Chapitre 14. Équations différenteilles

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1 Chapitre 14. Notions à connaître et objectifs : Dans ce chapitre,on étudie les équations différentielles linéaires simples. On verra différentes méthodes de résolution, et le lien avec les autres matières scientifiques. 1. Savoir résoudre des équations du premier ordre (avec ou sans second membre Savoir déterminer une solution particulière simple (premier ordre) Savoir déterminer une solution particulière par la variation de la constante (premier ordre) 4. Savoir résoudre les équations du second degré sans second membre dans R et dans C Savoir trouver une solution particulière avec second membre exponentielle-polynôme Savoir résoudre un problème de Cauchy et/ou utiliser les propriétés https :// partie 1. Définition https :// partie 2. Équation différentielle linéaire du premier ordre https :// partie 3. Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants https :// partie 4. Problèmes conduisant à des équations différentielles 279

2 I Généralité sur les équations différentielles I.1 Introduction Une équation différentielle est une équation : dont l inconnue est une fonction (généralement notée y(x) ou simplement y) ; dans laquelle apparaissent certaines des dérivées de la fonction (dérivée première y, ou dérivées d ordres supérieurs y, y (3), ). Exemple Soit l équation différentielle y = 2xy + 4x. Vérifier que y(x) = k exp(x 2 ) 2 est une solution sur R, ceci quel que soit k R. 2. Soit l équation différentielle x 2 y 2y + 2x = 0. Vérifier que y(x) = kx 2 + x est une solution sur R, pour tout k R. I.2 Définitions Définition Une équation différentielle d ordre n est une équation de la forme F (x, y, y,, y (n) ) = 0 où F est une fonction de (n + 2) variables. Une solution d une telle équation sur un intervalle I R est une fonction y I R qui est n fois dérivable et qui vérifie l équation. Une solution maximale de l équation y = f(x ; y), est une fonction y satisfaisant l équation, et définie sur un intervalle I maximal. On appelle courbe intégrale la courbe représentative d une fonction maximale L équation est dite scalaire lorsque y est à valeurs dans K, (c est la situation que nous étudierons ici) et vectorielle lorsque y est à valeurs dans K n. Remarque On apprendra à résoudre certaines équations différentielles. Pour beaucoup d entre elles, on est incapable d exprimer les solutions à l aide de fonctions usuelles. Pour connaître l allure des courbes intégrales d une équations différentielle du premier ordre résolue en y, on peut représenter des vecteurs du champ de vecteur associé : La courbe intégrale d une solution y, passant par (x 0 ; y 0 ), admet en ce point une tangente dirigée par (1 ; y (x 0 )) = (1 ; f(x 0 ; y 0 )) I.3 Problème de Cauchy 280

3 Définition Un problème de Cauchy est la donnée d une équation différentielle d ordre n, et de n conditions initiales sur les valeurs de la fonction y et de ses dérivées en un réel x 0, satisfaites par la solution cherchée : par exemple y(0) = 1. Exemple Par exemple, y = 3xy + 4, avec y(0) = 1, est un problème de Cauchy. Théorème 14.5 (de Cauchy-Lipschitz - Admis). Soient I et J deux intervalles et f une fonction continue sur I J à valeurs dans K. Si f est dérivable par rapport à la deuxième variable et que cette dérivée est continue, le problème de Cauchy : y = f(x; y) et y(x 0 ) = y 0 avec (x 0 ; y 0 ) I J admet une unique solution maximale. Remarque Le théorème reste valable pour les équations différentielles vectorielles, pour y et f à valeurs dans K n et J un ensemble ouvert de K n Exemple l équation y = ay admet la fonction nulle sur R comme solution. Le théorème assure que les autres solutions ne s annulent pas. Elles satisfont donc y y = a, c est-à-dire ln y = ax + c. Ainsi, y = e ax+c = Ke ax où K = e c est une constante strictement positive. Comme y ne s annule pas et qu elle est continue, elle ne change pas de signe, ainsi y = Ke ax ou y = Ke ax avec K > 0. En résumant les cas observés, les solutions maximales sont de la forme y R R, x Ke ax où K R. Méthode : Lorsqu on cherche la solution d un problème de Cauchy, on résout l équation en générale et on utilise les conditions initiales pour obtenir les constantes. Exemple Trouver a priori le sens de variation des solutions de l équation y = y 2 e x. Résoudre cette équation puis le problème de Cauchy : y = y 2 e x et y(0) = 1/2. Correction : Soit y une solution définie sur un intervalle I de l équation différentielle ci-dessus. On a pour tout x I y (x) = y(x) 2 e x 0 ainsi y est croissante sur I. Nul besoin de calculer y!! Comme x 0 est solution sur R, les autres solution de s annule pas. Ainsi pour x I on a En intégrant, on trouve ( 1 y ) (x) = y (x) y(x) 2 = ex. 1 y(x) = (ex + c) avec c une constante. Plusieurs cas se présentent : Si c 0 alors x R e x + c > 0 et x y(x) = est solution. 1 e x + c < 0 qui est définie et non nul sur R 281

