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1 M1 Economie : "colle" d économie indusrielle Armel JACQUES novembre 11 Les calcularices son auorisées ; en revanche, les appareils permean de communiquer (éléphone porable ou aures) son inerdis. 1 Concurrence à la Courno On considère une indusrie où l enrée es libre. Une rme, en payan un coû xe F = 1, peu consruire une usine, qui lui perme de produire avec une foncion de coû C (q i ) = qi. Les rmes ne son pas auorisées à déenir plusieurs usines. La foncion demande inverse es égale à : P (Q) = 1 Q. Quesion 1 : Calculer l équilibre de Courno lorsque le nombre de rmes es égal à n. Quesion : Calculer le nombre de rmes à l équilibre de long erme. Concurrence en prix avec conraines de capaciés Deux rmes, 1 e, produisen un bien homogène e se livren une concurrence en prix. La rme 1 es présene sur ce marché depuis déjà longemps e elle possède une capacié insallée égale à q 1 = 1. La rme vien juse d êre créée e elle doi choisir sa capacié de producion q. La demande es composée de 1 consommaeurs achean au plus une unié du bien. Ces consommaeurs son ous ideniques e ils on un prix de réserve égal à 1. Le coû de producion des rmes es supposé nul (pour alléger les calculs). CEMOI, Universié de La Réunion, Faculé de Droi e d Economie, 15, avenue René Cassin, Sain-Denis messag cedex 9. Armel.Jacques@univ-reunion.fr. 1

2 Le jeu se décompose en rois éapes successives. A l éape 1, la rme choisi sa capacié de producion, ce qui génère un coû xe égal à : F (q ) = 1q. A l éape, la rme choisi son prix de vene. A l éape 3, la rme 1 observe la capacié e le prix choisis par la rme e choisi son prix de vene. Quesion 3 : Calculer l équilibre de ce jeu (capacié choisie, prix des deux rmes, quaniés vendues e pro s des rmes). 3 Ville circulaire On s inéresse au nombre de rmes choisissan d enrer sur un marché représené par un cercle. Le jeu se décompose en deux éapes. Lors de la première, les enrans poeniels choisissen d enrer ou non. On noe n le nombre des rmes qui enren. Ces rmes ne choisissen pas leur localisaion ; elles son localisées auomaiquemen à la même disance les unes des aures sur le cercle. Lors de la seconde éape, les enreprises se fon concurrence en prix. Chaque rme ne peu reenir qu une seule localisaion. Le coû xe d enrée se décompose en deux paries : un coû de consrucion d une usine égal à f e un droi d enrée payé à l Ea. Le coû marginal de producion es égal à c, que l on normalise à : c =. Les consommaeurs son uniformémen réparis sur un cercle don le périmère es égal à 1. La densié sur le cercle es égale à 1, e ous les déplacemens se fon le long du cercle. Les consommaeurs souhaien acheer une unié du bien. Ils on un coû de ranspor linéaire : disance. Ils reiren de la consommaion du bien un surplus bru égal à s (qu on suppose su sammen élevé pour que les consommaeurs aien oujours inérê à acheer). Quesion 4 : Calculer le nombre de rmes acives à l équilibre de libre enrée en foncion de. Quesion 5 : Calculer le nombre de rmes acives socialemen opimal. Quesion 6 : Quelle valeur de l Ea doi-il choisir pour que le nombre de rmes dans l équilibre de libre enrée coïncide avec le nombre de rmes socialemen opimal?

3 4 Elémens de correcion 4.1 Courno Quesion 1 : Foncion de pro d une rme : i = (1 q i Q i ) q i q i i = 1 q i Q i 4q i =, 6q i = 1 Q i On cherche un équilibre symérique : Q i = (n 1) q i D où : 6q i = 1 Q i, 6q i = 1 (n 1) q i, (n + 5) q i = 1, q i = 1 n + 5 Prix d équilibre : p = 1 Q = 1 n 1 n + 5 = n + 5 n 1 = 5 n + 5 n + 5 Pro d une rme : = pq i qi 1 = (p q i ) q i 1 5 = = 3:: n + 5 n + 5 n + 5 (n + 5) 1 Quesion : =, 3:: (n + 5) 1 =, 3:: = 1, 3 = (n + 5) (n + 5), 1 p 3 = n + 5, n = 1 p 3 5 ' 49; 77 Il y a 49 rmes acives sur ce marché à l équilibre de long erme. 3

4 4. Concurrence en prix avec conraines de capaciés 4..1 Eape 3 : On commence par chercher la foncion de meilleure réponse de la rme 1. La rme 1 a le choix enre deux sraégies. Sraégie 1 : choisir un prix égal à 1 e vendre 1 q uniés. Cee sraégie procure un pro égal à : s1 1 = 1 (1 q ). Sraégie : choisir un prix égal à p " e vendre 1 uniés. Cee sraégie procure un pro égal à : s 1 = 1p. La rme 1 choisi la première sraégie si e seulemen si : s1 1 s 1, 1 (1 q ) 1p, 1 q p La foncion de meilleure réponse de la rme 1 es la suivane : 8 < 1 si p > 1 p 1 (p ) = p " si 1 q : < p 1 1 si p 1 q 4.. Eape : Si, à l éape 3, la rme 1 choisi un prix plus faible que la rme, la rme se rerouve avec une demande nulle e un pro négaif. La rme doi donc absolumen incier la rme 1 à choisir un prix égal à 1. La rme choisi donc un prix : p = 1 q ce qui lui perme de vendre q uniés Eape 1 : Le pro de la rme en foncion de q es donc égal à : (q ) = (1 q ) q F (q ) = (1 q ) q 1q d (q ) dq =, 1 q 1 =, q = 9, q = 45 La rme choisi, ensuie, un prix p = 55 e la rme 1 conserve un prix p 1 = 1. Les pro s des rmes son égaux à : 1 = p 1 (1 q ) = 1 55 = 55 = p q 1q = = = 5 4

5 4.3 Ville circulaire Quesion 4 Seconde éape Supposons que n rmes soien enrées sur le marché. Supposons que la rme i choisisse le prix p i. Un consommaeur localisé à la disance x [; 1=n] de la rme i es indi éren enre acheer à la rme i e acheer au voisin le plus proche de i si : p i + x = p + (1=n x) La demande qui s adresse à la rme i es donc égale à : D i (p i ; p) = x = p + =n p i La foncion de pro de la rme i es donc : p + =n i (p i ) = p i p i f En dérivan, on obien i (p i ) = p + =n p i 1 + p i = p + =n p i (p i ) =, p + =n p i =, p i = 1 (p + i En posan p i = p, on obien : p = 1 (p + =n), p = =n Première éape : A l équilibre, on a donc : Le nombre de rme es déerminé par la condiion de pro nul pour les rmes exisanes = p 1 n f = n f =, n f =, f + = n, n = r n c = f + r f + 5

6 4.3. Quesion 5 : La demande éan inélasique, le niveau du prix n a pas d impac sur le surplus social an que le marché es couver. Pour maximiser le surplus social, il fau minimiser les coûs. On cherche à minimiser la somme des coûs de ranspor des consommaeurs e des coûs xes des rmes : 13 1=n Z 6 B C7 min 4nf xdxa5 n Or Z 1=n Le programme de minimisaion devien : On dérive par rappor à n : 1 1=n C 1 1 xdxa = n x = f min nf + n 4n 4n =, n = 1 r f 1 1 4n = 4n Quesion 6 : r n c = n, f + = 1 r f, f + = 1 4 f, 4f = f +, = 3f 6

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