On va pouvoir alors calculer la valeur de la fonction y à un instant t après : dy(t) La méthode d Euler

Transcription

1 La méhode d Euler Inrocion : ce documen doi êre lu de façon acive ; il ne fau pas se conener de le lire en disan «Ah ouais, compris...». Il fau réécrire les calculs sur une feuille à par pour bien voir si vous les comprenez. ee méhode se ravaille... I/ Propos mahémaiques : Soi l équaion différenielle suivane : dy A.y B + A e B son 2 consanes. y es une foncion qui dépend emps. Rappel : Une équaion différenielle es une équaion dans laquelle l inconnue n es pas un nombre (comme dans les équaions que vous connaissiez jusque là) mais une foncion... En mahs, vous avez vu que la soluion générale de cee équaion es : A B y e + A es une aure consane qui ne peu êre déerminée qu en éudian une siuaion précise. On peu aussi résoudre numériquemen l équaion différenielle dy A.y + B : c es la méhode d Euler. Qu es-ce que cela veu dire «résoudre numériquemen»? On va en fai calculer successivemen les valeurs de y() e de sa dérivée dy à inervalle de emps régulier. Si on choisi un rès pei on peu alors écrire : y( + ) y() +. es appelé le pas. Il fau alors connaîre la valeur y(), c es-à-dire la valeur de la variable y quand (le phénomène éudié n a pas encore commencé). On va pouvoir alors calculer la valeur de la foncion y à un insan après : y( + ) y() +. soi y( ) y() +.. Souven y() es noé y 1. La quesion qui se pose ensuie es : «commen calculer»? En uilisan l équaion différenielle on peu écrire : A.y() + B e on connaî A, B e y() E la valeur de? Elle es choisie de façon judicieuse... On en discuera dans des exemples concres par la suie. En praique elle es donnée. es donc une valeur connue. On en déi donc facilemen (si, si...) la valeur de y 1 y(). On va pouvoir alors calculer y 2 y(+) : y2 y(2 ) y 1 +. ec. On peu ainsi, de proche en proche, calculer une muliude de poins e racer y f(). On résoud numériquemen l équaion différenielle par la méhode d Euler. Passons à des exemples concres... 1 er exemple : Eude de la loi de décroissance radioacive (exponenielle décroissane). 2 ème exemple : Eude de la ension aux bornes d un condensaeur qui se charge (exponenielle croissane) 1

2 II/ La méhode d Euler en radioacivié : Soi un échanillon de N noyaux radioacifs. es noyaux von se désinégrer e donc disparaîre au cours emps. A une ceraine dae, il resera N() noyaux. On considère 1 noyaux de polonium 218. A/Equaion différenielle vérifiée par N() : Voir TP n 5 «Méhode d Euler» λ.n() λ éan la consane radioacive. Pour le polonium 218, λ,22 min B/ Résoluion numérique de cee équaion différenielle : On va donc le nombre de noyaux ous les avec,1 min. Le bu sera de remplir le ableau proposé ci-dessous : ec... Nombre de noyaux présens à En connaissan un grand nombre de valeurs, on va pouvoir placer sur un graphe les poins N, N(), N(2), N(3) ec. On aura résolu numériquemen l équaion différenielle. 1. Remplissage de la 1 ère ligne : A s, N() N 1. (Remarque : (N() es noé aussi N()). D après l équaion différenielle : λ.n( ) λ.n Nombre de noyaux présens à N 1 -λ.n -22 min 2. Remplissage de la 2 ème ligne : Au bou d une rée ( éan choisi rès pei), il resera N 1 N() noyaux. Remarque : l indice «1» indique simplemen que N 1 correspond à la 1 ère valeur calculée. (N éan une donnée de l énoncé) alcul de N 1 N() : omme N( + ) N() +., en choisissan s alors : N1 N( ) N() +. avec -22 min. On en déi alors N1 1 (1, 22,1) 97,8 alcul de : On calcule ensuie la valeur de la dérivée pour. λ.n( ) A.N :, 22 97,8 21,516 min Nombre de noyaux présens à N 1 -λ.n - 22 min N() 97,8-21,516 min 2