4 Si c < 0 alors e x +c > 0 pour tout x > ln( c). Ainsi pour tout x > ln( c) y x qui est définie et non nulle sur ] ln( c) ; + [ est solution. D autre part x < ln( c) y x solution. 1 e x + c < 0 1 e x > 0 qui est définie et non nulle sur ] ; ln( c)[ est + c La solution du problème de cauchy est donc définie sur, ln( c), c étant à définir et satisfait L unique solution est : 1 e 0 + c = I.4 Équations différentielles linéaires c = 1/2 1 + c = 2 puisc = 3 y ] ; ln(3)[ R y(x) = 1 e x 3 = 1 3 e x Définition Une équation différentielle d ordre n est dite linéaire lorsqu elle peut s écrire sous la forme a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = f où a n,, a 0 et f sont des fonctions continues sur un intervalle I. La fonction f est le second membre de l équation différentielle linéaire. Si f est la fonction nulle, l équation différentielle linéaire est dite sans second membre ou homogène. Si les fonctions a n,, a 0 sont des constantes (mais pas nécessairement le second membre f), l équation est dite à coefficients constants. Exemple y + 5xy = e x est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre. 2. y + 5xy = 0 est l équation différentielle homogène associée à la précédente. 3. 2y 3y + 5y = 0 est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, sans second membre. 4. y 2 y = x ou y y y = 0 ne sont pas des équations différentielles linéaires. Proposition Sur un intervalle I où a n ne s annule pas et soient x 0 I, y i K : a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = f avec y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,, y (n 1) (x 0 ) = y n 1, admet une unique solution. Démonstration. C est une conséquence du théorème de Cauchy en interprétant l équation scalaire y (n 1) y d ordre n comme une équation vectorielle d ordre 1 avec Y = (n 2) y y On reprendra cette situation en fin de chapitre. 282

5 Théorème (Principe de linéarité). Si y 1 et y 2 sont solutions de l équation différentielle linéaire homogène (E 0 ) a 0 (x)y + a 1 (x)y + + a n (x)y (n) = 0 (E 0 ) alors, quels que soient λ, μ R, λy 1 + μy 2 est aussi solution de cette équation. En particulier, l ensemble S 0 des solutions sur un intervalle I de l équation ci-dessus est un espace vectoriel de dimension n. Proposition (Structure des solution). Soit une équation différentielle linéaire d ordre n et (E 0 ) l équation sans second membre associée : a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = f, (E 0 ) a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = 0 où a n,, a 0, f sont des fonctions continues sur un intervalle I, à valeurs dans K, et où a n ne s annule pas. 1. L ensemble S 0 des solutions de l équation homogène (E 0 ) est un espace vectoriel. 2. Si y 1 est une solution particulière de, les solutions de sont de la forme y = y 1 + y 0 où y 0 S O S 0 étant l espace vectoriel des solutions de l équation sans second membre (E 0 ). Démonstration. Le premier point est une conséquence du principe de linéarité et du théorème de Cauchy pour la dimension. Le second point est une conséquence de la linéarité. Remarque Trouver une solution particulière de est en général le plus difficile. Le plus rapide est toujours de deviner une solution (ou la forme d une solution) simple. Exemple Trouver les solutions à valeurs réelles de y 2y = e x Correction Les solution de l équation homogène y 2y = 0 sont y 0 x Ke 2x avec K R. Une solution particulière est donnée par y x e x. Ainsi, l ensemble des solutions est donné par La linéarité de l équation donne aussi S = { e x + Ke 2x avec K R} Proposition (principe de superposition). Soit les équations différentielle linéaire d ordre n définie sur I avec les conditions précédentes (en particulier x I, a n (x) 0) : a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = f 1 + f 2, (E 1 ) a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = f 1, (E 2 ) a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = f 2 283

