Ensembles quantiles et fonction quantile en statistique et probabilités

Transcription

1 Ensembles quantles et foncton quantle en statstque et probabltés On rencontre auss le mot "fractle" au leu de "quantle" ; l s'agt du même concept, les quantles d'ordre α (α réel de ], [) étant ben souvent défns pour des ordres fractonnares, les plus courants étant : les médanes pour α = /2, les quartles pour α = k/4, k=,2,3, les quntles pour α = k/5, k=,, 4, les décles pour α = k/, k=,,9, les vngtles pour α = k/2, k=,,9, et les centles pour α = k/, k=,,99 Ensembles quantles et foncton quantle en statstque Sot X un caractère quanttatf (ou varable réelle), c'est-à-dre, une applcaton défne sur une populaton (ou un échantllon) de talle n notée E = {,, n} et à valeurs dans R ; ( X (),, X ( n )) est le n-uplet des mages des n éléments de E par X (appelé dans le secondare "sére statstque à une varable de talle n") Dstrbuton d'effectfs et dstrbuton de fréquences de X On note X ( E) = { x ; =,, r} avec x < < x r l'ensemble des mages de E par X, A A avec A = X { x}, la partton engendrée par X, et n = Card( ), effectf de { },, r A On a ( ) ; alors la dstrbuton d'effectfs de X peut-être dentfée à l'ensemble r = A {( x, n) ;,, r} = n = n et s on pose f = n / n, fréquence de, alors la dstrbuton de fréquences de X peut être dentfée à l'ensemble {( x, f ) ; =,, r } A 2 Foncton de répartton de X La foncton de répartton de X est l applcaton F défne, pour tout réel x par : F ( x ) = Card ({ k E; X( k) x }) n Notaton : Pour toute parte A de, on note X A l ensemble des éléments de E dont R [ ] l mage par X appartent à A, c est-à-dre, l ensemble X ( A), mage récproque par X de A On a alors, en notant Freq la proporton ou fréquence du sous-ensemble de E consdéré : x R, F( x) = Card( [ X x] ) = Freq( [ X x] ) n L applcaton F est en escaler, crossante, à valeurs dans [, ], contnue sauf pour les éléments de X(E) où elle est seulement contnue à drote j S on pose, pour j =,, r, N = n j j = (effectfs cumulés) et F = f (fréquences j = cumulées), alors, en posant =+ r x r+ : x R, F( x) = F ( x ) j= j xj, xj+ Jeanne Fne, IUFM Md-Pyrénées p/4

2 3 Représentatons graphques Supposons que l on at 2 observatons, qu, rangées dans l ordre crossant, sont : 8, 8, 9, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9 x n f N F 8 2 2/2 2 2/2 9 /2 3 3/ /2 5 5/2 5 /2 6 6/ /2 8 8/ /2 /2 8 /2 /2 9 /2 2 Total 2 2 2/2 / Eff Fréq Dagramme en bâtons des dstrbutons d'effectfs et de fréquences Eff cum Fréq cum Graphe de la foncton de répartton (fréquences cumulées) et des effectfs cumulés Remarque, cas des valeurs regroupées en classes Lorsque les observatons sont nombreuses et peuvent prendre n'mporte quelle valeur d'un ntervalle de R, l est d'usage de regrouper les valeurs en classes (ntervalles deux à deux dsjonts dont la réunon est un ntervalle contenant l'ensemble des observatons) et de fare l'hypothèse que toutes les observatons d'une même classe sont unformément répartes dans la classe La représentaton graphque de la dstrbuton des effectfs (ou des fréquences) des données groupées est alors appelée hstogramme : des rectangles, dont les ares sont proportonnelles aux effectfs (et/ou aux fréquences), sont élevés au dessus des classes La foncton de répartton est alors crossante, contnue, affne par morceaux, d'mage [, ] Jeanne Fne, IUFM Md-Pyrénées p2/4

3 Exemple Dans une entreprse, la répartton des salares mensuels (en mllers d euros, KE) est donnée dans le tableau suvant : salare en mllers d euros [ ;2[ [2;4[ [4; 2[ [2;3[ [3;4[ répartton (en %) Hstogramme des fréquences de la varable "salare mensuel" 4 Freq pour 2KE 36% 3 =% 2 98% 2 249% 27% 65% Salare en KE Représentaton graphque de la foncton de répartton (fréquences cumulées) de la varable "salare mensuel" Salare en KE Jeanne Fne, IUFM Md-Pyrénées p3/4

