Juin 2008 (2 heures et 30 minutes)
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- Rodolphe Achille Savard
- il y a 5 ans
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1 Jui 008 ( heures et 30 miutes) Soit A ue matrice iversible de IR x, IN 0 Démotrer que so iverse à gauche et so iverse à droite sot égales (5 pts) a) Défiir: matrice écheloée lige réduite ( pt) b) Citer toutes les opératios élémetaires (permettat de réduire ue matrice à sa forme écheloée réduite) Quel est l effet de chacue de ces opératios sur le détermiat d ue matrice carrée? Ne pas démotrer ( pts) c) Soit M = c b d avec a,b,c,d IR Sachat que dét(m) = 3, compléter chaque case du tableau suivat par la valeur réelle correspodate dét (M ) dét (5M) dét b c d dét c 4b 4d dét a b c + a d+ b dét 0a c 5b d Justifier deux réposes au choix (5 pts) 3 Résoudre et discuter e foctio des paramètres réels α et β le sstème suivat x+ α = α x+ β = β α +β = β x 3 ( pts) 4 a) Soiet (e,e,,e ) et (e',e',,e' ) deux bases de IR x ( IN 0 ) Qu est-ce que la matrice C de chagemet de base de (e,e,,e ) vers (e',e',,e' )? Commet l «utilise»-t-o? (5 pts) b) Détermier les composates du vecteur das la base 4, de IR x - sas utiliser la matrice de chagemet de base - e utilisat la matrice de chagemet de base ( pts) 5 Soit IR x ( IN 0 ) mui du produit scalaire et de la orme stadards a) Défiir: vecteurs orthogoaux vecteur ormé ( pt)
2 b) Que peut-o dire de vecteurs o uls et deux à deux orthogoaux? Démotrer (5 pts) c) Détermier les valeurs et vecteurs propres de la matrice M = M est-elle diagoalisable das ue base orthoormée? Si oui, détermier ue base orthoormée de IR x formée de vecteurs propres de M (3 pts) 6 Doer (répose fiale uiquemet) a) ue solutio (au choix, sous forme trigoométrique) das de l'équatio 3 z = +i 3 3 π π z = (cos + isi ) 9 9 ( pt) b) la solutio géérale de la récurrece liéaire à coefficiets costats suivate: Y t+ = 3Y t + t t Yt = C3 t ( C IR) 4 ( pt)
3 Répose questio Soit A IR iversible SoitB IR, so iverse à gauche BA = I Soit C IR, so iverse à droite AC = I Cosidéros BAC D ue part : BAC = (BA)C (associativité du produit matriciel) = I C (car B iverse à gauche de A) = C (propriété de la matrice uité (eutre pour le produit matriciel)) D autre part : BAC = B(AC) (associativité du produit matriciel) = BI (car C iverse à droite de A) = B (propriété de la matrice uité (eutre pour le produit matriciel)) Et doc, B = C Répose questio a) Ue matrice A est sous forme écheloée lige réduite ssi i) les liges sas pivot sot sous les liges avec pivot; ii) tous les pivots valet ; iii) si la lige i de A est sous la lige j de A, si i et j ot u pivot, le pivot de i est à droite du pivot de j; iv) les pivots sot le seul élémet o ul de leur coloe Répose questio b) Les opératios élémetaires permettat de réduire ue matrice à sa forme écheloée réduite sot : - la permutatio de deux liges; - la multiplicatio d'ue lige par u réel o ul; - l'ajout à ue lige d'u multiple d'ue autre lige Effet de chacue de ces opératios élémetaires sur le détermiat d ue matrice carrée : - la permutatio de deux liges chage le sige du détermiat ; - la multiplicatio d'ue lige par u réel o ul multiplie le détermiat par ce réel ; - l'ajout à ue lige d'u multiple d'ue autre lige e chage pas le détermiat
4 Répose questio c) Justificatios (par exemple) : () dét (M ) = 9 car le détermiat d u produit de matrices carrées est le produit de leurs détermiats, doc dét (M ) = dét (MM) = dét (M)dét (M) = 33 = 9 c () dét b d = dét (M ) Or le determiat d ue matrice carrée M et celui de sa trasposée sot égaux, c doc dét b d = dét (M) = 3 Répose questio 3 O a le sstème suivat x+α =α x+β =β α x +β = 3 β Sa matrice augmetée est α α β β α β 3β E réduisat, o a Discussio ) Si βα= 0 a) Si b) Si α α α α β β L L L 0 β α β+α α β 3β L3 L 3 αl 0 β α 3β+α β=α, la matrice augmetée du sstème deviet α α α+α 3α+α 0, il a u pivot e derière coloe et le sstème est icompatible 3α+α = 0 α( 3 +α ) = 0 α = 0ouα = 3, alors la matrice augmetée deviet α α 0 0 0, elle est sous forme écheloée réduite, il a ue icoue pricipale: x et ue icoue secodaire: et ses solutios sot doées par {(x,) IR : x = αα } ) Si βα 0 α α 0 βα β+α 0 β α 3β+α β α, o repred la matrice augmetée du sstème et o cotiue la reductio: α α L L /( βα) 0 0 β α 3β+α L L αl L L ( β α )L β+β
