CHAPITRE 6 SYSTÈMES DU SECOND ORDRE

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1 CHAPITRE 6 SYSTÈMES DU SECOND ORDRE. Équaio différeielle Focio de rasfer. O aelle sysème du secod ordre, u sysème régi ar ue équaio différeielle du ye : d y. dy y K. x ω d ω d. 4 avec: < ω ω ce qui doe < (le sysème e eu as se décomoser e deux sysèmes du remier ordre e série). ω es aelée ulsaio libre ou ulsaio aurelle ou ulsaio rore du sysème o amori. ω se mesure e rad/s. es aelé amorisseme du sysème ou faceur d amorisseme. K es le gai saique du sysème (gai e régime ermae). E aliqua la rasformée de Lalace à cee équaio, o obie : + ' Y( ).. y( ) +. y ( ) +.. Y( ). y( ) + Y( ) K. X( ) ω ω ω ω ω Lorsque les codiios iiiales so ulles : Y( ) K. X ( ) ω ω La focio de rasfer du sysème es alors : Y( ) K. ω K H( ) X ( ) ω +. ω ω ω Cee focio de rasfer ossède u ôle comlexe cojugué: ( ± j ) Exemle : L i( ) R.. ω x( ) C y( ) Pour des codiios iiiales ulles, o a : L di. + R. i + d C i. d τ x e y. C i. d τ

2 d'où : L C d.. y + R. C. dy + y x d d e : H( ) L. C. + R. C. + avec : ω e. R. C. ω L. C. Réose imulsioelle. La réose imulsioelle du sysème es doée ar : h( ) LP - [H() K. ω ω d où : h( ). e. Si[ ω.. O cosae d'arès cee exressio, que le sysème es sable, si.ω >. C'es à dire si les ôles de la focio de rasfer so à arie réelle égaive. ω éa osiive, le sysème es sable our >. Si le sysème es sable, h( ) es ue siusoï de amorie : h() ω ω. es aelée ulsaio rore ou seudo ulsaio du sysème. 3. Réose idicielle. Cee réose es obeue our x( ) u( ) soi X ( ) / O a doc : w( ) LP - [H()/. ω O démore alors que : w( ) K. e Si[. ω.. + θ avec : g( θ) Pour u sysème aya u gai saique de ; K :

3 X Lorsque le sysème es sable, ( >), la réose du sysème es siusoï de amorie auour de la valeur fiale qui es égale à K fois la valeur de l'échelo. (Sauf our le cas criique, où : la réose es alors aériodique.) La ee à l'origie es égale à. 4 Le ems de réose à % es à eu rès égal à.. ω Pour les sysèmes du deuxième ordre, o défii: Isa de remier déasseme : O aelle isa de remier déasseme, l'isa où la sorie aei so remier maximum. O le oe. Amliude du remier déasseme: O aelle amliude de remier déasseme, l'amliude du remier maximum sur la valeur fiale de la sorie. O oe cee valeur X. Calcul de : A, o a ( ) w ' car w() es maximum. Or, o a : w'( ) K. ω. e Si[ Cos[ ω ω θ. ω.. + θ doc w ' ( ) équivau à : [ [. Cos ω + θ ω... Si.. + θ o a : g( θ) e + ( ) doc, ar ideificaio : Cos( θ) e Si( θ) l'égalié récédee devie doc: Si( θ). Cos ω + θ Cos θ Si ω + θ.. ( )... soi : Si.. d'où.. θ ω + θ Si ω Fialeme o a ( ) w ' our : r

4 ω.. ee ulle à l'origie. ω.. k. π avec k eier. l'isa de remier déasseme es obeu our k : g à ce isa o a : W W K( + e π / ( θ) ( ) ) d'où : ω π. X K e π / g( θ ). Remarque : A arir du relevé de la réose idicielle, o eu rerouver ar ideificaio l'équaio d'u sysème du π deuxième ordre : e ω π. + l X / K 4. Réose à ue rame. Cee réose es obeue our x ( ) a u( ).... ω O a X() a/², e: y( ) K. a. +. e. Si[ ω.. + θ 5. Régime harmoique. O ose ω ω. jω, ce qui corresod à u cas ariculier our la rasformée de Lalace. La rasmiace K. ω isochroe du sysème es : H( jω) ω ω +. j.. ωω. o a alors : H j ( K ) + + ( 4 ) e : [ ( ω) Deux cas se résee : er cas: db [ ( ω).log. ω.log ω ω.. ω. ω.. ωω. Arg H j Arcg ω ω 4 4 H( jω)' s'aule : das ce cas, le gai du sysème asse ar u maximum. O di alors qu'il y a résoace. doc H( j )' d H ( jω) H( jω)' K. ω. dω ω équivau à: ( ) 3 [ 4. ω +. ( 4. ). ωω. ( ω ω ) + ( ωω ) ω ω [ ( ) ( ) + ωω 4. ω ωω.

5 soi : ( ) ce qui 'es ossible que si ( ) La résoace a lieu our H( j )' me cas: ω +.. ω. < c es à dire < ω, c'es à dire: ω ω ω. (. ) ω r es aelée ulsaio de résoace du sysème. r H( jω )' e s'aule jamais : il 'y a as de résoace. C'es le cas où > Das le cas où il y a résoace, o défii alors u faceur de résoace M ar: Reréseaio de Bode : M ( ω ) H j r H( )...Log(K) H( jω) db, M,8 ee -db/ocave -4dB/décade ω/ω (log) Φ[ H[ jω ω r ω ω ω/ω (log) -9,

6 Reréseaio das le la de Nyquis : [ ( ) Im H jω ω ω + Re[ H( jω ) ω ω,8 ω ω, Reréseaio das le la de Black : Gai (db) M e db.log(k) -8, Phase ( ),8-38 -