4 4 Introducton aux ensembles quantles Reprenons l'exemple précédent : 8, 8, 9, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9 La médane partage les observatons en deux groupes d'effectfs égaux ; les quartles partagent les observatons en quatre groupes d'effectfs égaux (la médane est donc auss deuxème quartle) 8, 8, 9, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9 plus précsément : Défntons un réel q est premer quartle s au mons 25% des observatons sont nféreures ou égales à q et au mons 75% supéreures ou égales à q, un réel q 2 est deuxème quartle (appelé auss médane) s au mons 5% des observatons sont nféreures ou égales à q2 et au mons 5% supéreures ou égales à q2 un réel q 3 est trosème quartle s au mons 75% des observatons sont nféreures ou égales à et au mons 25% supéreures ou égales à q q3 3 Tout réel de l ntervalle [9, 4] est alors premer quartle Tout réel de l ntervalle [5, 6] est deuxème quartle (ou médane) L unque trosème quartle est 7 Proprété : s l on applque une transformaton strctement monotone sur ces données y = f( x), alors, pour k =, 2, 3, les ensembles quartles (ntervalles fermés) vérfent : Qy, k= f ( Q x, k) s f est crossante, Qy, k= f ( Qx, 4 k) s f est décrossante Conventon pour l uncté : on chost pour unque quartle le centre de l ntervalle Avec cette conventon, s l on applque une transformaton affne sur les données y = ax+ b, (a réel non nul) alors, pour k =, 2, 3, les quartles vérfent : qy, k= aqx, k+ b s a> et qy, k= a qx,4 k + b s a< La conventon adoptée au lycée est de prendre le mleu de l ntervalle pour la médane, la borne nféreure de l ntervalle pour le premer et pour le trosème quartle (cf programme en annexe et, c-après, la défnton des quantles à partr de la foncton quantle) On conserve alors la premère proprété (transformaton affne strctement crossante) mas pas la seconde Dans le cas où le nombre d observatons n est pas un multple de 4 (e n= 4q+ r, avec r =, 2, 3 ) l exste un unque premer quartle et un unque trosème quartle qu correspondent ben aux défntons données dans les programmes Il s'agt respectvement de la (q + ) ème valeur en partant du début et en partant de la fn de la sére des n valeurs rangées dans l'ordre crossant Jeanne Fne, IUFM Md-Pyrénées p4/4

5 5 Ensemble des quantles d ordre α ( α ],[ ) et foncton quantle Défnton : q est quantle d'ordre α ( α ],[ ) s Fr ( X q) α et Fr ( X q) c'est-à-dre, s lm F ( x ) α F ( q ) ; l ensemble des quantles d ordre ( ],[ ) x q Qα = { q R ;lm F( x) α F( q) x q } α, α α est donc Les premers, deuxèmes et trosèmes ensembles quartles sont les ensembles quantles d ordre 25, 5 et 75, respectvement Les premers, deuxèmes,, neuvèmes ensembles décles sont les ensembles quantles d ordre, 2,, 9 respectvement Les médanes sont les quantles d ordre 5 donc auss les deuxèmes quartles et les cnquèmes décles L ensemble Q α est un ntervalle fermé non vde de R ; lorsqu'l n'est pas rédut à un sngleton, pour avor uncté, on chost par conventon pour quantle d ordre α le centre de l'ntervalle ; c'est ce qu est proposé au collège pour la médane L mage récproque par F du sngleton { α } est : - sot un ntervalle [a, b[ fermé à gauche, ouvert à drote, auquel cas l ensemble des quantles d ordre α est l ntervalle fermé [a, b] (en effet, on vérfe que b est auss quantle d ordre α ) ; ce cas n'est possble que s nα est un enter - sot l ensemble vde, on a alors un unque quantle d ordre α égal à nf { x R ; F( x) α} ; c'est le cas, en partculer, lorsque nα n'est pas un enter Défnton : la foncton quantle est défne par : α,, q α = nf x R ; F x α { } ] [ ( ) ( ) On a : α ], [, q( α) = nf ( ) Q α Le premer quartle et trosème quartle ntroduts au lycée sont q(25) et q(75) Commentares ) Les conventons pour avor uncté sont très nombreuses, auss, les calculatrces et tableurs ne donnent pas toutes les mêmes valeurs pour les quartles Dans la pratque, pour des échantllons de talle mportante, les quantles fourns à partr de la foncton quantle donnent une nformaton suffsante 2) Le dagramme en boîte (ou "boîte et pattes", ou "boîtes et moustaches", "box plot" ou "box and whskers plot" en anglas) est un résumé graphque de la dstrbuton de fréquences construt à partr des valeurs mnmale et maxmale de la sére et des tros quartles Cette présentaton permet de comparer vsuellement pluseurs dstrbutons de fréquences Reprenons l'exemple avec, pour conventon d'uncté, le centre des ntervalles quartles On a : mn = 8, q = 5, m= 55, q = 7, max = 9 d'où le dagramme en boîte : 3 Dagramme en boîte de la dstrbuton de fréquences Mn= 8 q =5 m=55 q 3 =7 Max=9 Jeanne Fne, IUFM Md-Pyrénées p5/4

