Lycée Fénelon Sainte-Marie. Toute calculatrice autorisée. Le sujet comporte un total de 3 exercices.

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1 Lycée Féelo Sate-Mare PSI* Aée 5-6 Iformatque Pour ous 6 Javer 6 Durée : heures Cocours blac oute calculatrce autorsée Le sujet comporte u total de 3 exercces EXERCICE Décollage d u eg spatal O s téresse das cet exercce au décollage d u eg spatal depus le sol terrestre O modélse la stuato comme sut : La trajectore de l eg est supposée vertcale et l est repéré (varable z) le log d u axe vertcal passat par le cetre de la terre, prs comme orge ( z = ), et le cetre du pas de tr ( z = R > où R désge le rayo de la erre assmlée à ue sphère) dz L orge des temps est l stat du décollage O a doc : z( ) = R et ( ) = dt La masse de l eg est otée m et est ue focto du temps La vtesse d éjecto des gaz par rapport à l eg est supposée costate et otée u ( u > ) O églge les frottemets Avec les hypothèses précédetes e cosdérat le système fermé {fusée, gaz} etre les stats t et t+ dt, o effectue u bla de la varato de la quatté de mouvemet globale et le prcpe fodametal de la dyamque ous doe : d z dm mm m + u = G ( E) dt dt z où G désge la costate uverselle de la gravtato et M la masse de la erre O s téresse e fat à la varable h correspodat à l alttude de l eg (e sa dstace au sol) Vérfer que la varable h satsfat l équato dfféretelle ( E' ) suvate et précser les codtos tales (à t = ) : dh GM dm = u ( E' ) dt R + h m dt - 7

2 Aée 5-6 Sujet Iformatque Pour ous O cherche à résoudre l équato dfféretelle ( E' ) avec les codtos tales précsées à la questo précédete à l ade d u schéma d Euler explcte sur u tervalle de temps dm ; t f O utlse u pas de temps costat Δ t Pour la masse m et la dérvée dt, o dspose d ue focto Pytho FM qu reçot comme argumet u flottat correspodat au temps t et revoe u tuple de deux élémets correspodat respectvemet à mt () et dm () t Les varables G, M, R et u correspodat respectvemet à la costate G, à dt la masse M, au rayo R et à la vtesse d éjecto u serot déclarées globales 3 Ecrre ue focto Pytho DH qu reçot comme argumets ue varable t correspodat à u stat t, ue varable h correspodat à l alttude de l eg à l stat t et ue varable v correspodat à sa vtesse (dérvée de h par rapport au temps) à ce même stat La focto DH reverra la dérvée secode de h par rapport au temps à l stat t def DH(t,h,v): 4 Ecrre ue focto EULER_decollage qu permet de résoudre umérquemet l équato dfféretelle ( E' ) sur u tervalle de temps t ; t f ( t < tf ) Elle reçot comme argumets : Ue varable t correspodat au temps tal t Ue varable tf correspodat au temps fal t f Ue varable pas correspodat au pas de temps Δ t Ue varable h correspodat à l alttude tale Ue varable v correspodat à la vtesse tale La focto costrura tros lstes Lt, Lh et Lv coteat les valeurs des stats, de l alttude et de la vtesse de l eg aux stats, pas, pas, 3 pas, La focto affchera u graphque doat l alttude de l eg e focto du temps (le scrpt cotet l structo mport matplotlbpyplot as plt) def EULER_décollage(t,tf,pas,h,v): Par exemple, s l o pred la secode comme uté de temps et s l o souhate obter l alttude attete par l eg au bout de mutes avec u pas de temps égal à ue secode, o appellera la focto EULER_decollage das le scrpt comme sut : EULER_décollage(,,,,) - 7

3 Aée 5-6 Sujet Iformatque Pour ous 5 Le décollage se dvse e fat e quatre phases prcpales correspodat aux tervalles de temps I = [ ; t], I = [ t; t], I3 = [ t ; t3] et I4 = [ t3 ; t4] O dspose as de quatre foctos Pytho FM, FM, FM3 et FM4 doat à u stat t quelcoque, das l u de dm ces tervalles, la masse mt () et la valeur prse par sa dérvée () t O suppose par dt alleurs que les temps t, t, t 3 et t 4 sot fours das ue lste L Commet modfer le scrpt et la focto EULER_decollage pour ter compte de ces ;t? quatre phases et résoudre l équato dfféretelle ( E' ) sur l tervalle de temps [ ] 4 EXERCICE Les courbes de BEZIER Ue courbe de Bézer à + ( ) pots de cotrôle P, P, P,, P est ue courbe paramétrée d extrémtés les pots P et P défe par : où les P t B t P t = () = (), [ ;] B sot les polyômes de Berste défs par : t, B () t = t ( t) Remarque mportate : l écrture B e désge e re ue pussace! Par exemple, pour = 6 et e cosdérat les pots de cotrôle suvats : P, P, P, P3, P4, P5 et P () x t o obtet la courbe de Bézer correspodat aux pots P() t y t ( t [ ;] ) avec : 6 x() t = B () t x = 6B () t B () t + 4B3 () t + 7B4 () t + 8B5 () t + 4B6 () t = 6 y t = B t y = B t + B t B t B3 t B4 t + B5 t + B6 t = () () () 5 () () 6 () 6 () 4 () () 3-7

