E0: SIGNAL TEMPOREL. Un signal scalaire (un nombre réel) dépendant du temps noté u(t) est sinusoïdal lorsque. u(t) = A cos ωt + B sin ωt

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1 E0: SIGNAL TEMPOREL 1 Signal sinusoïdal 1.1 Définition Un signal scalaire (un nombre réel) dépendant du temps noté u(t) est sinusoïdal lorsque où A et B sont des réels. 1.2 Remarques On peut également écrire u(t) = C cos(ωt + ϕ) En effet cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b d où u(t) = C cos ϕ cos(ωt) C sin ϕ sin(ωt) et en posanta = C cos ϕ et B = C sin ϕ, on obtient Bien entendu, on peut si on préfère écrire u(t) = D sin(ωt + ψ) Tracer u en fonction du temps si A = 0, B = 0, A et B quelconques. 1.3 Grandeurs caractéristiques On appelle pulsation la grandeur ω. On appelle période temporelle la grandeur T = 2π ω On appelle fréquence temporelle la grandeur f = 1 T On retiendra particulièrement ω = 2πf Pour un signal u(t) = A cos(ωt + ϕ). On appelle phase instantanée, ou phase à l instant t, la grandeur Φ(t) = ωt + ϕ On appelle phase à l origine des temps la grandeur ϕ = Φ(t = 0) 1

2 2 Analyse dimensionnelle 2.1 Introduction Les grandeurs sans dimension sont sans unité. Toute grandeur dimensionnée possède nécessairement une unité à l aide de laquelle sa valeur numérique doit être exprimée. L argument d une fonction trigonométrique est nécessairement sans dimension. La grandeur ωt est donc sans dimension et si t est un Temps, alors ω est un Temps 1. Le temps s exprime en seconde (symbole s) dans le Système International (S.I.). La pulsation ω est en s 1. La fréquence possède la même dimension que la pulsation et par conséquent la même unité. Elle est parfois exprimée en hertz (symbole Hz, 1Hz = 1s 1 ) pour des raisons historiques, mais cela permet également de la distinguer d une pulsation, toujours exprimée en s 1. Les phases sont bien entendues des grandeurs sans dimension donc sans unité. Attention cependant, nous verrons qu en pratique et en travaux-pratiques le physicien utilise souvent le degré (symbole ) pour exprimer une phase. On a alors la correspondance suivante 2π = 360 Le choix historique du nombre 360 est motivé par des questions de divisibilité. 2.2 Exercice Exprimer en degré les phases suivantes: π, π 2, π 3 et enfin φ = 2,31. Passer ensuite en radian (l unité naturelle de la phase) les phases suivantes: 120, 45 et ψ = , ce qui se lit 32 degrés, 53 minutes et 42 secondes. On rappelle qu un degré contient soixante minutes et qu une minute contient soixante secondes. Le terme de minute et de seconde correspond ici à des minutes et secondes d angles, grandeurs sans dimension. 3 La dérivée d une grandeur temporelle 3.1 Dérivée première En physique la dérivée par rapport au temps d une grandeur u(t) est systématiquement notée Nous avons donc u u= du Si u(t) est une Tension alors u est une Tension*Temps Dérivée seconde Pour une grandeur u(t), Que nous noterons plus simplement Ä u ä d u = u= d u Nous noterons au passage que la définition de la dérivée est récursive. Une fois la dérivée première définie. La dérivée seconde est tout simplement la dérivée de la dérivée. Attention cependant à l aspect dimensionnel, la dérivée seconde d une Tension est une Tension*Temps Variation infinitésimale On note la variation infinitésimale de la grandeur u(t) entre les dates t et t + où t est un infiniment petit par du(t) = u(t + ) u(t) 2

3 On remarque que la dérivée de la fonction u(t) par rapport au temps s écrit alors u (t) = du(t) Nous écrirons donc également la variation infinitésimale de u(t) comme 3.4 Exercices du(t) = u (t) 1. Définir la fonction constante et la fonction identité. Déterminer leur dérivée. 2. Déterminer la dérivée de la fonction f : t t Rappeler la valeur du cosinus et du sinus pour de faibles angles. 4. Déterminer la dérivée de la fonction cosinus. 3.5 La fonction exponentielle La fonction exponentielle est fondamentale en physique. Nous la définirons dans une première approche comme la fonction qui est égale à sa dérivée. On la note exp ou t exp t ou plus simplement e t. Tracer sa courbe représentative. On définit la fonction logarithme népérien (notée ln) comme la fonction réciproque de la fonction exponentielle. On a donc ln e t = t et e ln t = t. Tracer sa courbe représentative. 4 Formule de composition 4.1 Théorème Montrer à l aide de ce qui précède que (g f) (t) = g (f(t)) f (t) En déduire la dérivée de la fonction f : t cos ωt où ω est une constante. 4.2 Remarque Les physiciens ont pris l habitude de confondre au niveau des écritures la fonction f et la valeur de la fonction à la date t, notée f(t). Les concepts de fonction f et de valeur d une fonction à un instant t notée f(t) sont bien différents mais on ne sera pas surpris de voir en physique des écritures du type f = f(t) ce qui ferait bondir un mathématicien orthodoxe. 4.3 Exercice 1. Déterminer la dérivée par rapport au temps de la fonction notée f 2 et définie par f 2 : t [f(t)] Monter que f 1 (t) = 1 f(f 1 (t)) 3. En déduire que la dérivée du logarithme népérien est la fonction t 1 t 4. En déduire que d ln(t) = /t 5 Oscillateur harmonique 5.1 Définition On appelle oscillateur harmonique tout système physique décrit par un paramètre u(t) satisfaisant à l équation 3