6 Des varantes de ce dagramme sont proposées ; on peut par exemple arrêter les "moustaches" au nveau de d et d 9 plutôt que mn et max et ndquer par des étoles les observatons extéreures à l'ntervalle [ d d ], 9 4) La médane m et l'écart nter-quartle q 3 q sont, respectvement, des ndces de poston et de dsperson de la dstrbuton de fréquence de la varable consdérée En fat, la donnée dans l'ordre des cnq ndces " mn, q, m, q, max " donne davantage d'nformatons et permet 3 de construre le dagramme en boîte Il est ben commode de noter " q, q, q2, q3, q4" ces cnq ndces mas seuls q, q2, q3 sont des quartles (contrarement aux "défntons" données par certans logcels) 5) L'ndce de pauvreté des personnes (ou des ménages) adopté par la Communauté Européenne est 6% du revenu médan : une personne (ou un ménage) dont le revenu est nféreur à 6% du revenu médan de l'ensemble des personnes (ou des ménages) est consdérée pauvre Il s'agt donc d'un ndce de pauvreté relatf au mode de ve de l'ensemble de la populaton ; l ne donne aucune nformaton sur les hauts revenus et sur les négaltés de revenus Pour mesurer les négaltés de revenus, on construt des ndces à partr des décles : les neuf décles d,, d 9 partagent la populaton de ménages en dx sous-ensembles de fréquences égales %,, % des revenus les plus bas aux revenus les plus hauts Le rapport d9/ d, appelé rapport nter-décle, ou le rapport du revenu moyen des % les meux rémunérés sur le revenu moyen des % les mons ben rémunérés sont des ndces d'négaltés de revenus Cf en annexe un graphque, construt à partr de quantles, présentant l'évoluton de 998 à 26 des revenus des ménages les plus rches en France 6) Les quartles partagent la populaton en quatre sous-populatons d'effectfs égaux Ces sous-populatons sont appelée par abus de langage, er quartle, 2 ème quartle, 3 ème quartle et 4 ème quartle De même pour les autres quantles usuellement utlsés 2 Ensembles quantles et foncton quantle en probabltés 2 Dstrbuton de probablté Sot X une varable aléatore réelle qu peut être : { x, p ; I} - sot dscrète, de dstrbuton de probablté ( ), I fn ou dénombrable, on * * suppose (pour smplfer) que I est une secton commençante de N ou N tout enter et que les réels x sont rangés dans l'ordre strctement crossant (ce qu élmne entre autres les dstrbutons de probablté sur Z ) ; on suppose de plus que le support de la dstrbuton est { x ; I }, c'est-à-dre que l'on a I, p > ; on pourra reprendre les défntons dans le cas où la dstrbuton est défne sur {, }, {,, n}, N ou même Z - sot contnue, admettant une densté de probablté f supposée (pour smplfer) strctement postve sur un ntervalle ouvert A de R (support de la dstrbuton), contnue sauf, éventuellement, aux bornes de A ; on pourra reprendre les défntons dans le cas où le support A de R est réunon d'ntervalles dsjonts Pour tout ntervalle J de R, la probablté de J est : - P ( J) = p dans le cas dscret, { ; } X I x J ( ) ( ) ( ) + - P J = f x x dx dans le cas contnu X J Jeanne Fne, IUFM Md-Pyrénées p6/4

