Ondes dans les plasmas

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1 Ondes dans les plasmas (PC*) 1

2 Ondes dans les plasmas I Propagation d une onde électromagnétique dans un plasma : 1 Définition d un plasma : Un plasma est un milieu composé d atomes ou de molécules ionisés mais qui reste globalement électriquement neutre. Un plasma d hydrogène est composé de protons (les noyaux d hydrogène) et d électrons libres. La magnétosphère et l ionosphère terrestres. Le cœur des étoiles, exemple de plasma chaud et très dense. Les tubes à néon et le phénomène de la foudre (décharges électriques).

3 Le 4 ème état de la matière : 3

4 Applications des plasmas : 4

5 Où trouve t on des plasmas dans la nature? 5

6 6

7 Sous quelle forme se trouvent ces plasmas? 7

8 Densité volumique de courant dans un plasma : On note V et v les vitesses mésoscopiques d un ion et d un électron. Si un champ électrique extérieur E est appliqué au plasma : dv dv M ee et m ee dt dt dv m dv m V v (V << v) dt M dt M On note n la densité particulaires (nombre d électrons et de protons par unité de volume). La densité volumique du plasma est : (pratiquement celle des électrons) m j v ne j nev + nev ne 1+ v nev ne M et t t m E 8

9 Equations de Maxwell dans le plasma : L ionosphère est la partie de la haute atmosphère (75 à 50 km d altitude en plusieurs couches) où les gaz sont ionisés par le rayonnement cosmique et par le vent solaire : c est un exemple de plasma. On s intéresse à la propagation d une onde EM plane progressive monochromatique dans un plasma. On note Eet B les champs électrique et magnétique associés à cette onde. Ces champs agissent sur les électrons du plasma et les mettent en mouvement. 9

10 Equations de Maxwell dans le plasma : div div rot rot E B E B 0 0 B t µ j + ε 0 0 µ 0 E t avec j t v ne t ne m E 10

11 3 Relation de dispersion des ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques : On cherche une solution complexe des équations de Maxwell sous la forme : 1 ère méthode : E E e et B Be Les équations de Maxwell donnent : i( t k.r) i( t k.r) 0 0 ik.e ik.b 0 ; ik E i B ; ik B µ j + iε µ E Or : Avec c 1 ε 0 µ 0 et ij µ 0 p c m ne ne m E soit (pulsation plasma) : k c p j ne i E m (Equation de Klein-Gordon)

12 nde méthode : On utilise la relation d analyse vectorielle : Soit : rotrote grad(dive) E rotrote ( rotb) µ j + ε µ µ E ε µ t t t m t grad(dive) E E E ne E D où : ne 1 E µ 0 E + E m c t En régime harmonique forcé : E t E et E k E, d où : k p c (Equation de Klein-Gordon) 1

13 A haute fréquence, k c et vϕ c : le comportement du plasma est proche de celui du vide (à cause de l inertie des électrons). 13

14 Si < p, alors k est imaginaire pur : p k ± i ± ik" c Seules les ondes planes monochromatiques de pulsations dans un plasma. > p se propagent Dans le cas contraire, les ondes sont stationnaires et dites évanescentes (évolution exponentielle de l amplitude selon la direction de l onde). 14

15 4 Structure de l onde plane progressive harmonique : * Vitesse de phase et indice de réfraction du plasma : On se place dans le cas où > p (il y a propagation) : k k p La relation entre k et est non linéaire : le milieu est dispersif. c La vitesse de phase est : v ϕ ( ) k 1 p 1 c 15

16 L indice de réfraction du plasma est défini par : c n v ϕ ck soit n 1 p < 1 On remarque que : v ϕ () >c et n < 1 Ceci n est pas paradoxal car cette vitesse ne correspond pas à la vitesse de l information ou de l énergie (c est le cas de la vitesse de groupe). 16

17 * Structure de l onde EM : Le trièdre ( E, B, k ) est direct ke E B v ϕ La structure de l onde plane progressive monochromatique est semblable à celle du vide. Seule la vitesse de phase est différente et dépend de la pulsation de l onde. 17

