Analyse combinatoire

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1 I. Liste à élémets ou -liste Activité rélimiaire : tirages successifs avec remise. O tire successivemet 3 boules e remettat arès chaque tirage la boule das l ure arès avoir oté so uméro. Soit E l esemble des boules das l ure ; o a alors E = {1, 2, 3, 4, 5}. U tirage corresod à u trilet l ordre comte et des réétitios d élémets sot ossibles ; o dit aussi ue liste à 3 élémets ou 3-liste. 2, 3, 5 est ue issue ossible ; 3, 5, 2 est ue autre issue ossible, elle est différet de la récédete ; les réétitios sot ossibles, e.g. 2, 5, 2 corresod au tirage de la boule uméro 2 au remier et troisième tour et de la boule uméro 2 au deuxième tirage. L uivers Ω associé à cette exériece aléatoire est alors l esemble de tous les trilets costitués d élémets de E ossibles. O se roose de comter déombrer le ombre de tirages trilets ossibles : 1. il y a 5 ossibilités our tirer la remière boule ; 2. il y a aussi 5 ossibilités our tirer la deuxième boule uisque la boule tirée récédemmet a été remise das l ure et que l o est rameé aisi à la situatio iitiale ; 3. il y a ecore 5 ossibilités our tirer la derière boule. Il y a doc e tout = 5 3 = 125 tirages ossibles. Le cardial de l uivers est doc égal à card Ω = 125. Soit est u etier aturel o ul. Ue -liste o dit aussi ue liste à élémets ou ecore u -ulet d élémets de E est ue suite ordoée de élémets disticts ou o de l esemble E. Remarque 1. Deux listes à élémets de E euvet différer soit ar les élémets qu elles cotieet, e.g. 2, 3, 5 et 1, 3, 4, soit ar l ordre das lequel ces élémets aaraisset, e.g. 2, 3, 5 et 5, 3, 2. Exemle 1. Le lacemet d u dé à 6 faces 3 fois de suite fourit des trilets de ombres comris etre 1 et 6, e.g. 2, 5, 1 ou bie 2, 6, 2. La roositio suivate ermet de déombrer de telles -listes : Proositio 1. Le ombre de -listes d u esemble à élémets est égal à. Exemle 2. Il y a 6 3 lacers de dés ossibles. Exercice 1. U questioaire comorte 10 questios. Pour chacue d elle il y a que deux réoses ossibles : OUI ou bie NON. Das ces coditios, il y a lus de faços différetes de remlir le questioaire. Vrai ou faux? Exercice 2. Détermier le ombre de arties d u esemble à élémets.

2 II. Arragemets et ermutatios Activité rélimiaire : tirages successifs sas remise. O tire successivemet 3 boules de l ure. O e remet as la boule tirée das l ure. Soit E l esemble des boules das l ure ; o a alors E = {1, 2, 3, 4, 5}. U tirage corresod à u trilet d élémets de E deux à deux disticts l ordre comte et les réétitios d élémets e sot as ossibles. 2, 3, 5 est ue issue ossible, 3, 5, 2 e est ue autre. Par cotre 2, 5, 2 est as admissible car ceci sigifie que la boule uméro 2 a été obteue et au remier et au troisième tirage, ce qui est as ossible car les boules tirées e sot as remises das l ure. L uivers Ω associé à cette exériece aléatoire est alors l esemble de tous les trilets costitués d élémets de E deux à deux disticts. O se roose de comter le ombre de tirages trilets d élémets deux à deux disticts ossibles. 1. il y a 5 ossibilités our tirer la remière boule ; 2. il e reste lus que 4 ossibilités our tirer la deuxième boule uisque la boule tirée récédemmet est as remise das l ure ; 3. il y a lus que 3 ossibilités our tirer la derière boule. Il y a doc e tout = 60 tirages ossibles. Le cardial de l uivers est alors card Ω = 60. Soit u etier aturel tel que 1. U arragemet de élémets de E est ue -liste d élémets de E deux à deux disticts. Exemle 1. Au déart d ue course, il y a 15 chevaux artats umérotés de 1 à 15. Le tiercé das l ordre est u arragemet de 3 élémets de l esemble des 15 uméros. Proositio 1. et vaut : roduit de facteurs Le ombre d arragemets de élémets d u esemble à élémets se ote A A = Démostratio. O comte le ombre d arragemets de élémets d u esemble à élémets : o a ossibilités our choisir le 1 er élémet ; il reste 1 ossibilités our choisir le 2ème élémet ; il reste 2 ossibilités our choisir le 3ème élémet ;... il reste + 1 ossibilités our choisir le ème et derier élémet. D arès le ricie multilicatif, o a doc e tout arragemets de élémets ossibles. Exemle 2. Le ombre de tiercés ossibles our ue course de 15 chevaux est égal à : A 3 15 = = Exercice 1. De combie de faços eut-o choisir u résidet, u secrétaire et u trésorier das u bureau comosé de 8 ersoes? Défiitio 2. U arragemet de élémets d u esemble E à élémets s aelle ue ermutatio de E. 2 Préaratio eseigemet suérieur scietifique