6 Soit y 1 et y 2 deux solutions de (E 1 ) et (E 2 ) respectivement. Alors y = y 1 + y 2 est une solution de. Exemple Résoudre y 2y = ch (x). Correction : On sait que pour x R, ch (x) = 1 2 (ex + e x ). On a déjà une solution particulière pour un second memebre en e x, la fonction x 1 3 e x est solution pour un second membre en e x. Ainsi une solution particuliere de y 2y = ch (x) est donnée par y x 1 2 ( ex 1 3 e x ). Conclusion l ensemble des solutions de l équation y 2y = ch (x) est S = {y + Ke 2x avec K R} II Équations différentielles linéaires d ordre 1 II.1 Cas d une simple recherche de primitive II.2 Proposition Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I. L équation y = f(x) (dite incomplète en y) a pour solutions y = F + c où c une constante dans K. Cas des équations homogène (sans second membre) C est une équation de la α(x)y (x) + βy(x) = 0 où α et β sont des fonction continue définie sur un intervalle I et α ne s annule pas sur I. Quitte à diviser par α(x) 0 sur I, on se ramène à où a est une fonction continue sur I. y + ay = 0 Proposition Soit a I R une fonction continue. Soit A I R une primitive de a. Soit l équation différentielle : y + ay = 0 Les solutions sur I de sont les fonctions y définies par : x I, y(x) = Ke A(x) où K K est une constante quelconque. Remarque Attention : aux signe dans A(x) dû à la présentation du théorème, l équation est sous la forme y + ay = 0 et non sous la forme y = a 1 y! 284

7 Celle quand on connait la solution! Soit y une solution de y + ay = 0. Posons z x y(x)e A(x). Alors la fonction z est dérivable sur I et pour x I on a z (x) = y (x)e A(x) + A (x)y(x)e A(x) = e A(x) (y (x) + a(x)y(x)) = 0 Ainsi z = 0 sur I et z est constante égale à K K. On en déduit pour x I, y(x) = Ke A(x) Le calcul au brouillon : y + ay = 0 y (x) y(x) = a dy y = a(x) ln(y) dy y = a(x) dx = A(x) + c y = ec e A(x) Exemple Résoudre l équation différentielle x 2 y = y. Correction :On se place sur l intervalle I + = ]0, + [ ou I = ], 0[. Sur l intervalle I +, l équation devient y = 1 x 2 y. Donc a(x) = 1 x 2, dont une primitive est A(x) = 1 x. Ainsi les solutions cherchées sont y(x) = ke 1 x, où k R. Attention : au signe! La présentation de l équation n est pas celle du théorème! Le cas de l intervalle I se traite de même. II.3 Avec second membre : y + ay = b Attention : Dans le cas d une équation αy + βy + γ où α, β et γ sont des fonctins continues sur I et α ne s annulant par sur I, on divise par α pour ce ramener au cas ci-dessus. Attention : Le principe de supperposition assure qu il n y a pas de nouveauté : Proposition On considère l équation y + a(x)y = b(x) où a I R et b I R sont des fonctions continues. On note S 0 l ensemble des solutions de l équations homogène associée. Soit y une solution de. L ensemble S des solutions de est donné par S = {y + y 0 avec y 0 S 0 } = {x y(x) + Ke A(x) avec K K} Méthode : Pour résoudre une équation différentielle du premier ordre y + ay = b sur un intervalle I. 1. on résout l équation différentielle homogène associée (E 0 ) y + ay = on cherche une solution particulière de. 3. on conclut quant à l ensemble des solutions de. 285