3 3. Remplissage de la 3 ème ligne : alcul N 2 N(2) : N( + ) N() +. Quand, N2 N(2 ) N( ) +. A.N : N2 N(2 ) 97,8 21,516,1 95,65 alcul de 2 : D après l équaion différenielle : λ.n( ) 2 A.N :,22 95,65 21,43 min 2 Nombre de noyaux présens à N 1 λ.n 22 min N() N (1-λ.) 97,8-21,516 min 2 N(2) 97,32-21,43 min 4. alcul d un grand nombre de valeurs : Pour répéer ces calculs 1, 2 ou 1 fois, il fau uiliser un ableurgrapheur comme Excel ou Regressi. On fai alors racer N() e on rouve une courbe qui a l allure suivane : Représenaion de N() 12, 1, 8, 6, 4, 2,, / Influence pas : La quesion qu on va se poser mainenan es : quel es l influence pas sur les résulas? es-à-dire, que se passe--il si on choisi un pas beaucoup plus pei ou beaucoup plus grand? La courbe ci-dessous a éé obenue à parir d un fichier Excel. (e fichier es disponible depuis le sie hp://mbrive.free.fr) Elle présene les résulas obenus avec : Les poins roses corresponden aux valeurs obenues avec,1 min. (2 calculs on éé effecués pour parvenir à max 2 min) Les poins bleus (peis riangles) corresponden aux valeurs obenues avec 1 min. (23 calculs on éé effecués pour parvenir à max 2 min) Les poins rouges corresponden aux valeurs obenues avec 3 min. (7 calculs on éé effecués pour parvenir à max 2 min) On aussi éé calculées sous Excel les valeurs «exaces» avec la loi de décroissance radioacive : N() N e -λ. Les valeurs n apparaissen pas sur le graphique car elles éaien presque confones avec les poins obenus pour,1 min.(echelle rop peie mais on es limiée par la aille des feuilles...). es valeurs son légèremen supérieures à celles rouvés avec le pas,1 min. 3

4 Représenaions de N() pour différens pas III/ La méhode d Euler en élecricié : On va s inéresser à la charge d un condensaeur de capacié 47 µf à ravers une résisance R 1, k sous une ension E de 6, V. On éudiera l évoluion au cours emps de la ension posiive u () aux bornes condensaeur. Le condensaeur es iniialemen déchargé. A/ Equaion différenielle vérifiée par u () : Voir cours sur le dipôle R. 4 L équaion différenielle es : () 1.u E () + R R Plus le pas es grand e plus la courbe obenue s éloigne de la soluion réelle e plus il es pei plus on se rapproche de la soluion réelle. ommen finalemen choisir son pas? S il es rop pei, il fau effecuer un nombre incroyable de calculs pour ne pas beaucoup avancer (normal avec un pei pas me direz-vous...). S il es rop grand, on avance rop vie (normal aussi...) e on s éloigne de la soluion réelle. Il fau donc choisir un pas qui perme d obenir beaucoup de valeurs e qui perme aussi de suffisammen progresser sur l axe des emps. Dans les exercices on vous donne le pas e souven on vous demande un commenaire sur sa valeur. B/ Résoluion numérique de cee équaion différenielle : On va donc calculer des valeurs successives de ensions séparées d une rée 2 ms. Le bu sera de remplir le ableau proposé ci-dessous : ec... On a aussi la relaion : la ension u u ( + ) u () +. () () Le raisonnemen à suivre éan le même que celui exposé pour la radioacivié, vous pouvez vous enraîner à remplir le ableau seul. Pour ne pas se romper dans les uniés de emps, il vau mieux converir oues les uniés de emps en seconde. 4

5 La consane de emps τ vau : τ ,.1 3,47 s. Le pas 2 ms,2 s. 1. Remplissage de la 1 ère ligne : ondiion iniiale : u () V D après l équaion différenielle : () 1 E E 6.u () 127, 66 V.s + R R R, 47 la ension u u () V 2. Remplissage de la 2 ème ligne : () u ( ) + 127, 66, 2, 255 V u ( + ) u () +. () () 127,66 V.s () 1 E 1 6.u ( )., , 23 V.s + + R R, 47, 47 la ension u u () V u (),255 V () () 127,66 V.s () 122, 23 V.s 3. Remplissage de la 3 ème ligne : () u (2 ) u ( ) +. u (2 ), , 23, 2, 499 V () 1 E 1 6.u (2 )., , 4 V.s + + R R, 47, 47 2 la ension u u () V 2 u (),255 V u (2),499 V 4. ourbe obenue : En calculan 2 valeurs, on obien la courbe ci-dessous. () () 127,66 V.s () 122, 23 V.s () 117,4 V.s 2 La courbe ci-dessous a éé obenue à parir d un fichier Excel. Sur l axe des abscisses se rouve le emps en ms. 5

6 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,, Représenaion de u () , 6, 5, 4, 3, 2, / Influence pas : En rose : 2 ms (2 valeurs calculées pour aeindre 4 ms) En bleu : 1 ms (41 valeurs calculées pour aeindre 4 ms) En rouge : 2 ms. (21 valeurs calculées pour aeindre 4 ms) 1,, Les valeurs calculées avec la soluion de l équaion différenielle dans le fichier Excel son inférieures aux valeurs calculées avec la méhode d Euler pour un pas de 2 ms. IV/ La méhode d Euler en mécanique : En préparaion... On peu irer la même conclusion que précédemmen : plus le pas es grand, plus les valeurs calculées par la méhode d Euler s écaren des valeurs réelles. 6