18 II Propagation d un groupe d ondes (paquets d ondes), vitesse de groupe : 1 Propagation de deux ondes planes progressives harmoniques de fréquences voisines : On suppose que le vecteur d onde est réel (on ne prend pas en compte l absorption). Soient k 1 k( 1 ) et k k( ) les vecteurs d onde réels des deux ondes. On suppose que 1 et sont proches et l on pose : 1 + k1 + k 0 ; k0 ; δ 1 ; δk k 1 k Avec : δ << 0 et δ k <<k0 On suppose de plus que les deux ondes ont même amplitude. 18

19 L onde résultante, superposition de deux ondes, a pour amplitude : θ ( xt, ) Acos( t kx) + Acos( t k x) 1 1 Avec : δ δk θ ( xt, ) Acos t x cos( 0t k0x) 1 + k1 + k 0 ; k0 ; δ 1 ; δk k 1 k 19

20 On observe des battements : Une onde moyenne de vecteur d onde k 0 est enveloppée par une onde enveloppe de vecteur d onde δk 0

21 Au cours du temps, l onde moyenne constitue une onde plane progressive de 0 vitesse k. 0 L onde enveloppe constitue une onde plane progressive de vitesse Ces vitesses n étant en général pas identiques, les crêtes de l onde moyenne avance à une vitesse différente de celle des crêtes de l onde enveloppe. δ δk. 1

22 Animation Regressi

23 Généralisation au cas d un paquet d ondes : On appelle paquet d ondes un ensemble d ondes planes progressives harmoniques de pulsations voisines. Plus précisément, leurs pulsations sont comprises dans l intervalle : 0, 0 + avec << 0 Une illustration de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe. 3

24 On voit apparaître une onde moyenne de pulsation 0 se propageant à la vitesse de phase : et une onde enveloppe qui se propage à la vitesse de groupe : v ϕ k 0 0 v g d dk 0 Les vitesses de phase et de groupe sont a priori différentes et le paquet d ondes se propage en se déformant. 4

25 v ; k v ϕ g d dk (Paquet d'ondes avec déformation) 5

26 3 Retour à la structure de l onde plane progressive harmonique : * Vitesse de groupe : La vitesse de groupe vaut : v g d dk Pour la calculer, on différentie l équation de dispersion : D où : k p c v p g 1 c On constate que : v g < c et que v v g ϕ c 6

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28 Quelques ordres de grandeurs : L ionosphère est la partie de la haute atmosphère (75 à 50 km d altitude en plusieurs couches) où les gaz sont ionisés par le rayonnement cosmique et par le vent solaire. La densité particulaire des électrons dans l ionosphère est de l ordre de m à m et la fréquence plasma de l ordre de 7 ν p 10 Hz. Pour ν 10 Hz < νp, l ionosphère joue le rôle de réflecteur : ceci explique la 1 ère liaison radio transatlantique réalisée par Marconi en Ainsi des ondes radio en modulation d amplitude peuvent atteindre des points très éloignés sur le globe. 8 Pour ν 10 Hz > νp, l ionosphère est «transparente». Ces fréquences sont utilisées pour communiquer avec les satellites. 8

29 Autre exemple : France inter GO et France Info FM France Inter GO a pour fréquence f GO 164 khz et France info FM f FM 105,5 MHz. On voit que : f <ν < GO p f FM Ainsi, les GO se réfléchissent sur l ionosphère et pourront être captées à des distances nettement plus importantes du lieu d émission que France Info dont les ondes se propagent dans l ionosphère. 9

30 III Compléments : aspect énergétique (coefficients de réflexion et de transmission) : Le plasma occupe le demi-espace z > 0. Une OPPH incidente se propage dans le vide et atteint le plasma sous incidence normale. Définir les coefficients (éventuellement complexes) r et τ de réflexion et de transmission en amplitude (pour le champ électrique). Les exprimer en fonction de n (). Définir et calculer les coefficients réels R et T de réflexion et de transmission en intensité. Tracer la courbe donnant R ). Commenter. p ( 30

31 Effet Faraday dans un plasma : 31