7 Dans les deux cas, s X est une varable aléatore réelle défne sur un espace probablsé ( Ω, A, P, la dstrbuton de probablté P de X est défne pour tout ntervalle J de R par ) X ( ) P ( J ) = P [ X J] où [ X J ] X récproque de J par X est le sous-ensemble de Ω, élément de A, mage 22 Foncton de répartton Défnton : la foncton de répartton de X est l applcaton F défne par : x R, F x = P X x ( ) ([ ]) La foncton de répartton de X caractérse la lo de probablté de X x R, F x P X x p ; l applcaton F est Dans le cas où X est dscrète, ( ) = ([ ]) = { I; x x} en escaler, crossante, à valeurs dans [, ], contnue sauf pour les éléments du support x ; I lm F x =, lm F x = { } de X où elle est seulement contnue à drote ; ( ) ( x x Dans le cas où X est contnue, R, ( ) = ([ ]) = ( ) ) x + x F x P X x f x dx; l'applcaton F est contnue, dérvable et de dérvée égale à f (sauf éventuellement aux bornes de A), strctement lm F x =, lm F x = Elle défnt une bjecton de A crossante à valeurs dans [, ], ( ) ( ) x dans ], [ dont on note abusvement F x + la bjecton récproque 23 Représentaton graphque Exemples : () Comme varable aléatore réelle dscrète, on peut reprendre l'exemple ntroductf et consdérer que la dstrbuton de fréquences est une dstrbuton de probablté B 3;/2 () On peut auss consdérer une lo dscrète usuelle, par exemple la lo bnomale ( ) Dstrbuton de probablté B (3;/2) Foncton de répartton de la lo B (3;/2) 3/8 7/8 /8 /2 2 3 () Comme varable aléatore réelle contnue, prenons l'exemple de la lo exponentelle E ( 2) /8 2 3 Densté de probablté E (2) Foncton de répartton de la lo E (2) 2 24 Ensemble des quantles d ordre ( ],[ ) Introducton par la médane Jeanne Fne, IUFM Md-Pyrénées α α et foncton quantle p7/4

8 Par défnton, le réel m est médane de la var X (ou de sa lo de probablté) s P X m 5 et P X m 5 P X < m 5 P X m lm F x 5 F m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x m L'ensemble des médanes de X est donc : M = { m R ;lmf( x) 5 F( m) x m } Généralsaton Par défnton, l'ensemble des quantles d ordre ( ],[ ) Qα = { q ;lm F( x) α F( q) x q } α α est : R Les premers, deuxèmes et trosèmes ensembles quartles sont les ensembles quantles d ordre 25, 5 et 75, respectvement Les premers, deuxèmes,, neuvèmes ensembles décles sont les ensembles quantles d ordre, 2,, 9 respectvement Les médanes sont les quantles d ordre 5 donc auss les deuxèmes quartles et les cnquèmes décles L ensemble Q α est un ntervalle fermé non vde de R Dans le cas où X est dscrète, l'mage récproque par F de { α } est : - sot un ntervalle [a, b[ fermé à gauche, ouvert à drote, auquel cas l ensemble des quantles d ordre α est l ntervalle fermé [a, b] (en effet, on vérfe que b est auss quantle d ordre α ) - sot l ensemble vde, on a alors un unque quantle d ordre α égal à nf { x R ; F( x) α} Dans le cas où X est contnue et admet une densté de probablté f contnue et strctement postve sur un ntervalle ouvert A de R, alors l'mage récproque par F de { α } est le { } sngleton F ( α ) Défnton : La foncton quantle est défne par : α,, q α = nf x R ; F x α { } ] [ ( ) ( ) On a : α ], [, q( α) = nf ( Q α ) Dans le cas où X est dscrète de dstrbuton de probablté ( ) { x, p ; I}, I secton * * commençante de N ou N tout enter et les réels x rangés dans l'ordre strctement crossant, alors, en posant P = et I, P = p j= j (probabltés cumulées), on a : α,, q α x α ] [ ( ) [ [( ) = I P, P Dans le cas où X est contnue et admet une densté de probablté f contnue et strctement postve sur un ntervalle ouvert A de R, alors α ], [, q( α) = F ( α) C'est la rason pour laquelle la foncton quantle peut être consdérée comme une applcaton nverse généralsée de F Jeanne Fne, IUFM Md-Pyrénées p8/4

