k=1n 2 e n. Montrer que S(n) a une

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1 EXERCICES EXP Exercice 1. [85 suite] Soit u la suite définie sur N par u 0 = 2 et n N, u n+1 = e 1 un. 1. Soit f l application de R + dans R par f(x) = ex. (a) Déterminer f et f. (b) Etudier le sens de variation de f. 2. Montrer que l équation f(x) = x admet une solution unique L strictement positive. ] [ 3 Justifier que L 2 ; (a) Tracer, dans un repère orthonormé, la courbe représentative C de f. (b) Représenter graphiquement les premiers termes de la suite u. [ ] 3 4. (a) Montrer que : n N, u n 2 ; 2. (b) Montrer que : x [ 3 2 ; 2], 4 9 e 2 3 f (x) 1 4 e 1 2. (c) En déduire qu il existe k dans ]0; 1[, tel que : x [ 3 2 ; 2 ], f (x) k. (d) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : u n+1 L k u n L. (e) Montrer que la suite u converge vers L. (f) Montrer, en utilisant les variations de f, que les réels u n+1 L et u n L sont de signes contraires. En déduire que pour tout n entier naturel, L est compris entre u n et u n+1. En justifiant la méthode utilisée, donner une valeur approchée de L à 10 2 près. Exercice 2. [85 INTEGRALE Somme riemann SUITE] 1 1. Calculer xe x dx. 0 n k k 2. n étant un entier naturel non nul, on pose : S(n) = k=1n 2 e n. Montrer que S(n) a une limite lorsque l on fait tendre n vers +. Préciser cette limite. Exercice 3. [dijon sept 1979] 1. (a) Etudier les variations de la fonction f de R dans R par : f : x f(x) = 1 x ex Construire sa courbe dans un repère orthonormé. (b) Déduire de l étude précédente, suivant les valeurs du paramètre réel a, le nombre de racines réelles de l équation : 1 axe x = On se propose d étudier la famille de fonctions g m de la variable réelle x, définies sur ]0; + [ dans R par : g m : x g m (x) = x m e x. où m désigne un paramètre réel strictement positif. Le plan est muni d un repère orthonormé (on prendra 5 cm en abscisse et 10 cm en ordonnée). 1

2 (a) Etudier la limite de g m en 0. (b) Soit la famille de fonctions f m de [0; + [ dans R définies par : f m (x) = g m (x) si x>0 et f m (0) = 0. On désigne par C m la courbe représentatitve de f m. Montrer que les fonction f m sont continues en 0. (c) Calculer la limite de f m en +. En déduire que les courbes C m possèdent une asymptote commune. (d) Etudier les variations de f m. (e) En considérant la définition de la dérivée à droite, étudier la tangente à C m en 0 (on sera amené à distinguer les cas suivants : 0<m<1, m=1 et m>1). (f) Etudier les cas particulier m=1 ; m=0,5 et m=2. Tracer les courbes correspondantes. Montrer que toutes les courbes C m passent par un point fixe autre que l origine. Exercice 4. [ Bac C et E, Amiens 1982] 1. Soit φ l application de R dans R définie par : x R, φ(x) = ( ) e 1 x + 1. x Déduire de l étude des variations de φ dans R, celle du signe de φ(x) dans R. 2. Soit f l application de R dans R définie par : x R, f(x)= x 1 + e 1 x f(0) = 0 (a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0. (b) Déterminer le tableau de variations complet de f dans R. (c) Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. Etudier la limite de f(x) x 2 quand x tend vers + et quand x tend vers. Montrer que C admet une asymptote et construire C. Montrer que C se trouve tout entière au-dessus de son asymptote. Exercice 5. [Bac C, Caen, 1982, partiel] Soit λ un réel non nul, on considère la fonction f λ, définie de R dans R par : f λ (x) = x + λ(x + 1)e x. On désigne par C λ la courbe représentative de la fonction f λ dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (O, i, j). 1. Déterminer f λ et f λ les dérivées première et seconde de f λ. 2. Discuter, suivant le réel λ, le nombre de solutions de l équation d incannue x : f λ (x) = 0. Préciser la position de ces solutions par rapport à 0 et 1 (on distinguera les 4 cas : λ<0, 0<λ<e, λ=e, λ>0). 2

3 3. Déduire de ce qui précède, le sens de variations de f λ suivant les valeurs du réel λ. 4. Etudier les limites de f λ en + et en. Préciser les branches infinies de la C λ. 5. Montrer qu il existe un unique point commun A à toutes les courbes C λ. 6. Soit I λ le point de C λ dont l abscisse est 1. Ecrire une équation de la tangente D λ à C λ au point I λ. Montrer que les droites D λ ont un point commun B. 7. On se propose de construire avec précision les courbes C 1, C e, C 4. Les courbes seront tracées sur une même figure sur papier millimétré en prenant 2 cm comme unité. (a) On prend λ = 1. Montrer que l équation d inconnue x, f 1 (x) = 0 n a qu une seule solution notée x 1 comprise entre - 0,57 et - 0,56. Construire la courbe C 1. (b) Construire la courbe C e. (c) Montrer que l équation d inconnue x, f 4 (x) = 0 a deux solutions : x 1, comprise entre 0,35 et 0,36 et x 2 comprise entre 2,15 et 2,16. Tracer C 4. Exercice 6. [BesançonC 1991] Première partie 1. Résoudre sur R l équation différentielle (E) : 2. On considère l équation différentielle (F) : y + 4y + 4y = 0. y + 4y + 4y = 4x. (a) Déterminer les réels a et b tels que la fonction φ : x ax + b soit solution de (F). (b) Montrer qu une fonction f est solution de (F) si, et seulement si, f φ est solution de (E). (c) En déduire toutes les solutions de (F). (d) Donner la solution de (F) qui vérifie f(0) = 2 et f (0) = 2. Deuxième partie Soit f la fonction définie sur l intervalle [0; + [ par f(x) = xe 2x + e 2x + 1 x. On appelle C sa représentation graphique. On se propose d étudier cette fonction ainsi que l équation f(x) = (a) Dresser le tableau de variations de f sur [0; + [. Indiquer la limite de f en +. 3