4 Lycée Féelo Sate-Mare Aée 5-6 Cocours blac Sujet PSI* Iformatque Pour ous Graphquemet (la lge e potllés rouges est la lge polygoale des pots de cotrôle) : Parte A : évaluato drectee des polyômes de Berste Das cette parte, o se doe u réel t das l terva ; et u eter aturel das ; O cherche à évaluer le ombre C de multplcatos et de dvsos requses par le calcul de! O a : B () t = t ( t)! ( )! Das cette questo, o suppose que l o calcule B ( t ) e calculat chacue des tros factorelles apparassat das le coeffcet bomal Calculer C(, O a, pour : B () t B = O a doc calculé e ayat smplfé le rapp a Calculer C () t ) = t t ( ) ( ( ) (, ) (, ) ) alle [ ] + t ( t) port ( ) k = =! )! Π Π ( k = k ( ) k + ) t ( t) 4-7

5 Aée 5-6 Sujet Iformatque Pour ous O a auss = C, b Calculer c Ecrre ue focto Pytho Berste_base recevat e argumet deux eters et et u réel t das [ ; ] et revoyat B ( t ) e effectuat u mmum de multplcatos 3 O a, pour o ul : = O propose le code récursf suvat pour le calcul de : def bomal(,): f == or == : retur else: retur(( / ) * bomal( -, - )) Ce code peut codure à des résultats erroés Pouvez dre pourquo? E e modfat que le deuxème retur, proposer u code correct Parte B : évaluato récursve des polyômes de Berste Les polyômes de Berste peuvet être calculés selo la défto récursve suvate : =, () B t t B t = t et pour > : ( t) B ( t) s ( ) s ; t B () t s m = B () t = t B t + t B t = 4 Ecrre ue focto récursve Berste_rec qu calculera B argumet deux eters et (das ; ) et u réel t (das [ ] metoées e serot pas testées par la focto t et recevra e ; ) Les apparteaces 5-7

6 Aée 5-6 Sujet Iformatque Pour ous Parte C : l algorthme de Casteljau L algorthme de Casteljau est u algorthme vsat à détermer, pour t fxé das [ ; ], les x( t) coordoées d u pot P ( t ) e trat part de la défto récursve précédete Le y() t prcpe e est le suvat : O ote P, P, P,, P la lste tale des pots de cotrôle Cette lste comporte + pots A partr de la lste précédete, o costrut la lste des barycetres P {( ) ( = P, t, P+, t) } avec ; O a as : P ( ) = tp + t P +, c està-dre, e otat P y x () t x ( t) = t x ( t) + ( t) x+ ( t) () t : y () t = t y () t + ( t) y+ () t O recommece l étape précédete jusqu à obter le pot P qu correspod au pot P( t ) de la courbe de Bézer ayat les pots cotrôle 5 Pourquo l algorthme précédet se terme-t-l? P, P, P,, P pour pots de 6 Ecrre ue focto récursve PotBezer_rec qu reverra le pot recevra e argumet ue lste de pots et u réel t (das [ ; ] ) U pot sera représeté par ue lste de deux élémets correspodat à ses coordoées De fat, ue lste de pots sera ue lste de lstes Avec l exemple four e début d exercce, o appellera talemet la focto avec la lste PC : P t = P et [[-6,-],[-,5],[,-],[4,-6],[7,-6],[8,4],[4,]] 7 E supposat dspoble la focto PotBezer_rec, écrre ue focto Bezer_Casteljau qu recevra comme argumets ue lste PC de pots et u eter P et tracera P pots (correspodat à P + valeurs équrépartes de t das [ ; ]) de la courbe de Bézer ayat pour pots de cotrôle les pots de PC EXERCICE 3 Complexté moyee du tr rapde Parte A : calculs prélmares O cosdère u espace probablsé ( Ω, A,P) Sot X et Y deux varables aléatores défes sur cet espace et telles que : X ( Ω) ; où désge u eter aturel = = Y( Ω) ; et j ;, P( Y j) 6-7

7 Aée 5-6 Sujet Iformatque Pour ous Pour tout eter j das ;, o désge par E( X Y = j) l espérace mathématque de la varable aléatore X pour la probablté codtoelle P ( Y = j) E( X Y = j) est doc l espérace de X das l espace probablsé Ω, A, P ( Y = j) Calculer EY Motrer que E( X) = E( X Y = j) j= Parte B : complexté moyee du tr rapde Sot à trer ue lste L [ l, l, l3,, l ] permutatos de l esemble ; = uformémet chose das l esemble des! otos C la varable aléatore correspodat au ombre de comparasos requses pour trer cette lste à l ade de l algorthme du tr rapde E C O cherche Pour ue lste doée, o utlse comme pvot le premer élémet de cette lste G O ote G (respectvemet D ) la logueur de la lste de gauche L (respectvemet drote D L ) obteue à l ssue de la premère étape du tr de la lste L et o pose R = C ( ) correspodat aux ombres de comparasos à effectuer après la premère étape 3 Détermer la lo de G 4 Motrer que, j ;, E( R G j) E( Cj C j ) = = + = + j= +, E C+ = + E C Poser alors X = C et e dédure :, E( X+ ) = + E( X) +, E X = + S + où, pour tout eter aturel o ul : S = Motrer que l o a :, E( C) E( Cj) 6 Motrer que l o a : 7 Démotrer par récurrece que l o a : 8 Dédure du résultat précédet u équvalet smple de E( C ) e + 7-7