3 Exemle 3. Les mots CBA, CAB sot des aagrammes 1 du mot BAC ; ils corresodet resectivemet aux trilets C,B,A et C,A,B d élémets deux à deux disticts de l esemble à 3 élémets {A, B, C} ; ce sot doc des ermutatios de l esemble {A, B, C}. Défiitio 3. Pour tout etier aturel o ul, o ote! o lit factorielle le ombre etier : O ose, ar covetio, 0! = 1 Exemle 4. 5! = = 120! = Proositio 2. Le ombre de ermutatios d u esemble o vide à élémets est égal à! Exercice 2. De combie de maières différetes eut-o rager 6 ersoes e file idiee? Exercice 3. Combie le mot CHERE a-t-il d aagrammes? III. Combiaisos Activité rélimiaire : tirage simultaé. O tire simultaémet 3 boules de l ure. Soit E l esemble des boules das l ure ; o a alors E = {1, 2, 3, 4, 5}. Ue issue est ue artie ou sous-esemble à 3 élémets de E, aelée combiaiso de 3 élémets de E. {1, 2, 3} est ue issue ossible égale à {2, 3, 1} l ordre iterviet as uisque l o tire les 3 boules e même tems! ; {2, 4, 5} e est ue autre. L uivers Ω associé à cette exériece aléatoire est alors l esemble de toutes les arties à 3 élémets de E. Afi de déombrer ces combiaisos à 3 élémets de E, mettos e corresodace les uivers Ω et Ω. tirages successifs sas remise 1, 2, 3 1, 2, 3 2, 1, 3 2, 3, 1 3, 1, 2 3, 2, 1. 3, 4, 5 3, 5, 4 4, 3, 5 4, 5, 3 5, 3, 4 5, 4, 3 tirage simultaé {1, 2, 3}. {3, 4, 5} A chaque tirage simultaé de 3 boules armi les 5 boules de E corresod = 3! arragemets de 3 élémets de cet esemble ; il y a doc 3! fois mois de combiaisos de 3 élémets de E que d arragemets de 3 élémets de E. Aisi card Ω = card Ω = 60 3! 6 = du grec aagramma : reversemet de lettres Lycée Pierre de Fermat, Toulouse 3

4 Soit u etier aturel tel que 0. Ue combiaiso de élémets de E est ue artie de E costituée de élémets disticts. Exemle 1. A la belote, chacu des 4 joueurs a das sa mai 8 cartes ; cette mai corresod à ue combiaiso de 8 cartes armi les 32 du jeu. Proositio 1. Le ombre de combiaisos de élémets d u esemble à élémets se ote C! ou et vaut : =!! Démostratio. A artir de chaque combiaiso à élémets de E, o costitue! arragemets de élémets de E. o obtiet doc :! = A et le résultat e découle ! Exemle 2. Il y a, à la belote, = = mais ossibles. 8 8! 24! Exercice 1. De combie de maières eut-o choisir 2 délégués das ue classe de 30 élèves? Exercice 2. Au loto, il y a 49 uméros. Ue grille de loto comorte 6 uméros o e tiet as comte du uméro comlémetaire. Combie de grilles différetes eut-o obteir? Exercice 3. O tire simultaémet 3 cartes d u jeu de 32 cartes. O dit que ces 3 cartes formet ue mai de 3 cartes. 1. Combie de mais différetes eut-o obteir? 2. Combie y a-t-il de mais coteat le roi de coeur? 3. Combie y a-t-il de mais coteat 2 dames exactemet? 4. Combie y a-t-il de mais e coteat aucu as? Proositio 2. Soit u etier aturel. Soit u etier aturel tel que 0. O a : = Proositio 3. Relatio de Pascal. Pour tous etiers et tels que 1 1 o a : = Démostratio. Soit 2 et soit a u élémet fixé de E. Réalisos ue artitio des arties de E à élémets : celles e coteat as a : ce sot les arties à élémets de l esemble E\ {a} à 1 1 élémets ; il y e a. celles coteat a : o les obtiet e ajoutat l élémet a aux arties à 1 élémets 1 de E\ {a} ; il y e a. 1 Le ricie de la somme livre alors le résultat. Théorème 1. Formule du biôme de Newto. Soiet a et b deux ombres comlexes et soit u etier aturel o ul. O a alors : a + b = =0 a b 4 Préaratio eseigemet suérieur scietifique

5 Exercice 4. Démotrer que our tout etier aturel, o a : = 2 =0 1. e utilisat la formule du biôme de Newto 2. e déombrat de deux maières différetes le ombre de arties d u esemble à élémets. Exercice 5. O cosidère armi les combiaisos à élémets d u esemble à élémets 2 les 4 arties suivates : celles qui cotieet deux élémets doés a et b, celles qui cotieet a mais as b, celles qui cotieet b mais as a et fialemet celles qui e cotieet i a i b. Prouver alors que : = Exercice 6. E dérivat de deux maières différetes la foctio olyôme P : x 1 + x, rouver que : = 2 1 =1 Exercice 7. Esérace de la loi biomiale B, où N 1. Justifier que our tout N 1, o a : = 1 2. Soit X ue variable aléatoire suivate la loi biomiale B, où N. L esérace de cette variable aléatoire est doée ar E X = =0 X = = =0 1. Motrer, e effectuat otammet le chagemet d idice i = 1, que E X =. Lycée Pierre de Fermat, Toulouse 5