9 25 Utlsaton de la foncton quantle pour la smulaton de la lo de probablté de X Proposton Sot U une varable aléatore réelle de lo unforme contnue sur ] [ pour densté de probablté l'ndcatrce de ], [ q Y = q ( U),, c'est-à-dre, admettant Sot X une varable aléatore réelle dont on note X la foncton quantle et X, alors Y et X ont même dstrbuton de probablté Preuve Cas où X est dscrète L'ensemble des valeurs de Y est { x ; I} PY ({ x} ) = P( U ], p ]) = p et on a : et, pour j >, { } j j ( ) (, = = ) j P x Y j = P U p p p = Cas où X est contnue On désgne par FX et F Y les fonctons de répartton de X et de Y Sot y R, FY ( y) = P( Y y) = P( FX ( U) y) = P( U FX ( y) ) = FX ( y) X et Y ont même foncton de répartton donc même dstrbuton de probablté A partr d'un générateur de nombres pseudo-aléatores (calculatrce ou tableur) on peut u u de la lo unforme contnue générer un échantllon de n observatons ndépendantes { },, n U sur ], [ et en dédure un échantllon de n observatons ndépendantes { qx ( u ),, qx ( un) } de la lo de probablté de X, cec dès qu'l est possble d'écrre explctement la foncton quantle de X Applcatons ) Sot P = {(,/2,,/4,2,/4 ) ( ) ( )} la lo de probablté à générer Sot u une observaton de la lo unforme contnue sur ], [ obtenue avec un générateur de nombres pseudo-aléatores On pose x= su ],5 [, x= s u [ 5, 75 [, x= 2su [ 75,[ Alors x est une observaton de la lo de probablté P 2) Lo bnomale B ( 3;25) On remarquera que s U sut une lo unforme contnue sur ] [ ( ),, alors X = E U + 25, parte entère de U + 25, sut une lo de Bernoull de paramètre 25 et la somme de 3 var ndépendantes de même lo de Bernoull de paramètre 25 sut une lo bnomale B ( 3; 25) Auss, à partr de observatons "ndépendantes" de la lo unforme contnue sur ( u, u 2, u 3 ) ], [, x= E ( u+ 25) E ( u2 + 25) + E( u3+ 25) B ( 3; 25) + est une observaton de la lo bnomale Jeanne Fne, IUFM Md-Pyrénées p9/4

10 3) Lo exponentelle de paramètre 2 La foncton de répartton défnt une bjecton de * R + sur ], [ : u 2x e quantle n'est autre que la bjecton récproque : x= ln ( u) / 2 A toute observaton u d'une lo unforme contnue sur ], [, x ( u) =, la foncton = ln / 2 est une observaton de la lo de probablté exponentelle de paramètre 2 On remarquera que x = ln u / 2 fat auss ben l'affare car s U sut une lo unforme sur ], [, l en est de même de U récproquement 3) Lo normale N(, ) Nous n'avons pas d'écrture explcte de la foncton de répartton (et donc de la foncton quantle) de la lo normale N(, ) ; c'est la rason pour laquelle ses valeurs sont tabulées ou données par la calculatrce ou l'ordnateur à partr de calculs approchés On montre cependant que s U et V sont des var ndépendantes en probablté chacune de lo X = 2ln U cos 2πV sut une lo normale centrée unforme contnue sur ], [, alors ( ) ( ) rédute (l en est de même de Y 2ln( U) sn( 2πV) = et les var X et Y sont ndépendantes en probablté) On peut auss smuler une lo de probablté approchée de la lo N(, ) : par exemple, s sont des var ndépendantes en probablté, de même lo unforme contnue sur ( U ) =,,2 ] [ = 2 =,, alors X U 6 sut approxmatvement une lo N(, ) Les quantles, programme et document d accompagnement Programme de ère S Contenu ANNEXE Dagramme en boîte ; ntervalle nterquartle Influence sur l ntervalle nterquartle d une transformaton affne des données Document d accompagnement au programme de ère S (29/2/) Annexes Médane (emprque) : on ordonne la sére des observatons par ordre crossant ; s la sére est de talle 2n+, la médane est la valeur du terme de rang n+ dans cette sére ordonnée ; s la sére est de talle 2n, la médane est la dem-somme des valeurs des termes de rang n et n+ dans cette sére ordonnée La défnton de la médane n est pas fgée : certans logcels et certans ouvrages défnssent la médane comme étant le second quartle ou le cnquème décle : dans la pratque de la statstque, les dfférences entre ces défntons sont sans mportance, on évtera tout développement la dessus qu ne serat pas une réponse ndvduelle à une queston d un élève Premer quartle (emprque) : c est le plus pett élément q des valeurs des termes de la sére, ordonnées par ordre crossant, tel qu au mons 25% des données soent nféreures ou égales à q Jeanne Fne, IUFM Md-Pyrénées p/4