5 a) Si b) Si 3β+β 0, il a u pivot e derière coloe et le sstème est icompatible 3β+β = 0 β( 3 +β ) = 0 β= 0ouβ= 3, alors la matrice augmetée deviet 0 0 0, elle est sous forme écheloée réduite, il a deux icoues pricipales: x et, pas d icoue secodaire et le sstème a ue solutio uique {(0,-)} Répose questio 4 a) Soiet (e,e,,e ) et (e',e',,e' ) deux bases de IR x ( IN 0 ) La matrice C de chagemet de base de (e,e,,e ) vers (e',e',,e' ) est ue matrice carrée iversible de IR x dot les coloes cotieet les composates des vecteurs de la base (e',e',,e' ) das la base (e,e,,e ) (plus précisémet, la ième coloe de C cotiet les composates du ième «ouveau» vecteur de base écrit das l «aciee») O utilise cette matrice pour trouver les composates d u vecteur das la base (e',e',,e' ) coaissat ses composates das la base (e,e,,e ): v x Si v IR et que les composates de v das (e,e,,e ) sot et das (e',e',,e' ) sot v v' v v' v' v, o a = C ou, de maière équivalete, C état iversible, = C - v' v v' v' v Répose questio 4 b) O veut détermier les composates du vecteur Sas utiliser la matrice de chagemet de base das la base 4, de IR x O a = x + 4 x+ 4 = 3 x+ 4 = 3 x = 5 x = 8 7 = 4 = Les composates du vecteur das la base 4, sot doc 5 E utilisat la matrice de chagemet de base 4 La matrice de chagemet de base (de la base stadard vers la «ouvelle» base) est C = x x O a C = où sot les composates cherchées De maière équivalete : C - x =
6 Or, C - = Adj(C) dét(c) avec ici dét(c) = = 7 et Adj(C) = 4, doc C - / 7 4 / 7 x = /7 /7 De là : = C - / 7 4 / 7 5 = /7 /7 = Répose questio 5 a) Les vecteurs v et w de IR x sot orthogoaux ssi <v,w> = 0 Le vecteur v est ormé ssi v = Répose questio 5 b) Soit V, u vectoriel réel à produit scalaire <, >, soiet e,,e vecteurs o uls deux à deux orthogoaux: ces vecteurs sot liéairemet idépedats Démostratio Supposos que v = ve = 0 i i i= Alors <v,e j > = 0 j {,,} (puisque v = 0!) doc < ve i i, e j > = 0 j {,,} et i= v < i i= e, e j > = 0 j {,,} (par liéarité du produit scalaire) i qui deviet v j <e j,e j > = 0 j {,,} (par hpothèse d'orthogoalité) Les vecteurs e j état o uls, o a <e j,e j > 0 j {,,} doc v j = 0 j {,,} et les vecteurs e,,e sot bie liéairemet idépedats Répose questio 5 c) 0 0 λ 0 0 Soit M = 0 3 Le polôme caractéristique de M est dét 0 3 λ λ = ( λ)[(3 λ) ] = ( λ) ( 4 λ ) Ses valeurs propres sot doc λ = et λ = 4 Les vecteurs propres associés à la valeur propre λ = 4 sot les solutios du sstème x 0 x = 0 x = = + z = 0 = z z 0 z 0 = = z
7 x 3 x 0 Le sous-vectoriel des solutios du sstème est = IR : = z z ou ecore 0 0 z :z IR = z:z IR z dot ue base est, par exemple, 0 Les vecteurs propres associés à la valeur propre λ = sot les solutios du sstème 0 0 x 0 0 = 0 0 = = + z = 0 = z 0 3 z 0 z 0 + = = z Le sous-vectoriel des solutios du sstème est x 3 IR : = z z ou ecore x z : x,z IR = z x 0 0 z + : x,z IR = 0 z 0 x 0 z + : x,z IR dot ue base est tout 0 aturellemet 0 0, 0 Ces deux vecteurs sot orthogoaux (leur produit scalaire est ul) et sot tous deux orthogoaux au vecteur 0, dès lors, e réuissat les trois vecteurs, o obtiet ue base de 3x IR costituée de vecteurs propres de M et qui sot orthogoaux deux à deux Pour que cette base soit orthoormée, il suffit de ormer chacu des trois vecteurs (ils restet vecteurs propres de M, bie sûr!) Ue base orthoormée de 3x IR formée de vecteurs propres de M est doc: 0 0 0, /, / 0 / / La matrice M est doc bie diagoalisable das ue base orthoormée (ce qui était évidet puisque la matrice M est smétrique!)
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