8 II.4 Recherche de solutions particulières On considère l équation y = a(x)y + b(x) Méthode : La méthode de la variation de la constante consiste à chercher une solution particulière de sous la forme y(x) = k(x)y 0 (x) = k(x)e A(x), où k est une fonction à déterminer et y 0 soit une solution l équation homogène. En effet de b = y + ay = k y 0 + ky 0 + aky 0 = k y 0, on trouve k y 0 = b et on conclu en intégrant. Exemple Résoudre l équation à valeurs réelles y + y = e x + 1. Correction : L équation homogène est y +y = 0 dont les solutions sont les y(x) = ke x, k R. Cherchons une solution particulière avec la méthode de variation de la constante : on note y(x) = k(x)e x. On doit trouver k(x) afin que y vérifie l équation différentielle y + y = e x + 1. On fixe c = 0 (n importe quelle valeur convient) : y 0 + y 0 = e x + 1 (k (x)e x k(x)e x ) + k(x)e x = e x + 1 k (x)e x = e x + 1 k (x) = e 2x + e x k(x) = 1 2 e2x + e x + c y 0 (x) = k(x)e x = ( 1 2 e2x + e x ) e x = 1 2 ex + 1 Nous tenons notre solution particulière! Les solutions générales de l équation y + y = e x + 1 s obtiennent en additionnant cette solution particulière aux solutions de l équation homogène : y(x) = 1 2 ex ke x, k R. Méthode : Si b(x) est un polynome dans K n [X] on cherchera la soultion particulière sous la forme d un polynome P de degré n : y(x) = P (x) K n [X] II.5 Des exemples en élec... Le circuit RL et le circuit RC III III.1 Équations différentielles linéaires d ordre 2 à coefficients constants Cas des équations homogènes Définition Une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants, est une équation de la forme ay + by + cy = g(x) 286

9 où a, b, c R, a 0 et g est une fonction continue sur un intervalle ouvert I. Si g(x) = 0 pour tout x I, on prale d équation homogène. Définition L équation ar 2 +br+c = 0 est appelée l équation caractéristique associée à ay + by + cy = 0. Théorème (Solutions complexes). On considère l équation ay + by + cy = 0 et avec a, b, c R ou C et a 0. On note Δ le discriminant de l équation caractéristique de. On obtient alors les solutions définies sur R et à valeurs dans complexes par 1. Si Δ 0, l équation caractéristique possède deux racines distinctes r 1 r 2 et les solutions de (??) sont les y(x) = λe r 1x + μe r 2x où λ, μ C. 2. Si Δ = 0, l équation caractéristique possède une racine double r 0 et les solutions de (??) sont les y(x) = (λ + μx)e r 0x où λ, μ C. Démonstration. C est une simple vérification de vérifier que ce sont bien des solutions. Le théorème de Cauchy-Lipschitz nous assure que ce sont les seules. Théorème (Solutions réelles). On considère l équation ay +by +cy = 0 et avec a, b, c R ou C et a 0. On note Δ le discriminant de l équation caractéristique de. On obtient alors les solutions définies sur R et à valeurs dans R par 1. Si Δ > 0, l équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes r 1 r 2 et les solutions de (??) sont les y(x) = λe r 1x + μe r 2x où λ, μ R. 2. Si Δ = 0, l équation caractéristique possède une racine double r 0 et les solutions de (??) sont les y(x) = (λ + μx)e r 0x où λ, μ R. 3. Si Δ < 0, l équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées r 1 = α + iβ, r 2 = α iβ et les solutions de (??) sont les y(x) = e αx (λ cos(βx) + μ sin(βx)) où λ, μ R. Démonstration. C est le mème principe que le théorème précédent. Seul le cas Δ < 0 mérite une remarque. Le passage au fonction trigonométrique est donée par les formules d Euler. Exemple Résoudre sur R l équation y y 2y = 0. L équation caractéristique est r 2 r 2 = 0, qui s écrit aussi (r + 1)(r 2) = 0 (Δ > 0). D où, pour tout x R, y(x) = λe x + μe 2x, avec λ, μ R. 287

