Thème 8 Graphes étiquetés et pondérés

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1 Terminale pécialité xercices Thème raphes étiquetés et pondérés. ctivité Les automates Partie équencement Un hacker s amuse à essayer de décrypter les mots de passe d accès à des comptes de messagerie instantanée. Pour cela, il essaie de séquencer l ensemble des mots des mots de 6 lettres utilisant les lettres M,,,. On considère qu ici, un mot est une séquence ordonnée de lettres. ette dernière peut ne pas avoir de sens. Pour s aider, le hacker fait des schémas à l aide de graphes dont il choisit arbitrairement l ordre des lettres.. Voici un premier graphe : M a. émontrer que le seul mot de six lettres reconnu par ce graphe est MMM. b. Proposer un autre graphe de séquencement qui reconnaîtrait plus d un seul mot.. Voici un second graphe : M a. émontrer que les mots MMMM et sont deux mots reconnus par ce graphe. b. Proposer deux autres mots reconnus par ce graphe.. Proposer un graphe qui recenserait l ensemble de ces mots se terminant par et qui commencerait par n importe quelle autre lettre. Partie Reconnaissance de mots onsidérons la citation suivante : «RIN N RT OURIR, IL UT PRTIR À POINT.». Le but de cette partie va être de réaliser un graphe étiqueté particulier appelé automate et qui va nous permettre de comprendre comment, par exemple, un logiciel qui possède une barre de recherche procède pour retrouver cette citation dans un texte. i l on considère cette phrase comme une suite T de caractères, on a

2 T[]=«R», T[]=«I», T[]=, etc... Pour trouver, par exemple, les occurrences du mot «RT», le logiciel va d abord chercher tous les mots qui commencent par, puis retenir uniquement ceux qui parmi ceux-ci, commencent par, etc... ette situation peut se résumer à l aide du graphe suivant : Lettre autre que R T épart R RT Lettre autre que ou Lettre autre que ou R Lettre autre que ou T. xpliquer comment ce graphe étiqueté fonctionne.. écrire le chemin parcouru sur l automate lors de la reconnaissance du mot «RR».. onstruire un automate similaire reconnaissant le mot «MMN».. ctivité Itinéraire routier Voici un graphe représentant un réseau routier : Moulins Mâcon Roanne lermont-errand Lyon aint-tienne Les itinéraires calculés avec un P donnent : Moulins Mâcon : km en h 7 min. Moulins Roanne : 9 km en h min. Moulins lermont-errand : 0 km en h min. Lyon Mâcon : 7 km en 0 h 5 min. Lyon Roanne : 6 km en h 6 min. Lyon aint-étienne : 6 km en 0 h min. lermont-errand aint-étienne : 7 km en h min. lermont-errand Roanne : 5 km en h 9 min.

3 . Représenter deux graphes étiquetés similaires à celui-ci-dessus, distincts, traduisant cette situation. On indiquera sur le premier les distances en km et sur le deuxième les temps de parcours en minutes.. amille habite Lyon et souhaite se rendre à Moulins le plus vite possible. Indiquez à amille le plus court chemin à suivre.. Pour l itinéraire retour, amille souhaite économiser du carburant, et donc faire le moins de kilomètres. Indiquez-lui l itinéraire à choisir dans ce cas de figure.. ylvain habite lermont-errand et souhaite rendre visite à amille. Quel itinéraire s offre à lui? 5. On va maintenant explorer tous les itinéraires possibles partant de Lyon et arrivant à Moulins sur le réseau routier présenté ci-dessus. On ne se préoccupe que des distances. On considère le graphe de départ pondéré par les distances entre chaque ville. n partant de Lyon, les villes adjacentes sont Mâcon (7 km), Roanne (6 km) et aint-étienne (6 km). n partant de aint-étienne, les villes adjacentes sont Lyon (mais on vient d en arriver!) et lermont-errand (7 km). Il faut parcourir au total, depuis Lyon, 0 km (7 + 6) pour arriver à lermont-errand. On obtient donc une liste de trois villes et leurs kilométrages correspondants depuis Lyon : lermont-errand (0 km), Mâcon (7 km) et Roanne (6 km). a. Reprendre le raisonnement exposé pour explorer toutes les villes non-traitées et adjacentes à Mâcon. b. Préciser les distances respectives de chacune de ces villes à Lyon. c. Le chemin ainsi trouvé reliant Lyon à Moulins est-il le plus court? d. Reprendre l exploration à partir de Roanne et conclure. 6. Reprendre le procédé de la question précédente pour déterminer le temps minimal qu il faut pour rejoindre Lyon en partant de Moulins.. On considère le graphe étiqueté suivant :. Parmi les mots suivants, indiquer ceux qui sont reconnus :,,,,,,,.. onner tous les mots de quatre lettres reconnus par ce graphe.