4 (b) Montrer que C admet une asymptote d que l on déterminera. Construire d et C, sur un même graphique. 2. (a) Etablir que l équation f(x) = 0 admet sur [0; + [ une solution et une seule. On note α cette solution. (b) Justifier l encadrement : 1 α 2. Troisième partie On se propose d étudier une méthode d approximation de α. On observe pour cela que α est l unique solution de l équation g(x) = x où g est la fonction définie sur l intervalle J = [1; + [ par : g(x) = xe 2x + e 2x Etudier les variations de g sur J. En déduire que pour tout élément x de J, g(x) appartient à J. 2. Montrer que pour tout x de J, on a : En déduire que pour tout x de J, on a : g (x) 3 e 2 g(x) g(α) 3 e 2 x α 3. Soit u la suite d éléments de J définie par u 0 = 1 et u n+1 = g(u n ) pour tout entier naturel n. (a) Montrer que pour tout entier naturel n on a : u n+1 α 3 e 2 u n α (b) En déduire que pour tout entier naturel n : (c) Déterminer la limite de la suite u. u n α ( 3 e 2 ) n (d) Déterminer un indice p pour lequel u p α Calculer u p. Exercice 7. [BordeauxC,1990] La chaînette est la courbe suivant laquelle se tend un fil homogène, pesant, flexible et inextensible, suspendu par ses extrémités à deux points fixes. On montre et on admet dans ce problème que, rapporté à un repère orthonormé convenable, la chaînette admet une équation de la forme : y = eλx + e λx. 2λ On laisse pendre un fil de longueur 4 m entre deux points A et B à une même hauteur et distants de 2 m. Le but du problème est de calculer une valeur approchée de la flèche prise par le fil, c est-à-dire la distance d indiquée sur le schéma ci-dessous. 4

5 A 2 m d B A cet effet, pour tout λ > 0, on considère la fonction f λ définie sur R par : f λ (x) = eλx + e λx 2λ On note C λ la courbe représentative de f λ dans un repère orthonormé. I. Etude de la chaînette. 1. (a) Etudier la parité de f 1 : préciser sa limite en + et dresser son tableau de variations. (b) Tracer la courbe C 1 (unité graphique : 1 cm). (c) Prouver que, pour tout λ, la courte C λ se déduit de C 1 par une homothétie dont on déterminera le centre et le rapport. 2. Calcul de la longueur de la chaînette. On admet que la longueur L(λ) de l arc d équation y = f λ (x) compris entre les points x = 1 et x = 1 est égale à l intégrale : L(λ) = l unité de longueur étant le mètre. (a) Vérifier que (b) En déduire que : [f λ (x)]2 dx, ( e 1 + [f λ(x)] 2 λx + e λx ) 2 =. 2 L(λ) = eλ + e λ. λ 3. Calcul de la flèche. Exprimer en fonction de λ la valeur d(λ) de la flèche de la chaînette C λ (l unité de longueur étant le mètre). II. Etude de l équation L(λ) = 4. Soit λ un réel strictement positif. 1. (a) Résoudre l équation d inconnue X réelle X 2 4λX 1 = 0. (b) En déduire que L(λ) = 4 quivaut à e λ = 2λ + 4λ (c) Prouver enfin que L(λ) = 4 équivaut à λ = ln(2λ + 4λ 2 + 1). 2. Soit g la fonction définie sur [0; + [ par : Dresser le tableau de variations de g. g(x) = ln(2x + 4x 2 + 1). 3. Soit h la fonction définie sur [0; + [ par h(x) = x g(x). (a) Calculer et étudier le signe de h (x) sur [0; + [. 5

6 (b) Prouver que pour tout x > 0 : g(x) = ln x + ln x 2 En déduire la limte de h(x) quand x tend vers +. (c) Dresser le tableau de variation de h. En déduire que l équation g(x) = x admet une solution α et une seule dans ]0; + [. (d) Prouver que 2 α 3. On note I = [2; + [. (a) Montrer que I est stable par g. (b) Prouver que : x I,, 0 < g (x) 0, 5. En déduire que pour tout élément x de I : 4. (a) Soit u la suite définie par : g(x) α 0, 5 x α. u 0 = 2 et pour toutn 0, u n+1 = g(u n ). Démontrer que tous les termes de u appartiennent à I. En déduire que n 0, u n α 0, 5 n u 0 α. (b) Montreer que u est convergente. (c) Déterminer une valeur approchée de α à Donner une valeur approchée de la flèche d(α). 6