Fonctions usuelles. Exercice 5. ( ) Soit x R,

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1 PCSI 1 Indications du chapitre 6 : 018/019 Fonctions usuelles Exercice 1. ( ) Ne pas oublier de déterminer le domaine de dénition de l'inéquation. ] 1, e e 1 [. Exercice. ( ) Montrer que f est continue et strictement croissante sur R et déterminer ses limites en ±. x R +, f 1 (x) = ln(e x 1). Exercice 3. ( ) 1. Séparer les puissances de et les puissances de 3. {1 }. Se ramener à un polynôme ( de degré 3 en x. 17 ) ln 4, ln 3. Séparer les { puissances } de 4 et les puissances de Remarquer que cos x 1 et (sin x) 1, pour x R. {x R, x 0 mod π} Exercice 4. ( ) 1. Utiliser la dénition de ch et sh.. Faire apparaitre un produit télescopique pour le calcul de u n. sh x u n = n sh ( ) x si x 0, u n = 1 si x = 0, n sh y 3. Commencer par calculer lim en utilisant un taux d'accroissement. y 0 y lim u n = sh x si x 0, lim n + x u n = 1 si x = 0. n + Exercice 5. ( ) Soit x R, 7 ch x+ sh x = 9 7(e x +e x )+(e x e x ) = 18 9e x +5e x 18 = 0 9e x +5 18e x = 0. En posant y = e x, on se ramène à la résolution de l'équation du second degré 9y 18y + 5 = 0. {ln 5 3, ln 3 } Exercice 6. ( ) 1. Utiliser la forme exponentielle et se ramener à une équation d'ordre en e x. ln( + 5).. Utiliser la question précédente et la monotonie de sh. ], ln( + 5)]. 3. Utiliser la forme exponentielle et se ramener à une équation d'ordre en e x. ln( + 3), ln( 3). 4. Utiliser la question précédente et la monotonie de ch. [ln( 3), ln( + 3)]. Exercice 7. ( ) Utiliser la dénition avec les exponentielle. Exercice 8. ( ) th est impaire, strictement croissante, lim th = 1, lim + th = 1. Exercice 9. ( ) 1. (a) Montrer que f est continue, strictement monotone donc bijective de...vers.... ( (b) Soit x R +, f ln(x + ) ( x 1) = ch ln(x + ) x 1) = exp ( ln(x + x 1) ) + exp ( ln(x + x 1) ). Ainsi f(x) = (x+ x 1)+ 1 x+ x 1 = = x. Conclure. 1

2 Exercice 11. ( ) Exercice 1. ( ) Traduire les puissances en exponentielles et logarithmes. 0. Exercice 13. ( ) Se ramener, par exemple, à une égalité entre deux cosinus. π6 π { + kπ, k Z} { + kπ, k Z} Exercice 14. ( ) Se ramener à un produit nul. π4 π kπ { + kπ, k Z} { + kπ, k Z} { 3, k Z} Exercice 15. ( ) 1. Utiliser la π-périodicité ] π de cos et sa monotonie sur [ π, π]. π + kπ, + kπ[ k Z 3π π. Utiliser la π-périodicité de sin et sa monotonie sur [, ]. 7π6 π6 [ + kπ, + kπ] k Z π π 3. Utiliser la π-périodicité de tan et sa monotonie sur ], [. k Z ] π π + kπ, + kπ[ 6 Exercice 16. ( ) Raisonner par récurrence. Exercice 17. ( ) 1. Appliquer les formules de conversion de sommes en produits à sin x+sin((n 1)x) et à cos x + cos((n 1)x). π π tan(nx) pour nx mod π et (n 1 )x ± 3 mod π.. Faire apparaître un produit télescopique en tan(k x). tan( n x) tan(x/ ). Exercice 18. ( ) Calculer la dérivée de la fonction apparaissant dans le membre de gauche. ] 1, 1 ] Exercice 19. ( ) Calculer la dérivée de la fonction apparaissant dans le membre de gauche. R. (a) Montrer que sh est continue, strictement monotone donc bijective de...vers.... (b) De même, calculer sh(ln(x + x + 1)). Exercice 10. ( ) Traduire les puissances en exponentielles et logarithmes. 1..

3 Exercice 1. ( ) Faire une étude de fonctions. Exercice. ( ) Utiliser la périodicité de f pour restreindre le domaine d'étude. Se ramener à l'étude sur [ π, ] π et sur [ π, ] 3π. Exercice 3. ( ) Utiliser les formules de trigonométrie x + x 4 (1 + x ) x(3 x ). (1 + x ) 3 / Exercice 4. ( ) En utilisant la formule donnant tan(a + b), montrer que : tan(arctan x + Arctan y) = x + y 1 xy. x + y En déduire qu'il existe k Z tel que : Arctan x+arctan y = Arctan 1 xy + kπ. x + y ] π π [, Comme Arctan x, Arctan y, Arctan, montrer que k 1 xy { 1, 0, 1}. ] π, [, Si Arctan x + Arctan y π remarquer que k = 1 et que Arctan x + y ]0, π [. On a donc Arctan x < Arctan( y) donc x < y, 1 xy ainsi x + y < 0. De plus x + y > 0. En déduire le signe de 1 xy. 1] π xy Si Arctan x + Arctan y, 0[, raisonner de même. [0, π [, Si Arctan x + Arctan y raisonner de même. 3 Exercice 0. ( ) 1..

4 ] π [ Si Arctan x + Arctan y, π, raisonner de même. Exercice 5. ( ) 1. Raisonner par double implication Appliquer la fonction sinus. [0, 1] Exercice 6. ( ) 1. Appliquer la fonction cosinus. { 5 5 }. Appliquer[ la fonction sinus., ] 4

5 Exercice 7. ( ) 1. Appliquer la fonction tangente. { }. Appliquer la fonction sinus. {0, 14 8, 14 8 } Exercice 8. ( ) Montrer que tan ( 4 Arctan 1 5 Arctan 39) 1 = 1 puis eectuer des encadrements. 5