4 . On considère le graphe étiqueté suivant : R T U O R. e graphe reconnaît-il les mots OR? ROUR? ROUR? ROTOR? R- TOR?. Quel est le nombre minimal de lettres d un mot reconnu par ce graphe?. Trouver un mot de six lettres reconnu par ce graphe et ayant un sens en français.. ombien ce graphe reconnaît-il de mots de quatre lettres? e cinq lettres? e six lettres?.5 On considère le graphe étiqueté ci-dessous : T L R U. e graphe reconnaît-il les mots LT? LU?. Reconnaît-il tous les mots commençant par?. Prouver que ce graphe reconnaît exactement six mots de cinq lettres..6 On considère le graphe pondéré ci-dessous représentant les différents parcours possibles entre les bâtiments d une usine. Les poids correspondent aux temps de parcours en minutes entre chaque bâtiment

5 . alculer le poids des chaînes suivantes :. éterminer les parcours de trois étapes possibles entre les bâtiments et.. onner le poids des chaînes correspondantes et indiquer le parcours le plus court..7 ans le graphe pondéré ci-dessous, déterminer la chaîne la plus courte reliant le sommet au sommet : ans le graphe pondéré ci-dessous, déterminer la chaîne la plus courte reliant le sommet au sommet : ans la plaine du erengeti, en Tanzanie, huit prés sont identifiés par les lettres,,,,,, et H. Un troupeau de zèbres doit partir du pré pour rejoindre le pré H en se déplaçant de pré en pré. Pour passer directement d un pré à un autre, les zèbres peuvent, dans certains cas, emprunter un chemin. Tous les chemins traversent un certain nombre de rivières extrêmement dangereuses car elles sont toutes infestées de crocodiles. Les chemins possibles entre les prés sont représentés par les arêtes du graphe ci-dessous, dont les sommets représentent les prés. Le nombre de rivières coupant un chemin est le poids affecté à l arête représentant ce chemin. Le poids de chaque arête est indiqué sur le graphe ci-après.

6 H. éterminer le nombre minimal de fleuves que les zèbres devront traverser, en remplissant un tableau. Indiquer alors leur itinéraire.. xiste-t-il d autres parcours donnant ce nombre minimal de fleuves? i oui, les donner tous..0 mélie part en voyage scolaire à Londres. Plusieurs visites de sites sont prévues : Warren treet, Oxford ircus, Piccadilly ircus, Leicester quare, Holborn, mbankment et Temple. es lieux sont désignés respectivement par les lettres W, O, P, L, H, et T, et sont représentés dans le graphe Γ ci-dessous (chaque sommet est un site, et chaque arête une route reliant deux sites). Les élèves sont laissés en autonomie deux heures pour faire du shopping. Le point de rendez-vous avec les accompagnateurs est fixé à Temple. Les temps de parcours en minutes entre chaque sommet ont été ajoutés sur le graphe ci-dessous : W 5 6 H O 0 L 5 0 P 5 9 T mélie, qui n a pas vu le temps passer à Oxford ircus, se rend compte qu il ne lui reste que 0 minutes pour arriver à temps à Temple. xiste-t-il une chance pour qu mélie soit à l heure? i oui, indiquez-lui un tel itinéraire.

7 ujets du baccalauréat. entres étrangers, juin 0 ans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d activités d une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l existence d une voie d accès principale entre deux lieux correspondants.. onner, sans justifier, le degré de chacun des sommets (la réponse pourra être présentée sous forme de tableau où les sommets seront mis dans l ordre alphabétique).. a. onner la matrice M associée au graphe (les sommets seront mis dans l ordre alphabétique). b. éterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur reliant et puis donner leur liste.. Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d accès principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie. Montrer qu un tel parcours est possible.. ans le graphe ci-dessous, les valeurs indiquent, en minutes, les durées moyennes des trajets entre les différents lieux via les transports en commun e même candidat se trouve à la mairie () quand on lui rappelle qu il a un rendez-vous avec le responsable de l hôpital situé en zone. a. n utilisant l algorithme de ijkstra, déterminer le chemin de durée minimale que ce candidat devra emprunter pour arriver à son rendez-vous. b. ombien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet?

8 . Pondichéry, avril 0 Les deux parties peuvent être traitées indépendamment. On considère le graphe Γ ci-dessous : Partie. e graphe admet-il une chaîne eulérienne? Justifier la réponse. i oui donner une telle chaîne.. e graphe admet-il un cycle eulérien? Justifier la réponse. i oui donner un tel cycle.. onner la matrice M associée au graphe Γ. Les sommets seront pris dans l ordre alphabétique :,,,,,,. Partie Une région est munie d un réseau de trains, représenté par le graphe Γ ci-dessous. Les stations sont symbolisées par les sommets,,,,, et. haque arête représente une ligne reliant deux gares. Les temps de parcours (correspondance comprise) en minutes entre chaque sommet ont été rajoutés sur le graphe éterminer le plus court chemin en minutes, reliant la gare à la gare. Justifier la réponse grâce à un algorithme. 5. Quelle est la longueur en minutes de ce chemin? 7

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