M AT H E M AT I Q U E S

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1 BACCALAUREAT BLANC GENERAL SESSION FEVRIER 2015 M AT H E M AT I Q U E S SERIE S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 (9 pour la spécialité) Ce sujet comporte pages numérotées de à L utilisation d une calculatrice est autorisée selon les termes de la circulaire nº du 16 novembre 1999 Le candidat doit traiter les quatre exercices Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.

2 Exercice 1 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie et dérivable sur l intervalle [0 ; + [ par f x =xe x. On donne en annexe la courbe C f représentative de la fonction f dans un repère du plan. La droite d équation y = x a aussi été tracée. Partie A Soit la suite u n définie par u 0 =1 et, pour tout entier naturel n, u n 1 = f u n. 1. Placer sur le graphique donné en annexe, en utilisant la courbe C f et la droite, les points A 0, A 1 et A 2 d ordonnées nulles et d abscisses respectives u 0, u 1 et u 2. Laisser les tracés explicatifs apparents. 0,75 2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u n > Montrer que la suite u n est décroissante. 4. a. Montrer que la suite u n est convergente. b. On admet que la limite de la suite u n est solution de l équation xe x = x. Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite. Partie B n On considère la suite S n définie pour tout entier naturel n par Sn = u k = u 0 u 1 u n. k =0 Recopier et compléter l algorithme donné afin qu il calcule S 100.

3 Exercice 2 (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Les cinq questions sont indépendantes. Dans cet exercice, une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte,mais toute trace de recherche sera valorisée. 1. Soit la fonction f définie pour tout réel x par : f x = 3 1 e 2x. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. Combien la courbe C admet-elle d'asymptotes parallèles à l axe des abscisses? 2. On considère l arbre de probabilités suivant : Calculer la probabilité de l événement A sachant que l événement B 3. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts. On appelle A l évènement «l appareil présente un défaut d apparence» et F l évènement «l appareil présente un défaut de fonctionnement». On suppose que les évènements A et F sont indépendants. On sait que la probabilité que l appareil présente un défaut d apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l appareil présente au moins l un des deux défauts est égale à 0,069. On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l appareil présente le défaut F? 4. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et 1 5. Quelle est la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2? Donner une valeur approchée du résultat à Démontrer que si deux événements A et B sont indépendants alors les événements A et B sont indépendants. A désignant l'événement contraire de A.

4 Exercice 3 (6 points) Commun à tous les candidats 1. Soit f la fonction définie sur [0 ; + [ par f x =xe x 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en + et étudier le sens de variation de f. b. Démontrer que l équation f (x) = 0 admet une unique solution α sur l intervalle [0 ; + [. Déterminer une valeur approchée de α à 10 2 près. c. Déterminer le signe de f (x) suivant les valeurs de x. 2. On note C la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction logarithme népérien dans le plan muni d un repère orthonormé (O ; i ; j ). Les courbes C et sont donnée ci contre. Soit x un nombre réel strictement positif. On note M le point de C d abscisse x et N le point de d abscisse x. On rappelle que : pour tout réel x strictement positif, e x ln x. a. Montrer que la longueur MN est minimale lorsque x = α. Donner une valeur approchée de cette longueur minimale à 10 2 près. b. En utilisant la question 1., montrer que e α = 1 α. En déduire que la tangente à C au point d abscisse α et la tangente à au point d abscisse α sont parallèles. 3. a. Soit h la fonction définie sur ]0 ; + [ par h(x) = x ln(x) x. Montrer que la fonction h est une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0 ; + [. b. Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10 2 près, de l aire (exprimée en unités d aire) de la surface hachurée sur la figure ci contre.

5 Exercice 4 (4 points) Commun à tous les candidats L espace est rapporté au repère orthonormal (A ; AB ; AD ; AE ) On considère le cube ABCDEFGH représenté sur l annexe 2, à rendre avec la copie. On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF]. 1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K. 2. a. Soit R le point de coordonnées 3 4 ;1;0. Démontrer qu'il existe deux réels x et y tel que IR = x IJ +y IK b. Que peut-on en déduire pour le point R? 3. a. Déterminer un système d équations paramétriques de la droite (CD). b. En déduire que le point R appartient à la droite (CD). c. Placer le point R sur la figure. 4. Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK). On peut répondre à cette question sans avoir traité les précédentes.

6 Exercice 1 Annexes ( A rendre avec la copie) Exercice 4