le centre de masse du sytème (b,y) Termes traduisant que la somme des masses au repos des noyaux peut varier pendant la réaction Exemple: H He 4x Mu Mu ΔM=2.85x10-2 Mu = 0.7% de la masse initiale E= ΔMc 2 =26.5 MeV

13 d + 12 C! 13 C + p Ed, C12 + c 2 [M(noyau d) + M(noyau C 12 )] =Ep, C13 + c 2 [M(proton) + M(noyau C 13 )] les charges électriques sont conservées dans les réactions nucléaires normales donc on peut remplacer les masses des noyaux par les masses des atomes puisque les e- ajoutés seront égaux de part et d autre de l égalité. Il y a une petite erreur induite par les différente d énergie de liaison mais négligeable par rapport aux masses des noyaux. Ed, C12 + c 2 [M(D 2 ) + M(C 12 )] =Ep, C13 + c 2 [M(H 1 ) + M(C 13 )] masses des atomes neutres

14 Excès de masses atomiques pour différents éléments et isotopes (source: D. D. Clayton, «principles of stellar evolution and nucleosynthesis», McGraw- Hill, 1968)

15 En pratique on utilise les masses atomiques plutôt que les masses nucléaires. La charge électrique étant conservée le nombre de masse au repos d électrons peut-être ajouté de chaque côté de l équation. Cependant il faut tenir compte de de l énergie de liaison, qui elle n est pas forcément égale avant et après la réaction. Excès de masse atomique (excès d énergie), due à cette approximation Mu = MeV On peut donc écrire E ax + (ΔM X +ΔM a ) = E by + (ΔM Y + ΔM b ) Pour la reaction C 12 (d,p)c 13 Ed, C12 + ΔM(D 2 ) + ΔM(C 12 ) =Ep, C13 + ΔM(H 1 ) + ΔM(C 13 ) Ed, C = Ep, C Ep, C13= Ed, C MeV - accroissement de l énergie cinétique

16 En pratique on utilise les masses atomiques plutôt que les masses nucléaires. La charge électrique étant conservée le nombre de masse au repos d électrons peut-être ajouté de chaque côté de l équation. Cependant il faut tenir compte de de l énergie de liaison, qui elle n est pas forcément égale avant et après la réaction. Excès de masse atomique, due à cette approximation Mu = MeV On peut donc écrire E ax + (ΔM X +ΔM a ) = E by + (ΔM Y + ΔM b ) L énergie libérée est L énergie de liaison du noyau est

17 L énergie libérée est fonction des énergies de liaison f= E l / A énergie de liaison moyenne par nucléon Fer Toutes les réactions de fusion produisent de l énergie. Mais l énergie qu elles dégagent est de plus en plus faible à mesure qu on considère la fusion d éléments plus lourds (en partant du plus léger, l hydrogène). Lorsqu on arrive à synthétiser du fer, la différence s annule. Le bilan énergétique devient défavorable, à partir du fer, la réaction consomme de l énergie au lieu d en produire.

18 Abondances solaires Mg 1. Pic de l hydrogène. (Deux éléments extrêmement abondants : l hydrogène représente 90% en nombre et 70% en masse de la matière solaire. l hélium, 10% en nombre et 28% en masse. Le reste des éléments ne représente que 2% en masse. ) 2. On constate une décroissance très rapide des abondances avec la masse atomique. Cette décroissance n est toutefois pas monotone. Les abondances des éléments ayant un noyau constitué d un nombre entier de particule α sont plus élevées. Les abondances des éléments ayant un noyau de masse paire sont généralement plus élevées que celles des éléments de noyau de masse impaire, 24 Mg/ 23 Na=16 par exemple.

19 Abondances solaires Mg Un petit groupe d éléments légers très peu abondants Il s agit du Li, Be et B (facteur en dessous H, He). Ces divers éléments ont des origines nucléosynthétiques différentes. On notera des maxima relatifs d abondances pour les éléments présentant des énergies de liaison par nucléon élevées

20 Abondances solaires Mg Le pic du Fer. Autour du fer, la courbe remonte jusqu à un maximum. Il s agit du pic du fer, qui regroupe les noyaux entre le chrome et le nickel.

