Logarithmes et exponentielles

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1 Logarithmes et eponentielles Eercice 1 Montrer que : R, ln( )+ln( 1+ 2 )=0 Eercice 2 Résoudre ln +1 ln 2+1 ln 2 Eercice 3 Résoudre les équations suivantes a) = b) 2 3 =3 2 c) log a =log a d) log 3 log 2 =1 e) n = n,où n N Eercice 4 Déterminer l'ensemble des nombres réels strictement positifs solutions de l'équation: () =( ) Eercice 5 Déterminer l'ensemble des couples de nombres réels strictement positifs solutions du système : { y = y 3} 2 = y Eercice 6 Démontrer que log 10 2 n'est pas rationnel Eercice 7 Déterminer l'ensemble des nombres réels solutions de l'équation : log 10+2log log =0 Eercice 8 Déterminer l'ensemble des couples de nombres réels strictement positifs solutions du système : y=243 log y+log y = 17 4 Eercice 9 Déterminer l'ensemble des nombres réels solutions de l'équation : = /5

2 Eercice 10 Déterminer l'ensemble des nombres réels strictement positifs solutions de l'équation : ln +5 2 = 1 2 (ln+ln5) 2 3 Eercice 11 Étudier lim ln( ) Eercice 12 Étudier lim + (ln ) Eercice 13 Étudier l'application f :[0,+ [ R définie en posant f (0)=1 et pour tout nombre réel >0, f ()=. Tracer son graphe Eercice 14 1-Étudier l'application g: ]0,+ [ R, définie, pour tout nombre réel >0, par : g()= ln() 2- Déterminer toutes les paires {m, n} d'entiers naturels non nuls m n, vérifiant m n =n m Eercice 15 Démontrer qu'il n'eiste pas de fonction rationnelle P Q P() Q() =e telle que l'on ait, pour tout R : Fonctions circulaires Eercice 16 Soit a R. Établir la formule donnant cos 4a en fonction de cosa. En déduire la valeur de cos(π 8 ) et de sin(π 8 ). Eercice 17 Calculer arccos(cos( 2π 3 )), arcos(cos( 2π 3 )), arccos(cos4π), arctan(tan 3π 4 ) Eercice 18 Simplifier les epressions : tan(arcsin ), sin( arccos ), cos(arctan ) Eercice 19 Calculer arctan +y arctan arctan y 1y 2/5

3 Eercice 20 Résoudre les équations suivantes : a- arctan +arctan 2=π 4 b- arcsin +arcsin 1 2 = π 2 c- 2arcsin =arcsin(2 1 2 ) d- arcsin( 2)=arcsin +arcsin( 2 ) Eercice 21 Démontrer la formule de Machin : π 4 =4 arctan 1 5 arctan Eercice 22 1-Soit p N. Calculer arctan(p+1)arctan( p) 2-Étudier la convergence et la limite de la suite (S n ) définie par : n S n = p=0 Eercice 23 arctan 1 p 2 +p+1 Simplifier l'epression f ( )=cos(arccos arcsin )sin(arccos arcsin ) Eercice 24 Soit un nombre réel qui ne soit pas de la forme π 2 +k π 2, k Z 1-Établir la formule : tan =2 cotan 2+cot 2-Soient n N,n 1. Donner une epression simple de la somme : S n =tan +2tan(2)+2 2 tan(2 2 )+ +2 n tan(2 n ) Eercice 25 Soit R qui ne soit pas de la forme π 2 +k π 2, k Z 1-Établir la formule : 1+ 1 tan 2 = cos(2) tan 2- Soient n N,n 1 et R. Pour toute valeur du nombre réel où il est défini, donner une epression simple du produit : P n =(1+ 1 cos )(1+ 1 cos 2 ) (1+ 1 cos 2 n ) 3/5

4 Eercice 26 Soient,y et z des nombres réels tels que y, yz et z n'appartiennent pas à π 2 +Zπ. Établir la formule : tan( y)+tan( yz)+tan(z)=tan( y)tan(yz) tan( z) Eercice 27 Montrer que R,1 1, cos(arcsin())= 1 2. En déduire que arcos arcsin 4 41 =π 4 Eercice 28 Simplifier : Fonctions hyperboliques a) ch(ln )+sh(ln ) b) sh 2 ()cos 2 (y)+ch 2 (y)sin 2 (y) Eercice 29 résoudre l'équation ch()=2 Eercice 30 Montrer que ch(a+b)+sh( a+b)=(ch( a)+sh( a))(ch( b)+sh(b)) et ch(a+b)sh(a+b)=(ch(a)sh(a))(ch(b)sh(b)) En déduire l'epression de ch(a+b) et de sh(a+b) en fonction de ch(a),sh(a), ch(b),sh(b) Eercice 31 Simplifier les epressions suivantes : a- argsh( ) b- ch 1 argch(22 1) c- argth( ch +1 ) Eercice 32 Montrer que pour tout couple (, y) ]1,1[, on a : argth +argth y=argth( +y 1+y ) 4/5

5 Eercice 33 Soient a et b, b 0, deu réels, calculer : n n n n n n S1 = ch( a + kb); S2 = sh( a + kb); S3 = ch( a + kb); S4 = sh( a + kb); k = 0 k = 0 k = 0 k k = 0 k Eercice 34 Montrer que si =ln(tan( π 4 + y 2 )), alors : th 2 =tan y 2, th =sin y et ch = 1 cos y Eercice 35 Montrer que tous nombres réels a et b, on a : 1) sinh(ab)=sinh(a)cosh(b)sinh(b)cosh(a) 2) Calculer : sinh(ln( )) et cosh(ln( 1+ 5 )) 2 3) Déterminer l'ensemble des nombres réels solutions de : cosh() 5 sinh =2sinh(3) Eercice 36 Dans cet eercice on établit les epressions logarithmiques des fonctions hyperboliques réciproques. Démontrer que : 1- R, Argsinh =ln(+ 2 +1) 2- R, 1 :Argcosh()=ln(+ 2 1) 3- R,1<<1 : Argtanh= 1 1+ ln( 2 1 ) 4- R, >1 : Argcoth = 1 2 ln( 1+ 1 ) 5/5