10 2. Résoudre sur R l équation y 4y + 4y = 0. L équation caractéristique est r 2 4r + 4 = 0, soit (r 2) 2 = 0 (Δ = 0). D où, pour tout x R, y(x) = (λx + μ)e 2x, avec λ, μ R. 3. Résoudre sur R l équation y 2y + 5y = 0. L équation caractéristique est r 2 2r+5 = 0. Elle admet deux solutions complexes conjuguées : r 1 = 1 + 2i et r 2 = 1 2i (Δ < 0). D où, pour tout x R, y(x) = e x (λ cos(2x) + μ sin(2x)), avec λ, μ R. III.2 Cas des équations avec second membre Proposition Les solutions générales de l équation ay + by + cy = g s obtiennent en ajoutant les solutions générales de l équation homogène à une solution particulière de. Méthode : Second membre du type exponentielle-polynôme e αx P (x). Si g(x) = e αx P (x), avec α R et P R[X] est un polynôme de degré n, alors on cherche une solution particulière sous la forme y 0 (x) = e αx Q(x), si α n est pas une racine de l équation caractéristique, y 0 (x) = xe αx Q(x), si α est une racine simple de l équation caractéristique, y 0 (x) = x 2 e αx Q(x), si α est une racine double de l équation caractéristique, avec Q(X) un polynôme de degré n. Cela inclu les cas où le second membre est un polynôme (α = 0) ou une exponentielle (deg P = 0). Exemple Trouver une solution particulière de (E 1 ) y 5y + 6y = 4xe x Correction : L équation caractéristique est r 2 5r + 6 = (r 2)(r 3) = 0, avec deux racines distinctes r 1 = 2, r 2 = 3. Comme 1n est pas racine de l équation caractéristique, on cherche une solution particulière à (E 1 ) sous la forme y 0 (x) = (ax + b)e x. Lorsque l on injecte y 0 dans l équation (E 1 ), on obtient : Donc y 0 (x) = (2x + 3)e x. (ax + 2a + b)e x 5(ax + a + b)e x + 6(ax + b)e x = 4xe x (a 5a + 6a)x + 2a + b 5(a + b) + 6b = 4x 2a = 4 et 3a + 2b = 0 a = 2 et b = 3 Méthode : Si le second membre est lié aux fonctions trigonométriques, on écrit cos(x) = R(e ix ) et sin(x) = I(e ix ), et on se ramène à une équation dont le second membre est une exponentielle. On obtient des facteurs en (Q 1 (x) cos(βx) + Q 2 (x) sin(βx)). Exemple Résoudre dans R l équation différentielle y + y = cos(x). Correction : L équation homogène associée est y + y = 0. Sont ensemble de solutions est S 0 = {x ke x, k R} 288

