Chapitre 1.13 La dérivée en cinématique
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- Émile Henry
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1 Chapire 1.13 La dérivée en cinémaique La dérivée En mahémaique, on défini la dérivée d une foncion f ( ) el que d f ( ) f ( + ) f ( ) où '( ) f '( ) d lim 0 f correspond à la foncion qui évalue la pene de la angene en ou poin de la foncion ( ) Eemple graphique : La pene bleu au poin rouge 5 es évaluée à l aide de la dérivée de la foncion f ' 5. f ( ) e es égale à ( ) f. Eemple numérique : f e f '(4) Soi ( 4 ) 7 À la coordonnée 4, la valeur associée es 7 e la pene à cee coordonnée es. La viesse e l accéléraion à l aide de la dérivée Nous avons donné la définiion suivane à la viesse e l accéléraion : ( + ) v lim 0 e v( + ) v a lim Grâce au calcul différeniel, on peu mainenan uiliser la définiion de la dérivée e donner les définiions suivanes à la posiion, la viesse e à l accéléraion : 0 La posiion : unié : [ ] m La viesse : v d v d ( ) L accéléraion : a d ( ) unié : v [ ] m/s unié : [ ] m/s a N.B. Les foncions de la viesse e de l accéléraion peuven êre évaluées efficacemen si l on connaî la foncion de la posiion en foncion du emps, car elles peuven êre obenues à parir de l opéraion de la dérivée. Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Tome A Page 1
2 Siuaion A : Une planche à roulees sur un plan incliné : calcul avec dérivée. À parir de l équaion de la posiion 0, , 75 associée au mouvemen de la planche à roulees de la siuaion 3 du chapire 1.3, on désire évaluer (a) l équaion de la viesse v e (b) l équaion de l accéléraion a. (a) On peu appliquer la dérivée par rappor au emps à la foncion e obenir v d ( ) ( 0, ,75) d ( ) v v : (Remplacer v ( 0,5 ) + + ( 1,75) ) d d d (Disribuivié de la dérivée) d d d (Facorisaion des consanes) v 0,5 ( ) + + 1,75 ( 1) 0,5( ) + ( 1) + 1,75( 0) v (Évaluer les dérivées) 0,5 + 1 v (Simplifier) (b) On peu appliquer la dérivée par rappor au emps à la foncion v e obenir () d v d a ( ) ( 0,5 + 1) (Remplacer a a ( 0,5 ) + ( 1) a : ) d d (Disribuivié de la dérivée) a d d 0,5 + 1 (Facorisaion des consanes) a 0, (Évaluer les dérivées) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 5 a (Simplifier) Voici la représenaion graphique de nos rois équaions du mouvemen : Graphique de () Graphique de v () Graphique de () a 3 (m) A 1 v (m/s) 0 A 1 a (m/s 0 1 B (s) 1 B (s) (s) Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Tome A Page
3 Maimisaion e imisaion Dans plusieurs problèmes de cinémaique, il es inéressan d évaluer des valeurs erémau (maimum e imum). Pour évaluer un erémum, il fau connaîre l agen qui fai varier le paramère que l on veu maimiser ou imiser. L agen qui fai varier la posiion es la viesse e l agen qui fai varier la viesse es l accéléraion. Pour ce qui es de l accéléraion, l agen ne pore pas de nom pariculier. Pour maimiser ou imiser un paramère (posiion, viesse ou accéléraion), il fau que leur agen de variaion soi nul (égal à zéro). Eemple : Un obje aein une haueur maimale lorsque sa viesse es nulle, car l obje ne peu pas gagner d aliude s il ne possède pas de viesse vers le hau. Voici un ableau qui résume les condiions à saisfaire afin de maimiser (ma) ou imiser () la posiion, la viesse ou l accéléraion : Procédure : Paramère à maimiser ou imiser Posiion Viesse Accéléraion 1 1) Évaluer les emps qui permeen de saisfaire la condiion de maimisaion ou de imisaion. ) Choisir le emps qui correspond à la siuaion phsique à résoudre. 3) Évaluer le paramère à maimiser ou imiser à l aide du emps choisi approprié. Noaion ma ou v ou ma a ma ou ( m) ma Condiion à saisfaire 0 v v a 0 a ( ) 0 1 j d d d v d a ma : Temps où v d / 0 v 0 {,, } 1 ma, ( ) ( ) ma ma ma ( s) 1 La dérivée de l accéléraion pore le nom de «jerk» avec la noaion «j». Ce concep es uilisé en ingénierie pour évaluer les variaions bruales d accéléraion (e : rain, méro). Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Tome A Page 3
4 Eercices Eercice A : La viesse au e degré. La viesse d une paricule es donnée par l équaion suivane en v m/s: ( ) 7 a) Évaluez l équaion permean d obenir l accéléraion en foncion du emps. b) Quelle es l accéléraion à 3 secondes. Eercice B : La fusée vericale. Une fusée avec propulseur se déplace vericalemen selon l équaion suivane en mères par rappor au niveau du sol : a) À quelle haueur es lancée iniialemen la fusée. b) Quelle es la viesse de la fusée après 3 secondes. 3 0, + 0, c) Quelle es l accéléraion de la fusée après 5 secondes. Eercice C : La bille s immobilise. À quel momen une bille s immobilise si elle se déplace sur une able inclinée selon l équaion suivane : ( ) 3 Eercice D : L ascenseur en accéléraion vericale. Un ascenseur s élève vers le hau selon l équaion suivane en mères : Évaluez la haueur maimale aeine par l ascenseur. Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Tome A Page 4
5 Soluions Eercice A : Le viesse au e degré. d v a) ( ) a 4 + b) a ( 3 ) 4( 3) + 74 m/s Eercice B : La fusée vericale. a) ( 0 ) m b) ( ) v 0,6 + 0, + 5 e ( 3) 0,6( 3) + 0,( 3) m/s d v 1, + 0, c) a e ( 5 ) 1,( 5) + 0, 6, m/s v a Eercice C : La bille s immobilise. Viesse de la bille : v S immobiliser signifie que 0 d v : ( ) 0 La bille s immobilise après 1,5 secondes. v ,5 s Eercice D : L ascenseur en accéléraion vericale. Viesse de l ascenseur : v La haueur maimale signifie que v 0 : 0 d v , 4 0, 4 0, 737 On remplace ce emps dans l équaion de la posiion e l on obien la posiion maimale : 4 ( 0,737) 5( 0,737) + 8( 0,737) ,4 ma m Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Tome A Page 5
6 Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Tome A Page 6
7 Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Tome A Page 7
8 Référence : Marc Séguin, Phsique XXI Tome A Page 8
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