11 Trosème quartle (emprque) : c est le plus pett élément q des valeurs des termes de la sére, ordonnées par ordre crossant, tel qu au mons 75% des données soent nféreures ou égales à q Intervalle nterquartle : ntervalle dont les extrémtés sont le premer et le trosème quartle Écart nterquartle : dfférence entre le trosème et le premer quartle Premer décle (emprque) : c est le plus pett élément d des valeurs des termes de la sére, ordonnées par ordre crossant, tel qu au mons % des données soent nféreures ou égales à d Neuvème décle (emprque) : c est le plus pett élément d des valeurs des termes de la sére, ordonnées par ordre crossant, tel qu au mons 9% des données soent nféreures ou égales à d Intervalle nterdécle : ntervalle dont les extrémtés sont le premer et le neuvème décle Pyramde des âges, pyramde des salares ANNEXE 2 Pyramde des âges La pyramde des âges d'une populaton donnée est un graphque très utlsé par les démographes présentant en face à face deux hstogrammes, celu des hommes et celu des femmes On rappelle qu'un hstogramme est une représentaton de la dstrbuton des effectfs d'une varable réelle (c l'âge) dont les valeurs sont regroupées en classes (classes d'âge d'ampltude an, 5 ans ou ans) Il faut convenr de regrouper dans une dernère classe toutes les personnes ayant dépassé un certan âge que l'on se fxe comme lmte nféreure de la dernère classe La pyramde des âges de la populaton françase en 28 n'a plus la forme d'une pyramde Cf une anmaton nttulée "de la pyramde à la toupe" sur le ste de l'ined (Insttut Natonal d'etudes Démographques) Pyramde des salares On peut de la même manère construre une pyramde des salares, par exemple, la pyramde des salares des salarés franças à temps complet en 998 (hommes/femmes) dont on nous donne les nformatons suvantes Le salare moyen est de 933 F pour les femmes et de 72 F pour les hommes Les décles du salare mensuel en francs des femmes et des hommes sont donnés dans le tableau suvant Hommes Femmes d d d d d d d d d Jeanne Fne, IUFM Md-Pyrénées p/4

12 On se propose de construre une pyramde consttuée, pour chaque hstogramme (les hommes à gauche, les femmes à drote), de dx classes, les décles formant les lmtes des classes Il reste à convenr de la borne nféreure de la premère classe et de la borne supéreure de la dernère classe que l'on note respectvement d et d Pour la borne nféreure, on convendra que les rectangles représentant les deux premères classes ont même longueur (pour ne pas dre hauteur pusque, pour une pyramde, l'axe des salares est vertcal) On trouvera 53 pour les hommes et 486 pour les femmes Pour la borne supéreure, on utlsera l'nformaton concernant la moyenne ; en effet, en notant c le centre de la ème classe et f la fréquence (égale à % pour chaque classe) la moyenne vérfe : x = f c = c avec c ( ) = 2 d d + On en dédut d On trouvera = = 425 pour les hommes et 2426 pour les femmes Enfn, s on note a l'ampltude de la ème classe ( a = d d ), comme la surface hachurée du rectangle correspondant à cette classe dot représenter % de la populaton, on en dédut que la longueur l du rectangle correspondant à la ème classe est proportonnelle à / a La pyramde est donnée page suvante (on n'a pas d'nformaton sur la proporton des hommes et des femmes dans l'ensemble des salarés, la pyramde représente les réparttons dtes condtonnelles des salarés hommes et des salarées femmes) Voc une pyramde, construte avec les mêmes données, rencontrée dans pluseurs manuels du secondare Qu'en pensez-vous? décle 2 décle 3 décle 4 décle 5 décle 6 décle 7 décle 8 décle 9 décle 922 Hommes 429 Salare moyen Salare moyen 5 58 Femmes Jeanne Fne, IUFM Md-Pyrénées p2/4

13 Dstrbuton des salarés à temps complet en998 (salare mensuel en F) HOMMES 4 FEMMES Chaque rectangle correspond à % des salarés hommes (resp femmes) Jeanne Fne, p 3/4

14 Jeanne Fne, p 4/4