4 u (t) + ω 2 u(t) = Résolution Montrer que est solution de l équation différentielle qui précède. 6 Conditions initiales 6.1 Définition u(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) Nous utiliserons systématiquement les notations suivantes u(t = 0) = u 0 u (t = 0) = u 0 Ce couple de grandeurs ( position et vitesse ) s appellent conditions initiales (c.i.). 6.2 Exercice On s intéresse à un oscillateur harmonique dont la grandeur physique u(t) supposée continue dans le temps s écrit, 1. Déterminer A et B en fonction des conditions initiales u 0 et u Tracer le graphe donnant u en fonction du temps t en plaçant nettement les conditions initiales u 0 et u 0 sur le graphique ainsi que la période T du signal que l on exprimera en fonction de la pulsation ω. 7 Avance de phase 7.1 Position du problème Un élève facétieux, qui se faisait reprocher ses retards systématiques par son professeur, lui fit remarquer qu il était tout compte fait toujours en avance algébrique sur l heure du cours. Simplement, cette avance était parfois négative! Il en convint et se promit d y remédier. De manière plus directe, un retard de moins cinq minutes correspond bien à une avance de plus cinq minutes. 7.2 Définition Pour deux signaux u(t) et v(t) de même pulsation ω, on peut les écrire u(t) = U sin ωt où U et V sont supposés positifs. v(t) = V sin(ωt + ϕ) On appelle avance de phase algébrique de v par rapport à u la grandeur ϕ. C est une grandeur algébrique (positive ou négative). Tracer u(t) et v(t) sur la même courbe pour ϕ positif puis négatif avec une valeur absolue comprise entre zéro et π 2. 4

5 7.3 Exercices 1. Tracer u et v de même pulsation en phase puis en opposition de phase (déphasage de π). 2. Même question pour deux signaux en quadrature (extremum de l un correspondant à un nul de l autre). 3. Tracer les signaux X(t) = sin(t) et Y (t) = cos(t) en plaçant X et Y en ordonnée et t en abscisse. 4. Tracer un signal créneau Cr(t) de période T et d amplitude unité. 5. Tracer un signal triangulaire T r(t) de période T et d amplitude unité. 8 Mode XY 8.1 Définition Le mode XY correspond au tracé de la courbe paramétrique (x(t), y(t)) dans le plan (Oxy). 8.2 Exemple 1. On s intéresse à deux signaux continus positifs dans le temps notés U et V. Tracer le mode XY de ces deux signaux. Même question si U est positif et V négatif. 2. On s intéresse aux signaux u(t) = U continu positif et v(t) = V cos ωt sinusoïdal. Tracer le mode XY associé. 3. On modifie v(t) que l on prend triangulaire. Tracer à nouveau le mode XY associé. 4. On modifie à nouveau v(t) pour prendre un signal créneau de période T. Tracer v(t) en fonction du temps. Tracer le mode XY lorsque u(t) = U est sur la voie X et v(t) sur la voie Y. 9 Oscilloscope 9.1 Présentation Un oscilloscope est un appareil permettant de déplacer un point lumineux à l aide de deux tensions. L une de ces tensions donne un déplacement vertical (noté Y) et l autre un déplacement horizontal (noté X). Le mode XY de l oscilloscope est son mode fondamental. Ceci dit, le plus souvent, nous l utiliserons en mode balayage pour lequel une tension interne à l oscilloscope permet de faire défiler le point lumineux suivant l axe horizontal X. On modélise ainsi le défilement du temps. La tension u(t) que l on cherche à étudier dans le temps dévie alors le point lumineux verticalement ce qui permet de représenter cette tension u(t) en fonction du temps t. La tension interne à l oscilloscope permettant de déplacer le point lumineux sur l axe horizontal (noté X) s appelle la base de temps (TB pour time base). 9.2 Exercices 1. En mode balayage, représenter une tension sinusoïdale si l on débranche la base de temps. Même question pour un signal créneau. Quelle différence avec le mode XY? 2. On ajoute maintenant la base de temps que l on règle à un carreau par seconde sur un écran de 10 carreaux. Vous êtes l oscilloscope. Tracer une sinusoïde de fréquence f = 0,2Hz sur l écran. Combien de temps faut-il à l oscilloscope pour tracer un balayage. 5