11 Cherchons une solution particulière de l équation y + y = e ix, de la forme f x ae ix (puisque x e ix n est pas solution de l équation homogène). En remplaçant dans l équation, on obtient aie ix + ae ix = e ix a(1 + i) = 1 et donc a = 1 2 (1 i). Ainsi, une solution particulière de y + y = e ix est x 1 2 (1 i)eix = 1 (1 i)(cos(x) + i sin(x)) 2 = 1 2 (cos(x) + sin(x)) + i1 ( cos(x) + sin(x)) 2 La partie réelle de la solution précédente donne alors une solution particulière de y + y = cos(x). l ensemble des solutions de l équation y + y = e ix est donc S = {x 1 2 (cos(x) + sin(x)) + e x, k R} Attention : Ici il est aussi simple de chercher la solution paritculière sous la forme a cos +b sin! IV Autres types d équations différentielles IV.1 Exemple d équations différentielles non linéaires : équations de Bernoulli Exemple (Équations de Bernoulli). On considère l équation, dite de Bernoulli, y (x) = a(x)y + b(x)y α avec α 0, 1 et a et b deux fonctions continues sur un intervalle I (On suppose aussi Im (y) R + si α N). Si α N la fonction nulle satisfait l équation. Ainsi les autres solutions ne s annule jamais. Ainsi on s intéresse uniquement aux solution ne s annulant pas. On divise alors les deux membres de par y α pour obtenir En posant z = y 1 α, il s agit de résoudre car 1 α 0. (E 1 ) y y α = a(x)y 1 α + b(x). (E 2 ) z = (1 α)a(x)z + (1 α)b(x) Exemple Résoudre y + y + y 2 e x = 0 sur ]0, + [ Correction très rapide : En utilisant le changement de variable z = y 1 2 = y 1 = 1 y on cherche z solution de : z + z = e x Dont les solution de l équation homogène sont de la forme x Ke x et dont x ex 2 est une solution particulière. Ainsi z x Ke x ex 2 et comme y = 1 z on trouve les solutions de sous la forme y x 1 Ke x ex 2 = 2e x 2Ke 2x 1, K R IV.2 Équation linéaire d ordre 2 à coefficients non constants 289

12 Méthode : Soit I un intervalle de R, et a, b, c trois fonctions continues sur I à valeurs dans K et a ne s annulant pas sur I. Soit (H) a(x)y + b(x)y + c(x) = 0 et h une solution de (H) ne s annulant pas sur I. 1. On pose y(x) = h(x)z(x). 2. On remplace y, y et y dans l équation (H) 3. On obtient alors une ED d ordre 1 en Z = z que l on peut résoudre! Exemple Soit (H) x 2 y (x) + xy (x) 4y(x) = 0 définie sur I =]0 ; + [. 1. Montrer que h x x 2 est solution de (H). 2. Déterminer alors toutes les solutions de (H). Correction : 1. est une simple vérification (à faire!) Pour 2. on pose y(x) = x 2 z(x). En remplaçant dans le membre de droite de (H) on obtient x 2 y (x) + xy (x) 4y(x) = x 4 z (x) + 5z (x)x 3 Ainsi y est solution sur ]0, + [ si et seulement si Z + 5 x Z = 0 avec Z = z On trouve ainsi Z(x) = ke 5ln(x) = k x 5 (H) sont de la forme k puis z(x) = 4x + k 4 2 avec k, k 2 R. Ainsi les solution de x k 4x 2 + k 2x 2, k, k 2 R V systèmes d équations différentielles V.1 Généralités Définition Soit I un intervalle de R, et n 2. On appelle système différentiel linéaire d ordre 1 homogène à coefficients constants un système du type (S) X = AX avec X = x 1 x n et X = x 1 x n où les x i sont des fonctions dérivable sur I à valeur dans K et A est une matrice fixe de M n (K). On appelle solution de (S) une fonction X I K n dérivable sur I, vérifiant t I, X (t) = Ax(t) 290

13 Proposition (Conséquence du théorème de Cauchy-Lipschitz). Soit I un intervalle de R et n 2. Soit (S) X = AX un système comme ci-dessus. Alors pour tout a 0,, a n 1 K et t 0 I fixe, il existe une unique solution y vérifiant y(t 0 ) = a 0,,, y n 1 (t 0 ) = a n 1 On en déduit que l ensemble des solutions S de (S) est un espace vectoriel de dimension n. Remarque On a déjà vu que ce cadre permet de traité les équations linéaire scalaire d ordre n comme des équation linéaire vectorielle d ordre 1. V.2 Résolution lorsque A est diagonalisable Si la matrice est diagonale, il est facile d obtenir des solutions : Proposition Le système a X 0 a = DX où D = 2 0, c est à dire D est diagonale à pour ensemble de soultions { S = t α 1 e a 1t }, (α 1,, α n ) K n { α n e a nt } Proposition Soit A M n (K) que l on suppose diagonalisable, et (S) X = AX. On écrit A = P DP 1, où D est une matrice diagonale. Alors, en posant Y = P 1 X, Y est dérivable si et seulement si X et dérivable et on a l équivalence X solution de (S) Y solution de Y = DY Ainsi, résoudre (S) revient à résoudre le système diagonale Y = DY puis à calculer X = P Y. Méthode : Ainsi pour résoudre X = AX avec A diagonalisable : 1. On diagonalise A 2. On résoud Y = DY 3. On calcule X = P Y Méthode : Si la matrice n est pas diagonalisable, mais qu elle est trigonalisable, on peut tout de même résoudre, on remontant le système d équations différentielles. 291