21 Abondances solaires Mg Les collines des éléments plus lourds que le fer. Sur le versant du pic du fer correspondant aux noyaux de grande masse, la décroissance est moins rapide. La courbe montre des bosses correspondant à des éléments ayant des nombres de protons ou de neutrons caractéristiques: pour lequel le noyau atomique est particulièrement stable (ex, 50, 82, 126)

22 Na Nx Taux de réactions Section efficace: surface fictive que devrait avoir une particule cible pour reproduire la probabilité observée de collision ou de réaction avec une autre particule en supposant que ces collisions se produisent entre objets matériels impénétrables. Unité: barn = cm 2 Si les noyaux X forment un gaz de densité uniforme Nx, le taux de réaction par unité de volume est NxσNav, où Nav est le flux de particules a avec une vitesse v A l équilibre thermodynamique, on peut décrire la distribution des vitesses relatives v, φ(v). On peut la définir telle que

23 Pour une expression générale, il faut prendre en compte le cas ou les particules a et X sont les mêmes et dans ce cas le nombre total de particule est ~1/2N a 2 On pose d 3 v

24

25

26 [erg s -1 g -1 ]

27 Comment parvient-on à faire fusioner des atomes?

28 Réactions non résonantes Dans notre description d un gaz à l équilibre thermodynamique, on n a pas pris en compte le fait que la répulsion électromagnétique des protons agit comme une barrière qui les empêcherait de se rapprocher. On la nomme barrière de potentiel ou encore barrière Coulombienne. L énergie associée à cette barrière est égale à

29 Malgré les 15 millions de degrés qui règnent au centre du Soleil, la vitesse des protons est encore trop faible pour les rapprocher suffisamment. Si la mécanique classique s appliquait, la fusion de l hydrogène n y serait pas possible. Mais un phénomène de mécanique quantique, qui ne se produit pas dans le monde à notre échelle (macroscopique), permet à un proton de franchir la barrière parfois, sans disposer de la vitesse qui serait nécessaire (en mécanique classique). Tout se passe comme s il avait traversé la barrière. Pour cette raison, ce phénomène est nommé effet tunnel. En rouge, le puits de potentiel attractif de l interaction forte. Pour que les deux protons soient collés, il faut que le second tombe dans le puits de potentiel du premier. Si le second arrive de la droite, avec l énergie E 0 (correspondant à sa vitesse, donc à sa température), il ne pourra pas franchir la barrière électromagnétique, qui est trop haute. A l énergie E 1, c est encore impossible. Cependant, il arrive qu un proton puisse passer, même si son énergie est trop faible. Il traverse alors la barrière de potentiel.

30 Nous avons dit que toute particule possédait une onde associée. Cette onde indique l endroit de l espace où se trouve la particule. La particule peut se trouver n importe où au-dessous de l onde. La probabilité qu elle se trouve en un point donné est proportionnelle à la hauteur (l amplitude) de l onde en cet endroit. (Un autre effet a prendre en compte est que la distribution des vitesses φ(v) a une queue de distribution a vitesse élevée)

31 Section efficace en fonction de l énergie Il faut maintenant prendre en compte l effet de tunnel dans les expressions de σ(v) = σ(e) On va écrire le taux de réaction comme le produit de trois quantités - 2 fonctions qui dépendent de l'énergie cinétique dans le référentiel du centre de masse- sans se préoccuper de la structure nucléaire - 1 fonction dépendant de l'énergie et de la structure nucléaire

32 Comme E= μ v 2 /2 v = (2 E /μ) 1/2 ~ E 1/2 / A ½ puisque μ = Am H avec A= A 1 A 2 /(A 1 +A 2 ) Tunneling

33 (puisque E= p 2 /2μ) On obtient la relation énergie - vitesse Le S-factor est une variante de la section efficace qui prend en compte la répulsion Coulombienne. Pour les réactions non résonantes S(E) est quasiment indépendant de E (= variation trés lente).

34 Variation très rapide à basse énergie due au facteur exponentiel: facteur de Gamow. ~probabilité de franchir la barrière de Coulomb énergie du proton en laboratoire On a

35 On peut l écrire en fonction de l énergie du centre de masse v σ ψ( E )de Cette fonction a un maximum = pic de Gamow

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37 La convolution entre la distribution d énergie thermique et la probabilité de traverser la barrière de Coulomb (effet tunnel) définit une fenêtre d énergie effective centrée autour du pic de Gamow, dans laquelle la fusion s effectue. be -1/2 ) 4-10Kev Energie du centre de masse 1.3Kev 15-30Kev

38 Réactions résonantes Réaction triple-α: Edwin Salpeter Edwin Salpeter ( ) Le mystère de probabilité de la réaction: 12 C possède un état excité (état de Hoyle) 7.65 Mev Fred Hoyle Réaction à l œuvre dans les géantes rouges

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40 Combustion de l hydrogène Chaine proton-proton (chaine p-p) Combustion du Carbon et au delà