14 Chapitre 14 : VI Exercices Exercice On considère l équation différentielle : x 3 y + (2 3x 2 )y = x Résoudre l équation différentielle sur ]0, + [ et ], 0[. 2. Peut-on trouver une solution sur R? 3. Trouver la solution sur ]0, + [ vérifiant y(1) = 0. Exercice Soit l équation différentielle y + 2xy = x. 1. Résoudre l équation homogène asociée. 2. Calculer la solution de vérifiant y(0) = 1. Exercice Résoudre l équation différentielle (1 x 2 )y 2xy = x 2 sur chacun des intervalles I suivants : I =]1, + [, I =] 1, 1[, I =] 1, + [, I = R. Exercice Résoudre sur }, 0[ et ]0, + [ l équation différentielle : x y + (x 1)y = x 3. Exercice https :// 1. Résoudre l équation différentielle (x 2 + 1)y + 2xy = 3x sur R. (Tracer des courbes intégrales sur une machine.) Trouver la solution vérifiant y(0) = Résoudre l équation différentielle y sin x y cos x + 1 = 0 sur ]0 ; π[. (Tracer des courbes intégrales sur une machine.) Trouver la solution vérifiant y( π 4 ) = 1. Exercice https :// Résoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation de la constante : 1. y (2x 1 x )y = 1 sur ]0 ; + [ 2. y y = x k exp(x) sur R, avec k N 3. x(1 + ln 2 (x))y + 2 ln(x)y = 1 sur ]0 ; + [ Exercice Résoudre et raccorder éventuellement : 1. xy 2y = x x(1 + x 2 )y = y. 3. (x 2 + 1)y + (x 1) 2 y = x 3 x 2 + x

15 4. (e x 1)y + (e x + 1)y = 3 + 2e x. Exercice Résoudre l équation suivante : y 3y + 2y = e x. Exercice Résoudre l équation suivante : y y = 6 cos x + 2x sin x. Exercice On considère l équation : y + 2y + 4y = xe x 1. Résoudre l équation différentielle homogène associée à. 2. Trouver une solution particulière de (expliquer votre démarche), puis donner l ensemble de toutes les solutions de. 3. Déterminer l unique solution h de vérifiant h(0) = 1 et h(1) = Soit f ]0, [ R une fonction deux fois dérivable sur ]0, [ et qui vérifie : t 2 f (t) + 3tf (t) + 4f(t) = t log t. (a) On pose g(x) = f(e x ), vérifier que g est solution de. (b) En déduire une expression de f. Exercice On se propose d intégrer sur l intervalle le plus grand possible contenu dans ]0, [ l équation différentielle : y (x) y(x) x y(x)2 = 9x Déterminer a ]0, [ tel que y(x) = ax soit une solution particulière y 0 de. 2. Montrer que le changement de fonction inconnue : y(x) = y 0 (x) 1 z(x) en l équation différentielle (E 1 ) z (x) + (6x + 1 )z(x) = 1. x transforme l équation 3. Intégrer (E 1 ) sur ]0, [. 4. Donner toutes les solutions de définies sur ]0, [. Exercice xy + y = xy xy + y = 2x2 y xy y + (x + 2 x) y = xy + y = (xy) 3/2. 5. x 3 y = y(3x 2 + y 2 ). 293